必修12福建省龙岩市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)Word文件下载.doc
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D.90°
12.设函数f(x)=x2﹣log2(2x+2).若0<b<1,则f(b)的值满足( )
A.f(b)>f(﹣) B.f(b)>0 C.f(b)>f
(2) D.f(b)<f
(2)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=,零点的个数是 .
14.已知圆C:
x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的,则a= .
15.某品牌汽车的月产能y(万辆)与月份x(3<x≤12且x∈N)满足关系式.现已知该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆,则该品牌汽车7月的产能为 万辆.
16.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=2,BC=1,PA=3,AD=4,PA⊥底面ABCD,E是PD上一点,且CE∥平面PAB,则三棱锥C﹣ABE的体积为 .
三、解答题(本大题共6个小题,共70分)
17.(10分)已知全集U=R,集合A={x|﹣1<x<5},B={x|2<x<8}.
(1)求A∩(∁UB)和(∁UA)∩(∁UB);
(2)若集合C={x|a+1≤x≤2a﹣2},且(∁UA)∩C={x|6≤x≤b},求a+b的值.
18.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠BAC=60°
,E,F分别是AP,AC的中点,点D在棱AB上,且AD=AC.求证:
(1)EF∥平面PBC;
(2)DF⊥平面PAC.
19.(12分)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式;
(3)求函数g(x)=|logax﹣1|的单调区间.
20.(12分)已知直线l:
ax﹣y+1=0与x轴,y轴分别交于点A,B.
(1)若a>0,点M(1,﹣1),点N(1,4),且以MN为直径的圆过点A,求以AN为直径的圆的方程;
(2)以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC,若a=﹣,且点P(m,)(m>0)满足△ABC与△ABP的面积相等,求m的值.
21.(12分)如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°
,BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,FD⊥底面ABCD,M是AB的中点.
(1)求证:
平面CFM⊥平面BDF;
(2)点N在CE上,EC=2,FD=3,当CN为何值时,MN∥平面BEF.
22.(12分)已知函数(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范围,使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立.
参考答案与试题解析
【考点】交集及其运算.
【分析】求出A中x的范围确定出A,找出A与B的交集即可.
【解答】解:
由A中y=lg(2x﹣1),得到2x﹣1>0,
解得:
x>,即A={x|x>},
∵B={﹣2,﹣1,0,1,3},
∴A∩B={1,3},
故选:
B.
【点评】此题考查了交集以及运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
【考点】直线的斜率.
【分析】根据题意,由直线过点(﹣1,2),可得a×
(﹣1)+2﹣4=0,解可得a=﹣2,即可得直线的方程,将直线方程化为斜截式,由斜截式的定义即可得答案.
根据题意,直线l:
ax+y﹣4=0过点(﹣1,2),
则有a×
(﹣1)+2﹣4=0,解可得a=﹣2,
即直线l的方程为:
﹣2x+y﹣4=0,变形可得y=2x+4,
则直线l的斜率为2;
D.
【点评】本题考查直线的斜率,注意要先求出直线的方程,属于基础题.
【考点】圆的标准方程.
【分析】根据题意得圆心到切线的距离即为圆的半径,利用点到直线的距离公式求出,写出圆的标准方程即可.
∵圆心到切线的距离d=r,即r=d=1+1=2,圆心C(2,1),
∴圆C方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.
故选A.
【点评】此题考查了圆的标准方程,求出圆的半径是解本题的关键.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意,俯视图的上、下底、高分别为1,2,2,可得面积.
由题意,俯视图的上、下底、高分别为1,2,2,其面积为=3,
C.
【点评】本题考查三视图,考查俯视图的面积,比较基础.
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】由题意和奇函数的性质求出f
(1)的值,代入已知的解析式求出a的值.
∵f(x)是奇函数,f(﹣1)=,
∴f
(1)=﹣f(﹣1)=﹣,
∵当x>0时,f(x)=2x﹣a,
∴,解得a=3,
故选C.
【点评】本题考查函数奇偶性的性质的应用,考查转化思想,属于基础题.
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】由直线的平行关系可得2log4a=﹣1,解之可得.
∵x+ylog4a=0与直线2x﹣y﹣3=0平行,
∴2log4a=﹣1,解得a=
A.
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】由代入法可得α=﹣1,求出g(x)=1﹣在区间[,2]上单调递增,即可得到最小值.
由幂函数f(x)=xa的图象过点(2,),
可得2α=,解得α=﹣1,
即有f(x)=,
函数g(x)=(x﹣1)f(x)==1﹣在区间[,2]上单调递增,
则g(x)的最小值为g()=1﹣2=﹣1.
【点评】本题考查函数的最值求法,注意运用函数单调性,同时考查幂函数解析式求法:
待定系数法,考查运算能力,属于中档题.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理对选项分析即可.
对于A,若α⊥β,m∥α,则m与β可能平行;
故A错误;
对于B,若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,根据面面垂直的定义α⊥β;
故B正确;
对于C,若m⊂α,n⊂β,且α∥β,m,n共面,则m∥n;
故C不正确;
对于D,若m∥α,n∥β,且m∥n,则α与β可能相交;
故D错误.
故选B.
【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理的运用判断线面关系和面面关系;
关键是熟练掌握定理的条件,注意特殊情况.
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【分析】利用指数函数的单调性可得a>2.由于函数g(x)=ax+1﹣5的图象不过第二象限,可得g(0)≤0,求解即可得答案.
∵f
(1)>1,
∴a﹣1>1,
即a>2
∵函数g(x)=f(x+1)﹣4的图象不过第二象限,
∴g(0)=a1﹣1﹣4≤0,
∴a≤5,
∴a的取值范围是(2,5].
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了数学转化思想方法,考查推理能力与计算能力,属于中档题.
【考点】二次函数的性质;
对数的运算性质.
【分析】分析函数f(x)=﹣x2﹣2x的图象和性质,进而可得三个式子值的大小关系.
函数f(x)=﹣x2﹣2x的图象是开口朝下,且以直线x=﹣1为对称轴的抛物线,
故函数f(x)在[﹣1,+∞)上为减函数,
a=ln2∈(0,1),b=log2∈(﹣1,0),c=3∈(1,2),
则f(b)>f(a)>f(c),
A
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,对数的运算性质,难度中档.
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】先求出该长方体的外接球的半径,再求出该长方体的高,以D为原点,DA为x员,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AE与C1D1所成的角的大小.
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为a的正方形,
E是CC1的中点,该长方体的外接球的表面积为10πa2,
∴该长方体的外接球的半径为r==,
设该长方体的高为b,则=,解得b=2,
以D为原点,DA为x员,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(a,0,0),E(0,a,),C1(0,a,2),D1(0,0,2),
=(﹣a,a,),=(0,﹣a,0),
设异面直线AE与C1D1所成的角为θ,
则cosθ===.
∴θ=60°
.
∴异面直线AE与C1D1所成的角为60°
【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意长方体的外接球、向量法的合理运用.
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】作出函数y=x2与y=log2(2x+2)的图象,可发现f(b)<0,计算f(﹣),f
(2)的值即可得出答案.
作出y=x2与y=log2(2x+2)的图象如图:
由图象可知当0<x<1时,x2<log2(2x+2).
∵0<b<1,∴f(b)=b2﹣log2(2b+2)<0,排除B;
∵f(﹣)=+1=>0,排除A;
f
(2)=4﹣log26>0,排除C.
【点评】本题考查了函数图象的变换及函数值计算,是基础题.
13.函数f(x)=,零点的个数是 1 .
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】根据已知中分段函数的解析式,分类讨论各段上函数零点的个数,综合可得答案.
当x≥1时,1+log5x≥1,此时函数无零点;
当x<1时,令2x﹣1=0,解得x=,此时函数有一个零点;
综上可得函数f(x)=,零点的个数是1个,
故答案为:
1
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的零点,难度中档.
x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的,则a= ﹣1 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,利用点到直线的距离公式,求出圆心到已知直线的距离,根据圆C:
x2+y2+6y﹣a=0的圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离等于圆C半径的,求出a的值.
把圆的方程化为标准方程得:
x2+(y+3)2=a+9,
∴圆心坐标为(0,﹣3),
则圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d==,∴a=﹣1
故答案为﹣1.
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:
圆的标准方程,以及点到直线的距离公式,熟练掌握距离公式是解本题的关键.
【考点】函数的值.
【分析】由该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆,列出方程组,求出a=﹣2,b=2,即,由此能求出该品牌汽车7月的产能.
∵某品牌汽车的月产能y(万辆)与月份x(3<x≤12且x∈N)满足关系式.
该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆,
∴,
解得a=﹣2,b=2,
∴该品牌汽车7月的产能为y=﹣2×
=万辆.
【点评】本题考查产能的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数在生产生活中的实际应用.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】过点C作CF⊥AD于F,过F作EF⊥AD交PD于E,则EF⊥平面ABCD,三棱锥C﹣ABE的体积VC﹣ABE=VE﹣ABC,由此能求出结果.
过点C作CF⊥AD于F,
过F作EF⊥AD交PD于E,
则EF⊥平面ABCD,
∵PA⊥底面ABCD,∴EF∥PA,
∵BA⊥AD,CF⊥AD,∴AB∥FC,
∵PA∩AB=A,EF∩FC=F,PA,AB⊂平面PAB,EF,FC⊂平面EFC,
∴平面PAB∥平面EFC,
∵CE⊂平面EFC,∴CE∥平面PAB,
∴EF=PA=,
∴三棱锥C﹣ABE的体积VC﹣ABE=VE﹣ABC==.
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
17.(10分)(2016秋•龙岩期末)已知全集U=R,集合A={x|﹣1<x<5},B={x|2<x<8}.
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】
(1)根据补集,交集和并集的定义计算即可;
(2)由交集与补集的定义,得出a、b的值,再计算a+b.
(1)全集U=R,集合A={x|﹣1<x<5},B={x|2<x<8},
∴∁UB={x|x≤2或x≥8},
∴A∩(∁UB)={x|﹣1<x≤2};
又A∪B={x|﹣1<x<8},
∴(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|x≤﹣1或x≥8};
(2)∵∁UA={x|x≤﹣1或x≥5},
集合C={x|a+1≤x≤2a﹣2},且(∁UA)∩C={x|6≤x≤b},
∴a+1=6,且b=2a﹣2;
解得a=5,b=8;
∴a+b=13.
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目.
18.(12分)(2016秋•龙岩期末)如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠BAC=60°
【考点】直线与平面垂直的判定.
(1)利用三角形中位线定理推导出EF∥PC,由此能证明EF∥平面PBC.
(2)由已知条件推导出△ACD为正三角形,DF⊥AC,从而得到DF⊥平面PAC.
【解答】
(本题满分为12分)
证明:
(1)在△PAC中,因为E,F分别是AP,AC的中点,
所以EF∥PC.…(2分)
又因为EF⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,
所以EF∥平面PBC.…
(2)连结CD.因为∠BAC=60°
,AD=AC,
所以△ACD为正三角形.
因为F是AC的中点,所以DF⊥AC.…(7分)
因为平面PAC⊥平面ABC,DF⊂平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
所以DF⊥平面PAC.…(12分)
【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
19.(12分)(2016秋•龙岩期末)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)根据对数函数的性质求出a的范围,根据函数的单调性得到loga(2a)﹣logaa=1,求出a的值即可;
(2)根据函数的单调性得到关于x的不等式组,解出即可;
(3)通过讨论x的范围,求出函数的单调区间即可.
(1)∵loga3>loga2,∴a>1,
又∵y=logax在[a,2a]上为增函数,
∴loga(2a)﹣logaa=1,∴a=2.
(2)依题意可知解得,
∴所求不等式的解集为.
(3)∵g(x)=|log2x﹣1|,
∴g(x)≥0,当且仅当x=2时,g(x)=0,
则
∴函数在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,
g(x)的减函数为(0,2),增区间为(2,+∞).
【点评】本题考查了对数函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道中档题.
20.(12分)(2016秋•龙岩期末)已知直线l:
【考点】直线和圆的方程的应用.
(1)求出A的坐标,即可求以AN为直径的圆的方程;
(2)根据题意画出图形,令直线方程中x与y分别为0,求出相应的y与x的值,确定出点A与B的坐标,进而求出AB的长即为等边三角形的边长,求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离,由△ABP和△ABC的面积相等,得到点C与点P到直线AB的距离相等,利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB的距离d,让d等于求出的高列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.
(1)由题意A(﹣,0),AM⊥AN,
∴=﹣1,∵a>0,∴a=1,
∴A(﹣1,0),∵N(1,4),
∴AN的中点坐标为D(0,2),|AD|=,
∴以AN为直径的圆的方程是x2+(y﹣2)2=5;
(2)根据题意画出图形,如图所示:
由直线y=﹣x+1,令x=0,解得y=1,
故点B(0,1),
令y=0,解得x=,故点A(,0),
∵△ABC为等边三角形,且OA=,OB=1,
根据勾股定理得:
AB=2,即等边三角形的边长为2,
故过C作AB边上的高为,即点C到直线AB的距离为,
由题意△ABP和△ABC的面积相等,
则P到直线AB的距离d=|﹣m+|=,
∵m>0,
∴m=.
【点评】此题考查圆的方程,考查了一次函数的性质,等边三角形的性质以及点到直线的距离公式.
21.(12分)(2016•衡阳县模拟)如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°
【考点】直线与平面平行的判定;
平面与平面垂直的判定.
(1)推导出四边形BCDM是正方形,从而BD⊥CM,又DF⊥CM,由此能证明CM⊥平面BDF.
(2)过N作NO∥EF,交EF于O,连结MO,则四边形EFON是平行
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