高三数学第一轮复习《等差数列及其前n项和》讲义Word文件下载.doc
- 文档编号:7885238
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:12
- 大小:194KB
高三数学第一轮复习《等差数列及其前n项和》讲义Word文件下载.doc
《高三数学第一轮复习《等差数列及其前n项和》讲义Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学第一轮复习《等差数列及其前n项和》讲义Word文件下载.doc(12页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)中项公式:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.
(5)在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;
②a-d,a,a+d;
③a-d,a+d,a+3d等可视具体情况而定.
(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解.
自我检测
1.已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+…+an,则S13的值为( )
A.130 B.260 C.156 D.168
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于( )
A.1 B. C.2 D.3
3设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.
4.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7等于( )
A.12 B.13 C.14 D.15
5.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1等于( )
A.18 B.20 C.22 D.24
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=__24______.
7.有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列{an}的通项公式an=___.12n-10_______.
8.已知两个数列x,a1,a2,a3,y与x,b1,b2,y都是等差数列,且x≠y,则的值为_______.
9.数列{an}是等差数列,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n=( ).
A.11B.17C.19D.21
解析 由题意,可知数列{an}的前n项和Sn有最大值,所以公差小于零,故a11<a10,又因为<-1,所以a10>0,a11<-a10,由等差数列的性质有a11+a10=a1+a20<0,a10+a10=a1+a19>0,所以Sn取得最小正值时n=19.
题型一 等差数列的基本量的计算
例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50,
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
解
(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组 解得所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d,Sn=242.
得12n+×
2=242.解得n=11或n=-22(舍去).
设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1;
(2)求d的取值范围.
解
(1)由题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8.
所以解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.
(2)方法一 ∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2a+9da1+10d2+1=0.
因为关于a1的一元二次方程有解,所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,
解得d≤-2或d≥2.
方法二 ∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2a+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤-2或d≥2.
探究提高
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
变式训练1 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),它的前10项和S10=110,且a1,a2,a4成等比数列,求公差d和通项公式an.
解 由题意,知
即
∵d≠0,∴a1=d.解得a1=d=2,∴an=2n.
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.
从而an=1+(n-1)×
(-2)=3-2n.
(2)由
(1)可知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.
由Sk=-35,可得2k-k2=-35,
即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.
题型二 等差数列的判定或证明
例2 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(1)证明 ∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.
∴n≥2时,bn-bn-1=-=-
=-=1.又b1==-.
∴数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解 由
(1)知,bn=n-,则an=1+=1+,
设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间和内为减函数.
∴当n=3时,an取得最小值-1;
当n=4时,an取得最大值3.
探究提高 1.证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:
an+1-an=d;
(2)等差中项法:
2an+1=an+an+2.就本例而言,所用方法为定义法.
2.解选择、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断.
(1)通项法:
若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.
(2)前n项和法:
若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}为等差数列.
3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可.
变式训练2
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(n≥2),a1=2.
①求证:
是等差数列;
②求an的表达式.
①证明 由Sn=,得==+2,
∴-=2,∴是以即为首项,以2为公差的等差数列.
②解 由知=+(n-1)×
2=2n-,∴Sn=,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=;
当n=1时,a1=2不适合an,
故an=
(2)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
①求a2,a3的值.
②是否存在实数λ,使得数列{}为等差数列?
若存在,求出λ的值;
若不存在,说
解 ①∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.
②假设存在实数λ,使得数列{}为等差数列.
设bn=,由{bn}为等差数列,则有2b2=b1+b3.
∴2×
=+.∴=+,
解得λ=-1.
事实上,bn+1-bn=-
=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1.
综上可知,存在实数λ=-1,使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列.
题型三 等差数列性质的应用
例3 若一个等差数列的前5项之和为34,最后5项之和为146,且所有项的和为360,求这个数列的项数.
解 方法一 设此等差数列为{an}共n项,
依题意有a1+a2+a3+a4+a5=34,①
an+an-1+an-2+an-3+an-4=146.②
根据等差数列性质,得
a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an.
将①②两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+an)=180,
∴a1+an=36.
由Sn===360,得n=20.
所以该等差数列有20项.
方法二 设此等差数列共有n项,首项为a1,公差为d,
则S5=5a1+d=34,①
Sn-Sn-5=[+na1]-[(n-5)a1+d]
=5a1+(5n-15)d=146.②
①②两式相加可得10a1+5(n-1)d=180,
∴a1+d=18,
代入Sn=na1+d=n=360,
得18n=360,∴n=20.所以该数列的项数为20项.
变式训练3 已知数列{an}是等差数列.
(1)若Sn=20,S2n=38,求S3n;
(2)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.
解
(1)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,
∴S3n=3(S2n-Sn)=54.
(2)设项数为2n-1(n∈N*),则奇数项有n项,偶数项有n-1项,中间项为an,则
S奇==n·
an=44,
S偶==(n-1)·
an=33,
∴=.∴n=4,an=11.
∴数列的中间项为11,项数为7.
题型四 等差数列的前n项和及综合应用
例4
(1)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.
解
(1)方法一 ∵a1=20,S10=S15,
∴10×
20+d=15×
20+d,∴d=-.
∴an=20+(n-1)×
=-n+.
∴a13=0,即当n≤12时,an>
0,n≥14时,an<
0,
∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为
S13=S12=12×
20+×
=130.
方法二 同方法一求得d=-.∴Sn=20n+·
=-n2+n=-2+.
∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
方法三 同方法一得d=-.
又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
∴当n=12或13时,Sn有最大值.且最大值为S12=S13=130.
(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,
∴an+1-an=4=d,又a1=4×
1-25=-21.
所以数列{an}是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列.
令
由①得n<
6;
由②得n≥5,所以n=6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列,而|a7|=a7=4×
7-24=3.
设{|an|}的前n项和为Tn,则
Tn==
点评:
求等差数列前n项和的最值,常用的方法:
若{an}是等差数列,求前n项和的最值时,
(1)若a1>
0,且满足,前n项和Sn最大;
(2)若a1<
0,且满足,前n项和Sn最小;
(3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)看做二次函数,利用二次函数的图象或配方法求最值,注意n∈N*.
变式训练4
(1)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
解 方法一 ∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列.
设{an}的首项为a1,公差为d,由a3=10,S6=72,
得,∴.
∴an=4n-2.则bn=an-30=2n-31.
解得≤n≤.
∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前15项为负值.∴S15最小.
可知b1=-29,d=2,
∴S15==-225.
方法二 同方法一求出bn=2n-31.
∵Sn==n2-30n=(n-15)2-225,
∴当n=15时,Sn有最小值,且最小值为-225.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1<
0,S2009=0.
①求Sn的最小值及此时n的值;
②求n的取值集合,使an≥Sn.
解 方法一 ①设公差为d,则由S2009=0⇒2009a1+d=0
⇒a1+1004d=0,d=-a1,a1+an=a1,
∴Sn=(a1+an)=·
a1=(2009n-n2)
∵a1<
0,n∈N*,∴当n=1004或1005时,Sn取最小值a1.
②an=a1.
Sn≤an⇔(2009n-n2)≤a1.
0,∴n2-2011n+2010≤0,
即(n-1)(n-2010)≤0,解得:
1≤n≤2010.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2010,n∈N*}.
(3)设等差数列{an}的前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m≠n),求它的前m+n项
的和Sm+n.
解 方法一 设{an}的公差为d,
则由Sn=m,Sm=n,
得
②-①得(m-n)a1+·
d=n-m,
∵m≠n,∴a1+d=-1.
∴Sm+n=(m+n)a1+d
=(m+n)=-(m+n).
方法二 设Sn=An2+Bn(n∈N*),
则
③-④得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.
∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1,
∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),
∴Sm+n=-(m+n).
等差数列及其前n项和
(1)
一、选择题
1.如果等差数列中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21 C.28 D.35
2.已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
4.等差数列{an}的前n项和满足S20=S40,下列结论中正确的是( )
A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值
C.S30=0 D.S60=0
5.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=10,b1=90,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第2012项的值是 ( )
A.85 B.90 C.95 D.100
6.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,则数列{bn}的前9项和等于________.
[解析]由⇒
∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a3n=9n,
∴数列{bn}的前9项和为S9=×
9=405.
二、填空题
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=___15_____.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=__10______.
9.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9=____27____.
三、解答题
10.设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前10项和S10=110,且a=a1a4.
(1)证明:
a1=d;
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵{an}是等差数列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又a=a1a4,
于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即a+2a1d+d2=a+3a1d(d≠0).化简得a1=d
(2)解 由条件S10=110和S10=10a1+d,得到10a1+45d=110.
由
(1)知,a1=d,代入上式得55d=110,
故d=2,an=a1+(n-1)d=2n.
因此,数列{an}的通项公式为an=2n,n∈N*
11.已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
解
(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,
所以a1+2d=7,2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2
由于an=a1+(n-1)d,Sn=,
所以an=2n+1,Sn=n(n+2))
(2)因为an=2n+1,所以a-1=4n(n+1),
因此bn==
故Tn=b1+b2+…+bn
=
==.
所以数列{bn}的前n项和Tn=
12.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
(1)证明数列{}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项;
(3)若λan+≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)证明 将3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得-=3(n≥2).
所以数列{}为以1为首项,3为公差的等差数列
(2)解 由
(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=
(3)解 若λan+≥λ对n≥2的整数恒成立,
即+3n+1≥λ对n≥2的整数恒成立.
整理得λ≤(9分)
令cn=
cn+1-cn=-=.
因为n≥2,所以cn+1-cn>
即数列{cn}为单调递增数列,所以c2最小,c2=.
所以λ的取值范围为(-∞,]
等差数列及其前n项和
(2)
1.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34
2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn为数列{an}的前n项和,则S20-2S10等于( )
A.40 B.200 C.400 D.20
3设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
4.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若是等差数列,则a11等于( )
A.0 B. C. D.
5.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-a+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
6.D [解析]=====7+,所以当n=1,2,3,5,11时满足.
7设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=__15______.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=________.
9.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列的前10项和为___75_____.
10.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为________.
11.已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列;
(2)求证:
对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.
(1)解 an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,
要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,
即p=0.
故当p=0,q∈R时,数列{an}是等差数列.
(2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.∴{an+1-an}是等差数列.
12.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn.
(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值.
解
(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,∴d==3,
∴an=a9+(n-9)·
d=3n-63,an+1=3n-60,
令,得20≤n≤21,∴S20=S21=-630,
∴n=20或21时,Sn最小且最小值为-630.
(2)由
(1)知前20项小于零,第21项等于0,以后各项均为正数.
当n≤21时,Tn=-Sn=-n2+n.
当n>
21时,Tn=Sn-2S21=n2-n+1260.
综上,Tn=.
13.已知等差数列{an}中,公差d>
0,前n项和为Sn,a2·
a3=45,a1+a5=18.
(2)令bn=(n∈N*)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等差数列及其前n项和 数学 第一轮 复习 等差数列 及其 讲义