必修12湖南省益阳市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)文档格式.doc
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10.在空间直角坐标系Oxyz中,z轴上的点M到点A(1,0,2)与点B(1,﹣3,1)的距离相等,则点M的坐标是( )
A.(0,0,﹣1) B.(0,0,3) C.(0,0,) D.(0,0,﹣)
11.若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是( )
A.x+2y﹣3=0 B.x+2y﹣5=0 C.2x﹣y+4=0 D.2x﹣y=0
12.已知函数f(x)=ex+e﹣x﹣2x2,则它的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上,则球O的表面积是 .
14.若倾斜角为45°
的直线m被平行线l1:
x+y﹣1=0与l2:
x+y﹣3=0所截得的线段为AB,则AB的长为 .
15.已知a=log23,则4a+4﹣a= .
16.抽气机每次抽出容器内空气的50%,则至少要抽 次才能使容器内剩下的空气少于原来的0.1%.(参考数据:
lg2=0.3010,lg3=0.4771)
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知M={x|﹣2≤x≤4},N={x|x≤2a﹣5}.
(1)若a=3,求M∩N;
(2)若M⊆N,求实数a的取值范围.
18.已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(﹣1,3),C(3,4).
(1)求BC边的高所在直线l1的方程;
(2)若直线l2过C点,且A、B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.
19.已知a为实数,函数.
(1)若f(﹣1)=﹣1,求a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)为奇函数;
(3)若函数f(x)在其定义域上存在零点,求实数a的取值范围.
20.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,VA=VB=4,AC=BC=2且AC⊥BC,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:
VB∥平面MOC;
(2)求证:
平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.
21.已知圆C:
x2+y2+4x﹣4ay+4a2+1=0,直线l:
ax+y+2a=0.
(1)当时,直线l与圆C相较于A,B两点,求弦AB的长;
(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C'
的方程.
22.如果函数f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f
(1)成立,则称函数f(x)为“可分拆函数”.
(1)试判断函数是否为“可分拆函数”?
并说明你的理由;
(2)证明:
函数f(x)=2x+x2为“可分拆函数”;
(3)设函数为“可分拆函数”,求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
【考点】集合的包含关系判断及应用;
元素与集合关系的判断.
【分析】由题意>2,即可得出结论.
【解答】解:
由题意>2,∴{a}⊆M,
故选D.
【考点】直线的倾斜角.
【分析】设直线l的倾斜角为θ,则tanθ=,即可得出.
设直线l的倾斜角为θ,则tanθ=,则θ=30°
.
故选:
A.
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【分析】根据指数函数的性质,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点,再根据函数图象的平移变换法则,求出平移量,进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标.
由指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点
而要得到函数y=ax﹣2+2,(a>0,a≠1)的图象,
可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移两个单位,再向上平移两个单位.
则(0,1)点平移后得到(2,3)点
D.
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】根据常见函数的单调性判断即可.
对于A,函数在(1,+∞)递减,不合题意;
对于B,函数在(1,+∞)递减,不合题意;
对于C,函数在(1,+∞)递增,符合题意;
对于D,函数在(1,+∞)递减,不合题意;
C.
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
∵a=log23>1,b=log3<0,∈(0,1),
∴b<c<a.
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】当平面BAC⊥平面DAC时,取AC的中点E,则BE⊥平面DAC,故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE,由此能求出结果.
如图,当平面BAC⊥平面DAC时,取AC的中点E,则BE⊥平面DAC,
故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE,
cos∠DBE==,
∴∠DBE=45°
B.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
【分析】根据俯视图为边长为a的等边三角形,求出三角形的高即为侧视图的宽,高,计算可求侧视图的面积.
三棱柱的底面为等边三角形,边长为a,作出等边三角形的高后,组成直角三角形,
由题意知左视图是一个高为a,宽为a的矩形,
∴三棱柱的侧视图的面积为.
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A;
利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B;
利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确;
利用面面垂直的性质可排除D.
对于A,若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线的位置关系不能确定,故错;
对于B,若三个点共线,则这两个平面不一定平行,故错;
对于C,设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b∥l,在平面β内存在直线c∥l,所以由平行公理知b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b∥a,从而l∥a,故正确;
对于D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,故错.
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.
函数,
∴,
解得,
即﹣1<x≤2且x≠0;
∴f(x)的定义域为(﹣1,0)∪(0,2].
【考点】空间两点间的距离公式.
【分析】根据点在z轴上,设出点的坐标,再根据距离相等,由空间中两点间的距离公式求得方程,解方程即可求得点的坐标.
设z轴上到点(0,0,z),由点到点(1,0,2)和(1,﹣3,1)的距离相等,得
12+02+(z﹣2)2=(1﹣0)2+(﹣3﹣0)2+(z+1)2
解得z=﹣1,所求的点为:
(0,0,﹣1)
故选A.
【考点】直线的一般式方程.
【分析】结合圆的几何性质知直线PQ和直线OA垂直,求出PQ的斜率代入点斜式方程,再化为一般式方程.
由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,
故其方程为:
y﹣2=﹣(x﹣1),整理得x+2y﹣5=0.
故选B.
【考点】函数的图象.
【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,然后利用特殊值判断求解即可.
函数f(﹣x)=e﹣x+ex﹣2x2=f(x),函数是偶函数,排除A,B选项;
当x=2时,f
(2)=e2+e﹣2﹣2×
22=e2+e﹣2﹣8≈﹣0.5<0.
可知D不正确,
13.棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上,则球O的表面积是 12π .
【考点】球的体积和表面积.
【分析】由已知中棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上,我们易求出球的半径,代入球的表面积公式,即可得到答案.
∵棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上,
∴球O的直径2R等于正方体的对角线长
即2R=2
∴球O的表面积S=4πR2=12π
故答案为:
12π
【考点】两条平行直线间的距离;
直线的截距式方程.
【分析】求出平行线l1:
x+y﹣3=0的距离d.倾斜角为45°
的直线m与此两条平行线垂直,可得倾斜角为45°
x+y﹣3=0所截得的线段为AB=d.
平行线l1:
x+y﹣3=0的距离d==.
∴倾斜角为45°
的直线m与此两条平行线垂直,因此被平行线l1:
x+y﹣3=0所截得的线段为AB=.
【考点】对数的运算性质.
【分析】由a=log23,可得4a==9,4﹣a=.即可得出.
∵a=log23,∴4a==9,4﹣a=.
则4a+4﹣a=,
16.抽气机每次抽出容器内空气的50%,则至少要抽 10 次才能使容器内剩下的空气少于原来的0.1%.(参考数据:
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设原空气为a,至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%.则a(1﹣50%)n<0.1%a,由此能求出结果.
设原空气为a,至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%.
则a(1﹣50%)n<0.1%a,即0.5n<0.001,
两边取常用对数得n•lg0.5<lg0.001,
∴n>=≈9.97.
∴至少需要抽10次.
10.
【考点】交集及其运算;
集合的包含关系判断及应用.
【分析】
(1)当a=3时,求出N,由此利用交集定义能求出M∩N.
(2)由M⊆N,利用子集性质得到2a﹣5≥4,由此能求出实数a的取值范围.
【解答】
(本小题满分10分)
解:
(1)∵M={x|﹣2≤x≤4},N={x|x≤2a﹣5}.
∴当a=3时,N={x|x≤1},…
∴M∩N={x|﹣2≤x≤4}∩{x|x≤1}={x|﹣2≤x≤1}.…
(2)∵M⊆N,∴2a﹣5≥4,
∴实数a的取值范围为.…
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
(1)利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出.
(2)利用斜率计算公式、中点坐标公式、点斜式即可得出.
(1)∵,==﹣4,…
∴直线l1的方程是y=﹣4(x﹣1)+1,即4x+y﹣5=0.…
(2)∵直线l2过C点且A、B到直线l2的距离相等,
∴直线l2与AB平行或过AB的中点M,
∵,∴直线l2的方程是y=﹣(x﹣3)+4,即x+y﹣7=0,…
∵AB的中点M的坐标为(0,2),
∴,∴直线l2的方程是,即2x﹣3y+6=0,
综上,直线l2的方程是x+y﹣7=0或2x﹣3y+6=0.…
【考点】函数零点的判定定理.
(1)利用函数的解析式,直接求解即可.
(2)利用奇函数的定义转化求解即可.
(3)利用函数的值域,求解函数的零点,然后推出结果.
(本小题满分12分)
(1)∵f(﹣1)=﹣1,∴,解得:
a=3;
…
(2)令f(﹣x)=﹣f(x),则.即存在a=2使得f(x)为奇函数;
(3)令f(x)=0得a=2x+1,
函数f(x)在其定义域上存在零点,即方程a=2x+1在R上有解,
所以a∈(1,+∞).…
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;
直线与平面平行的判定;
平面与平面垂直的判定.
(1)推导出OM∥VB,由此能证明VB∥平面MOC.
(2)推导出CO⊥AB,从而CO⊥平面VAB,由此能证明平面MOC⊥平面VAB.
(3)三棱锥V﹣ABC的体积VV﹣ABC=VC﹣VAB,由此能求出结果.
证明:
(1)∵O,M分别为AB,VA的中点,
∵OM∥VB,
又VB⊄平面MOC,MO⊂平面MOC,
∴VB∥平面MOC.…
(2)∵AC=BC,且O是AB的中点,
∴CO⊥AB
又平面VAB⊥平面ABC,
∴CO⊥平面VAB,
又CO⊂平面MOC,
∴平面MOC⊥平面VAB.…
(3)∵AC⊥BC,且AC=BC=2,
连VO,又VA=VB=4,所以,
由
(2)知:
CO⊥平面VAB,
∴三棱锥V﹣ABC的体积:
.…
【考点】直线和圆的方程的应用.
(1)求出圆的圆心C与半径,利用圆心到直线l的距离,半径半弦长满足的勾股定理,求解弦长即可.
(2)将y=﹣ax﹣2a代入圆C的方程化简,利用判别式为0,求出a,然后求解对称圆的方程即可.
(1)∵圆C:
,又,
∴圆心C为(﹣2,3),直线l:
3x+2y+6=0,…
圆心C到直线l的距离,…
所以.…
(2)将y=﹣ax﹣2a代入圆C的方程化简得:
(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0(*),
∴△=[4(1+2a2)]2﹣4(1+a2)(16a2+1)=4(3﹣a2)=0,
∵a>0,∴,…
∴方程(*)的解,∴切点坐标为(,),…
根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆C′的坐标
为(﹣5,),…
∴圆C'
的方程为:
.…
【考点】抽象函数及其应用.
(1)假设f(x)是“可分拆函数”,则存在x0,使得,即,判断此函数是否有解即可得出.
(2)令h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f
(1),则h(x)=2x+1+(x+1)2﹣2x﹣x2﹣2﹣1=2(2x﹣1+x﹣1),又h(0)=﹣1,h
(1)=2,故h(0)•h
(1)<0,所以h(x)=0在上有实数解x0,也即存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f
(1)成立,即可证明.
(3)因为函数为“可分拆函数”,所以存在实数x0,使得=+,=×
且a>0,所以,=,换元利用单调性即可得出.
(1)假设f(x)是“可分拆函数”,则存在x0,使得,…
即,而此方程的判别式△=1﹣4=﹣3<0,方程无实数解,
所以,f(x)不是“可分拆函数”.…
令h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f
(1),
则h(x)=2x+1+(x+1)2﹣2x﹣x2﹣2﹣1=2(2x﹣1+x﹣1),
又h(0)=﹣1,h
(1)=2,故h(0)•h
(1)<0,
所以h(x)=f(x+1)﹣f(x)﹣f
(1)=0在上有实数解x0,
也即存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f
(1)成立,
所以,f(x)=2x+x2是“可分拆函数”.…
(3)因为函数为“可分拆函数”,
所以存在实数x0,使得=+,=×
且a>0,
所以,=,
令,则t>0,所以,a=,
由t>0得,即a的取值范围是.…
第17页(共17页)
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