高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案Word文档格式.doc
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即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AÍ
A
②真子集:
如果AÍ
B,且A¹
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AÍ
B,BÍ
C,那么AÍ
C
④如果AÍ
B同时BÍ
A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
u有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
S
记作,即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
ABA
ABB
(CuA)(CuB)
=Cu(AB)
=Cu(AB)
A(CuA)=U
A(CuA)=Φ.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是.
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
(1)已知A={x|-3<
x<
5},B={x|x<
a},若满足AÍ
B,则实数a的取值范围是;
(2)已知集合A={x|x2+x-6=0},集合B={y|ay+1=0},若满足BÍ
A,则实数a所能取的一切值为.
(3)已知集合,≥,且满足,求实数的取值范围。
二、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
u相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
作差f(x1)-f(x2);
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±
f(x)=0或f(x)/f(-x)=±
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
利用图象求函数的最大(小)值
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
1.求下列函数的定义域:
⑴⑵
2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__
3.若函数的定义域为,则函数的定义域是
4.函数,若,则=
5.求下列函数的值域:
⑴⑵
(3)(4)
6.已知函数,求函数,的解析式
7.已知函数满足,则=。
8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴⑵⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证:
.
(数学1必修)第一章(上)集合
[基础训练A组]
一、选择题
1.下列各项中,不可以组成集合的是()
A.所有的正数B.等于的数
C.接近于的数D.不等于的偶数
2.下列四个集合中,是空集的是()
A.B.
C.D.
B
3.下列表示图形中的阴影部分的是()
A.
B.
C.
D.
4.下面有四个命题:
(1)集合中最小的数是;
(2)若不属于,则属于;
(3)若则的最小值为;
(4)的解可表示为;
其中正确命题的个数为()
A.个B.个C.个D.个
5.若集合中的元素是△的三边长,
则△一定不是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
6.若全集,则集合的真子集共有()
二、填空题
1.用符号“”或“”填空
(1)______,______,______
(2)(是个无理数)
(3)________
2.若集合,,,则的
非空子集的个数为。
3.若集合,,则_____________.
4.设集合,,且,
则实数的取值范围是。
5.已知,则_________。
三、解答题
1.已知集合,试用列举法表示集合。
2.已知,,,求的取值范围。
3.已知集合,若,
求实数的值。
4.设全集,,
[综合训练B组]
1.下列命题正确的有()
(1)很小的实数可以构成集合;
(2)集合与集合是同一个集合;
(3)这些数组成的集合有个元素;
(4)集合是指第二和第四象限内的点集。
2.若集合,,且,则的值为()
A.B.C.或D.或或
3.若集合,则有()
A.B.C.D.
4.方程组的解集是()
A.B.C.D.。
5.下列式子中,正确的是()
A.B.
C.空集是任何集合的真子集D.
6.下列表述中错误的是()
A.若
B.若
D.
1.用适当的符号填空
(1)
(2),
(3)
2.设
则。
3.某班有学生人,其中体育爱好者人,音乐爱好者人,还有人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。
4.若且,则。
5.已知集合至多有一个元素,则的取值范围;
若至少有一个元素,则的取值范围。
1.设
2.设,其中,
如果,求实数的取值范围。
3.集合,,
满足,求实数的值。
4.设,集合,;
若,求的值。
(数学1必修)第一章(上)集合
[提高训练C组]
1.若集合,下列关系式中成立的为()
A.B.
2.名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格人和人,
项测验成绩均不及格的有人,项测验成绩都及格的人数是()
A.B.
C.D.
3.已知集合则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
4.下列说法中,正确的是()
A.任何一个集合必有两个子集;
B.若则中至少有一个为
C.任何集合必有一个真子集;
D.若为全集,且则
5.若为全集,下面三个命题中真命题的个数是()
(1)若
(2)若
(3)若
6.设集合,,则()
A.B.
C.D.
7.设集合,则集合()
A.B.C.D.
1.已知,
2.用列举法表示集合:
=。
3.若,则=。
4.设集合则。
5.设全集,集合,,
那么等于________________。
1.若
2.已知集合,,,
且,求的取值范围。
3.全集,,如果则这样的
实数是否存在?
若存在,求出;
若不存在,请说明理由。
4.设集合求集合的所有非空子集元素和的和。
(数学1必修)第一章(中)函数及其表示
1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()
⑴,;
⑵,;
⑶,;
⑷,;
⑸,。
A.⑴、⑵B.⑵、⑶C.⑷D.⑶、⑸
2.函数的图象与直线的公共点数目是()
A.B.C.或D.或
3.已知集合,且
使中元素和中的元素对应,则的值分别为()
A.B.C.D.
4.已知,若,则的值是()
A.B.或C.,或D.
5.为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移,
这个平移是()
A.沿轴向右平移个单位B.沿轴向右平移个单位
C.沿轴向左平移个单位D.沿轴向左平移个单位
6.设则的值为()
A.B.C.D.
1.设函数则实数的取值范围是。
2.函数的定义域。
3.若二次函数的图象与x轴交于,且函数的最大值为,
则这个二次函数的表达式是。
4.函数的定义域是_____________________。
5.函数的最小值是_________________。
1.求函数的定义域。
2.求函数的值域。
3.是关于的一元二次方程的两个实根,又,
求的解析式及此函数的定义域。
4.已知函数在有最大值和最小值,求、的值。
[综合训练B组]
1.设函数,则的表达式是()
2.函数满足则常数等于()
A.B.
3.已知,那么等于()
4.已知函数定义域是,则的定义域是()
A.B.
C.D.
5.函数的值域是()
A.B.
C.D.
6.已知,则的解析式为()
A.B.
1.若函数,则=.
2.若函数,则=.
3.函数的值域是。
4.已知,则不等式的解集是。
5.设函数,当时,的值有正有负,则实数的范围。
1.设是方程的两实根,当为何值时,
有最小值?
求出这个最小值.
2.求下列函数的定义域
(1)
(2)
3.求下列函数的值域
(1)
(2)(3)
4.作出函数的图象。
函数及其表示[提高训练C组]
1.若集合,,
则是()
A.B.
C.D.有限集
2.已知函数的图象关于直线对称,且当时,
有则当时,的解析式为()
A.B.C.D.
3.函数的图象是()
4.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是()
A.B.
5.若函数,则对任意实数,下列不等式总成立的是()
6.函数的值域是()
A.B.C.D.
1.函数的定义域为,值域为,
则满足条件的实数组成的集合是。
2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__________。
3.当时,函数取得最小值。
4.二次函数的图象经过三点,则这个二次函数的
解析式为。
5.已知函数,若,则。
1.求函数的值域。
2.利用判别式方法求函数的值域。
3.已知为常数,若
则求的值。
4.对于任意实数,函数恒为正值,求的取值范围。
(数学1必修)第一章(下)函数的基本性质
1.已知函数为偶函数,
则的值是()
A.B.
C.D.
2.若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是()
A.
C.
3.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为,
那么在区间上是()
A.增函数且最小值是B.增函数且最大值是
C.减函数且最大值是D.减函数且最小值是
4.设是定义在上的一个函数,则函数
在上一定是()
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数。
5.下列函数中,在区间上是增函数的是()
A.B.
6.函数是()
A.是奇函数又是减函数
B.是奇函数但不是减函数
C.是减函数但不是奇函数
D.不是奇函数也不是减函数
1.设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是
2.函数的值域是________________。
3.已知,则函数的值域是.
4.若函数是偶函数,则的递减区间是.
5.下列四个命题
(1)有意义;
(2)函数是其定义域到值域的映射;
(3)函数的图象是一直线;
(4)函数的图象是抛物线,
其中正确的命题个数是____________。
1.判断一次函数反比例函数,二次函数的
单调性。
2.已知函数的定义域为,且同时满足下列条件:
(1)是奇函数;
(2)在定义域上单调递减;
(3)求的取值范围。
3.利用函数的单调性求函数的值域;
4.已知函数.
①当时,求函数的最大值和最小值;
②求实数的取值范围,使在区间上是单调函数。
(数学1必修)第一章(下)函数的基本性质[综合训练B组]
1.下列判断正确的是()
A.函数是奇函数B.函数是偶函数
C.函数是非奇非偶函数D.函数既是奇函数又是偶函数
2.若函数在上是单调函数,则的取值范围是()
A.B.
3.函数的值域为()
4.已知函数在区间上是减函数,
则实数的取值范围是()
5.下列四个命题:
(1)函数在时是增函数,也是增函数,所以是增函数;
(2)若函数与轴没有交点,则且;
(3)的递增区间为;
(4)和表示相等函数。
其中正确命题的个数是()
A.B.C.D.
d
d0
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