高一数学秋季前十讲xin文档格式.doc
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2、真子集:
如果集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A,那
么集合A叫做集合B的真子集,记作AB。
3两集合相等:
对于集合A与B,如果A是B的子集(AB),且B是A的子集(BA),那么称集合A与集合B相等,记作A=B。
4、几个特殊结论:
(1)空集是任何集合的子集;
空集是任何非空集合的真子集;
(2)任何一个集合是它本身的子集;
(3)子集的个数:
若一个集合有n个元素,那么这个集合的子集个数为2n个,真子集个数为2n—1,非空真子集个数为2n—2;
(4)注意区别与
(三)集合的运算
1、交集:
性质:
2、并集:
3、补集与全集:
若
二、巩固练习
1.用列举法表示集合=___________
2.用描述法表示平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合
3.如果,那么下列写法中正确的是()
....
4.对于集合A和B,当时,下列写法中错误的是()
5.已知,写出所有满足条件的集合M是______
6.设集合,若则实数a=________
三、迁移练习
1.用列举法表示=__________
2.集合,,则B中元素个数是________个
3.设满足,的集合P的个数是()
.个.个.个.个
4.若集合,且,则满足条件的实数x=______
5.下列关系式中正确的是()
....
6.设集合,,则()
....
四、提高练习
例1已知集合集合,且,求
练习1.已知集合集合且QP,求的一切值
例2已知集合,集合
若BA,求的取值范围
练习2.已知集合,集合,若,求的值
例3已知集合A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}.
(1)若A是空集,求m的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求m的值;
(3)若A中至多只有一个元素,求m的取值范围.
练习3.已知集合集合且7,求集合
例4已知集合集合,若
,求实数的值所组成的集合
练习4.已知集合,集合,
(1)若求实数的取值范围
(2)若求实数的取值范围
(3)能否相等,若能求出值,若不能说明理由
例5已知三个集合,,问同时满足BA,且的实数是否存在,若存在求出若不存在说明理由。
五、培优训练
1.集合A满足:
若,则,若。
则满足条件的元素个数最少的集合A为
2.设非空集合满足:
当时,有,给出如下三个命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则。
其中正确命题的个数是()
.0.1.2.3
3.如果集合的某个非空子集中,所有数之和为奇数,则称这个非空子集为奇子集,试问集合的奇子集个数为
4.已知集合,,则等于()
A.B.C.D.
5.设,若,则实数的取值范围是
6.设集合X是实数集R的子集,如果点满足:
对任意,都存在使得,则称为集合X的聚点,用Z表示整数集,则在下列集合,
(1)(4)整数集Z中,以0为聚点的集合有()
.
(2)(3).
(1)(4).
(1)(3).
(1)
(2)(4)
7.设有集合和,求和(其中表示不超过实数之值的最大整数)
六、课后作业
1.在下列各组集合中,P,Q是相同集合的是()
.,
.
.,
2.下列命题中错误的是()
.是单元素集.是空集
.是有限集.是无限集
3.已知集合,集合满足NM,则a所取的一切值________
4.已知集合,且为单元素集合,则实数a的取值范围是_______
5.已知集合,若,则实数a的取值范围是_________
6.
(1)已知集合,,则=_________
(2)已知集合,,则=_________
7.已知,
(1)若求实数a的取值范围_________
(2)若PQ,求实数a的取值范围_________
高一年级数学学科总计20课时第02课时
课题命题与充要条件
知识要点
1、真命题的证明方法:
(1)由已知条件出发,根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系,得出结论
(2)反证法用反证法证明命题的一般步骤:
①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
四种命题形式
原命题
逆命题
(inverseproposition)
否命题
(negativeproposition)
逆否命题
(inversenegativeproposition)
若,则
例1判断下列命题的真假,若为真,给出证明;
若为假,举出反例。
(1)两个三角形两边和一对角对应相等,则两个三角形全等。
(2)如果一元二次方程ax+bx+c=0满足ac<
0,那么这个方程有两个不相等的实根
(3)如果集合A、B、C满足A∩B=A∩C,那么B=C
(4)已知集合A、B、C,如果AB,那么A∩CB∩C
2、推出关系
(1)如果这件事成立可以推出这件事成立,那么就说由可推出,记作,
读作“推出”
(2)性质:
I、推出关系具有传递性,即若αβ,βγ,就有αγ
II、如果命题的条件、结论有推出关系,则这个命题是真命题。
例2用符号“”“”“”连接事件α与β
(1)α:
x=4,β:
x=2,则αβ
(2)α:
实数x适合x>
1,β:
x≥0,则αβ
(3)A、B是两集合,α:
AB,β:
A∩B=A,则α β
(4)a,b是两整数,α:
a与b奇偶性相同,β:
a+b是偶数,则α β
(5)α:
x+2≥3y,β:
x﹣3y﹣1≥0,则α β
3、命题的四种形式及其相互关系
(1)当把αβ称为原命题时,则称βα为原命题的逆命题,为原命题的否命题,为原命题的逆否命题
(2)命题的四种形式相互具有互逆、逆否的关系
(3)根据原命题写逆命题、否命题、逆否命题
例3设原命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则ac=bd”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题
4、等价命题
如果两个命题A、B,AB且BA,那么A、B叫等价命题
例5下列各组中两个命题是否互为等价命题
(1)“AB”与“A∪B=B”
(2)“x∈A”与“x∈A∪B”
(3)“a∈A∩B”与“a∈B”
(4)“m∈A∩B”与“m∈A∪B”
1.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)某个整数不是偶数,则这个数不能被4整除;
(2)若a、b∈R,且ab>
0,则a>
0,且b>
0;
(3)合数一定是偶数;
(4)若AB,则A∩B=A
2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假:
(1)若x+y≤0,则x≤0或y≤0;
(2)已知x、y、z∈Z,如果x、y、z中至少有一个是偶数,那么xyz能被2整除
3.求证:
对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
4.
(1)下列命题是真命题的是 ()
A.若=,则x=y B.若x=1,则x=1C.若x=y,则= D.若x<
y,则x<
y
(2)与命题“能被10整除的整数,一定能被5整除”的等价命题是()
能被5整除的整数一定能被10整除;
不能被10整除的数,一定不能被5整除;
不能被10整除的数,不一定能被5整除;
不能被5整除的数一定不能被10整除.
6.给定下列命题:
①若k>
0,则方程x2+2x-k=0有实数根;
②“若a>
b则a+c>
b+c”的否命题;
③“矩形的对角线相等”的逆命题;
④“若xy=0则x,y中至少有一个为零”的否命题。
其中真命题的序号是______________
7.命题P:
若a、b都是奇数,则a+b是偶数,试写出命题P的逆否命题
1.“a、b、c三个数中有且只有一个为零”的否定是
2.命题“如果x≥1,那么x>
1”的否命题是
3.命题“如果二次函数y=ax+bx+c过(1,0)点,那么a+b+c=0”的逆否命题是
4.有下列三个判断:
①若一个命题的逆命题为真命题,则这个命题的否命题是真命题;
②若一个命题的逆否命题是假命题,则这个命题是假命题;
③若一个命题的否命题是真命题,则这个命题不一定是真命题
其中正确判断的序号是
5.如果命题P:
,命题Q:
,那么下列结论不正确的是()
A.“P或Q”为真 B.“P且Q”为假 C.“非P”为假 D.“非Q”为假
6.给出以下四个命题:
其中真命题是()
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若,则有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题.
A.①②B.②③C.①③D.③④
7.原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有 个
8.命题“能被10整除的数一定能被5整除”的等价命题是
9.写出命题“若A=或B=,则A∩B=”的逆命题、否命题、逆否命题
10.判断命题“如果△ABC为锐角三角形,则A+B>
”的真假,并证明。
1.5充分条件,必要条件
一、充分条件和必要条件
1.充分条件和必要条件的概念
(1)充分条件
如果,则称为的充分条件,“充分”是“足够”的意思。
(2)必要条件
如果,则称为的必要条件,“必要”是“必须具备”的意思。
2.充分条件与必要条件的判定
例1用“充分”、“必要”填空
(1)“两个角都是直角”是“两个角互补”的 条件;
(2)“m=3”是“|m|=3”的 条件;
(3)“x>
1”是“x+x﹣2>
0”的 条件;
(4)“k>
0”是“直线y=kx+b过第一象限”的 条件。
二、充要条件
1.充要条件的概念
充要条件的归纳总结:
如果且,则称是的充要条件。
例2已知x,y∈R.求证:
|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
练习1.a,b,c为实数,且a=b+c+1.证明:
两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
例3已知集合A={y|y=x﹣4x+5},B={x|x>
a},试证明:
“a>
4”是“BA”的一个充分非必要条件
练习2.试说明一元二次方程ax+bx+c=0有两个异号实根的充要条件是a与c异号
例4
(1)写出|x|>
2的一个充分条件;
(2)写出x>
﹣1的一个必要条件
例5证明:
三角形是直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于这边长的一半
例6两实数、,>
2,>
2的充要条件是什么?
三、巩固练习
1.关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为1的充要条件是
2.
(1)“x>
0且y>
0”是“x+y>
0”的 条件;
(2)“x=1”是“x﹣3x+2=0”的 条件;
(3)“CACB”是“BA”的 条件
3.用“充分”或“必要”填空
(1)“x>
2”是“x>
1”的 条件;
(2)“x是整数”是“x>
(3)“x﹣2x﹣3=0”是“x=﹣1”的 条件;
(4)“四边形是菱形”是“这个四边形对角线互相垂直”的 条件;
(5)A、B是两个集合,AB是A=B的 条件
4.
(1)“A∩B=A”是“A∪B=B”的 条件
(2)“”是“”的______________________条件.
5.有下列命题:
①若;
②若;
③若;
④若
⑤若;
⑥若.
其中不正确的命题是()
A.没有;
B.仅有④和⑥;
C.仅有②和⑤;
D.仅有①和③.
6.已知ab≠0,求证:
a+b=1的充要条件是a+b+ab﹣a﹣b=0
四培优训练
1.已知,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
2.求证:
关于x的一元二次方程有一个根为的充要条件是.
3.求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.
4.p:
-2<
m<
0,0<
n<
1;
q:
关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根,试分析p是q的什么条件.
5.设α,β是方程x2-ax+b=0的两个实根,试分析a>
2且b>
1是两根α、β均大于1的什么条件?
五课后作业
1.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的条件.
2.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的条件.
3.设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的条件.
4.若集合A={1,m2},集合B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的条件.
5.已知条件p:
|x+1|>2,条件q:
5x-6>x2,则非p是非q的条件.
6.不等式|x|<a的一个充分条件为0<x<1,则a的取值范围为.
7.“命题”非空集合A、B,如果AB,那么ACNB=的逆命题是__________________。
8.命题“如果x>
2,那么,x2>
4”的否命题是_________________。
高一年级数学学科总计20课时第03课时
课题集合章节复习
集合章节总结
一、集合之间的关系
例1已知集合P={x|x+x﹣6=0},集合Q={t|at+t+1=0},求满足QP的实数a的值所组成的集合
二、集合与集合之间的关系的判定与证明
例2判定下列两个集合之间的关系:
(1)集合A={x|x≠0且x≠2,x∈R},集合B={x|x<
0或0<
x<
2或x>
2},则A B
(2)集合M={x|x=m+1,m∈N},集合N={t|t=n﹣n+5,n∈N},则M N
三、有关命题的四种形式的判定
例3判断下列命题是真命题还是假命题,并说明理由
(1)若实系数一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)满足ac<
0,则该方程有实数根;
(2)若实系数一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有实数根,则ac<
(3)若a、b、c都是正整数,且ab是c的倍数,则a、b中至少有一个是c的倍数;
例4有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若q≤1,则x+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题,其中真命题是
四、有关充要条件的判定技巧
当AB时,是的充分条件;
当A⊇B时,是的必要条件。
当AB时,是的充分非必要条件;
当AB时,是的必要非充分条件。
例5已知A、B、C是三个非空集合,请判定“AB”是“(A∩C)(B∩C)”的什么条件?
例6利用子集与推出关系的等价性,写出下列语句的相关条件
(1)写出x<
1的充分条件;
(2)写出x<
1的必要条件;
例7在下列各题中,用符号“”或“”,把、这两件事联系起来
(1):
实数x适合x﹣3x+2=0,:
x=1或x=2;
(2):
x=2,:
|x|=2
(3):
AB,:
A∪B=B;
(4):
集合M=N,:
M∩A=N∩A。
例8设:
x﹣1=0,x∈R;
:
x﹣2px+q=0,x∈R;
是的必要不充分条件,试求p、q的值
例9设集合M={x|0<
x≤3},N={x|0<
x≤2},那么“∈M”是“∈N”的 条件
例10设p:
x≤2,q:
a+2(a∈R),p是q成立的必要条件,求a的范围
练习
1.有命题、,若命题s:
∩,则“∪”是的 条件
2.用子集与推出关系来判断四组命题
①:
a=1且b=4,:
a+b=5;
②设:
x+y<
0,:
0且y<
③设:
x、y不都为零,:
x+y≠0;
④设:
b﹣4ac>
关于x的方程ax+bx+c=0有两个不同实数根。
其中是的充要条件的是
3.已知p:
方程x+mx+1=0有两个不相等的负根;
q:
方程4x+4(m﹣2)x+1=0没有实数根,设:
p真q假,:
p假q真,用子集与推出关系来判断a是b的什么条件?
4.若:
﹣2或x>
3,:
4x+m<
0,是的充分条件,求实数m的范围
5.设:
a+a﹣6=0,:
mb+1=0,是的充分条件,求m的值
五、有关命题的证明
例11试证:
如果两个实数a、b的积是无理数,那么这两个实数中至少有一个是无理数
六、巩固练习
1.设U=R,A={x|x>
0},B={x|x>
1},则A∩CB=
2.已知集合M={x|﹣3<
x≤5},N={x|﹣5<
5},则M∩N=
3.设集合A={x|x>
3
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