章节训练11+分类加法计数原理与分步乘法计数原理++1Word格式文档下载.docx
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478
479
600
5.(2014•江西二模)某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有( )
6.(2010•沈阳模拟)已知某旅店有A,B,C三个房间,房间A可住3人,房间B可住2人,房间C可住1人,现有3个成人和2个儿童需要入住,为确保安全,儿童需由成人陪同方可入住,则他们入住的方式共有( )
120种
81种
27种
7.(2010•德阳二模)2010年上海世博会即将开幕,为了更加有效地让人们关注、了解和参与这次盛会,上海市市政管理委员会欲在某步行街的一侧如图所示的6块有关世博会的宣传广告牌,每块广告牌的底色可选用蓝、红两种颜色中的一种.若要求相邻的两块广告牌的底色不能同为红色,则不同配色方案的种数为( )
20
21
30
31
8.(2010•唐山二模)从0,1,2,3,4,5,6中任取3个数字组成没有重复数字的3位数,基中能被5整除的数共有( )
30个
50个
55个
90个
9.(2010•宜春模拟)25人排成5×
5方阵,从中选出3人,要求其中任意2人既不同行也不同列,则不同的选法为( )
60种
100种
300种
600种
10.(2012•浦东新区三模)把一张纸片剪成4块,再从所得的纸片中任取若干块,每块又剪成4块,像这样依次地进行下去,到剪完某一次为止.那么在下面四个数中,可能是剪出的纸片数的是( )
1001
1002
1003
1004
二、填空题(共10小题)(除非特别说明,请填准确值)
11.(2008•重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 _________ 种(用数字作答).
12.(2010•上海)以集合U={a,b,c,d}的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件:
(1)∅、U都要选出;
(2)对选出的任意两个子集A和B,必有A⊆B或B⊆A,那么共有 _________ 种不同的选法.
13.(2011•西山区模拟)在(x+1)(2x+1)…(10x+1),(x∈N)的展开式中一次项的系数为 _________ .(用数字作答)
14.(2014•宁波模拟)有7个座位连成一排,4人就坐,要求恰有两个空位相邻且甲乙两人不坐在相邻座位,则不同的坐法有 _________ 种(用数字作答).
15.(2005•浙江)从集合{P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是 _________ .(用数字作答)、
16.(2009•卢湾区一模)已知数列{an}共有6项,若其中三项是1,两项是2,一项是3,则满足上述条件的数列共有 _________ 个.
17.(2010•河南三模)某购物广场前要建造一个花圃,花圃分为6个部分,现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法共有 _________ 种(用数字作答)
18.(2013•浙江模拟)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位.现在安排甲、乙2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且甲、乙不能左右相邻,则一共有不同安排方法多少种?
_________ (用数字作答).
19.(2010•湖北模拟)北京大学今年实施校长实名推荐制,某中学获得推荐4名学生的资格,校长要从7名优秀学生中推荐4名,7名学生中有2人有体育特长,另有2人有艺术特长,其余3人有其他特长,那么至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有 _________ 种(用数字作答).
20.(2011•武昌区模拟)如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 _________ .
三、解答题(共1小题)(选答题,不自动判卷)
21.(2014•合肥一模)某办公室共有6人,组织出门旅行,旅行车上的6个座位如图所示,其中甲、乙两人的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方法有 _________ 种.
参考答案与试题解析
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
排列组合.
分析:
分别确定从该院校所投的A、B、C三个专业中选择两个作为第一专业和第二专业、从剩余的一个专业和该院校所投的其他三个专业D、E、F中选择两个作为第三专业和第四专业的方法,利用乘法原理,即可得到结论.
解答:
解:
由题意,从该院校所投的A、B、C三个专业中选择两个作为第一专业和第二专业,共有
=6种方法,
再从剩余的一个专业和该院校所投的其他三个专业D、E、F中选择两个作为第三专业和第四专业,共有
=12种方法,
根据乘法原理,可得该同学填报这个院校专业的方式有6×
12=72种,
故选C.
点评:
本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.
计数原理的应用;
分类加法计数原理.菁优网版权所有
按照定义直接分类求出结果即可.
某年年份的各位数字之和为7,我们称该年为“七巧年”.
∴从2000年到2999年中“七巧年”需要后面三个数之和为5,有
0、1、4;
0、0、5;
2、3、0;
2、2、1;
1,1,3
五个类型,后三个数字是
各有A33=6个,即12个.
后三个数字是
1、1、3
各有3个,共有9个;
共有12+9=21.
故选:
本题考查排列组合的实际应用,计数原理的应用,考查分类讨论思想.
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
分类计数原理和分步计数原理区分开,校长推荐的方案中:
三校都推;
只推二校.
校长推荐三校时,学生只能是1人、1人、2人,共有C42•A33=36种;
推荐二校时学生只能2人、2人,共有C32•C42=18种.所以共有36+18=54种.
故选D
C42•A33中C42是4人分组,A33是3人全排列;
C32•C42中C32是3校选2所,C42是从4人中选2人进一所学校,另2人进另一所.
计算题.
由以1开头的没有重复数字的六位数的个数为
,且201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个,所有的没有重复数字的六位数的个数为5
,可得5
﹣
﹣1
即为所求.
=120,由于201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个,
所有的没有重复数字的六位数的个数为5
=600,
故没有重复数字且大于201345的六位数的个数为600﹣120﹣1=479,
本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,体现了分类讨论的数学思想,注意把特殊元素与位置综合分析,分类讨论,属于中档题.
概率与统计.
分类讨论,第一类,大一的孪生姐妹在甲车上;
第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上,再利用组合知识,即可得到结论.
由题意,第一类,大一的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的年级,从三个年级中选两个为
,然后分别从选择的年级中再选择一个学生,为
,故有
=3×
2×
2=12种.
第二类,大一的孪生姐妹不在甲车上,则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上,为
,然后再从剩下的两个年级中分别选择一人(同第一类情况),这时共有
2=12种
因此共有24种不同的乘车方式
故选B.
本题考查计数原理的应用,考查组合知识,考查学生的计算能力,属于中档题.
分步乘法计数原理;
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
安排住宿时要分四种情况,第一,三个大人一人一间,小孩在A、B两个房间排列,第二,三个大人一人一间,两个孩子在A住,第三空出C房间,两个大人住A,一个大人住B,第四两个大人住B,列出算式,得到结果.
由题意知:
三个大人一人一间,小孩在A、B两个房间排列有A33A22,
三个大人一人一间,两个孩子在A住有A33,
空出C房间,两个大人住A,一个大人住B有C32A22,
第四两个大人住B有C32,
综上所述共有27中住法,
本题考查的是排列问题,并且元素的要求很多,把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题.
计算题;
应用题;
分类讨论.
由题意知,本题需要分类来解,分为这样几种情况当广告牌没有红色时,当广告牌有一块红色时,当广告牌有两块红色时,当广告牌有三块红色时,由于相邻的两块广告牌的底色不能同为红色,所以先排蓝色的,让红色的插空.
由题意知,本题需要分类来解,
当广告牌没有红色时,有一种排法,
当广告牌有一块红色时,可以从6个位置任选一个,有6种结果,
当广告牌有两块红色时,先排四块蓝色,形成五个位置,插入两块红色,有C52=10种结果,
当广告牌有三块红色时,先排三块蓝色,形成四个位置,插入三块红色,有C43=4种结果,
∴相邻的两块广告牌的底色不能同为红色,
∴不可能有四块红色广告牌,
根据分类计数原理得到共有1+6+10+4=21,
本题是一个分类计数问题,在分类时,容易漏掉一种情况,即广告牌全是蓝色的这一种结果,这是一个基础题,分类时注意做到不重不漏.
由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5.当末位是0时,可以直接写出结果,但当末位是5时,注意0不能放在第一位,①末位为0的三位数其首次两位从1~6的6个数中任取2个排列②末位为5的三位数,首位从非0,5的5个数中选1个,再挑十位,相加得到结果.
其中能被5整除的三位数末位必为0或5.
①末位为0的三位数其首次两位从1~6的6个数中任取2个排列而成方法数为A62=30,
②末位为5的三位数,首位从非0,5的5个数中选1个,有C51种挑法,再挑十位,还有C51种挑法,
∴合要求的数有C51•C51=25种.
∴共有30+25=55个数.
本题考查排列组合、计数原理,是一个综合题,本题主要抓住能被5整除的三位数的特征(末位数为0,5),还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制
本题是一个计数原理的应用,从5列中选择三列C53=10;
从某一列中任选一个人甲有5种结果;
从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果;
从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有3种结果,相乘得到结果.
由题意知本题是一个计数原理的应用,
从5列中选择三列C53=10;
从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有3种结果
根据分步计数原理知共有10×
5×
4×
3=600.
故选D.
本题主要考查分步计数原理的应用,本题解题的关键是在选择时做到不重不漏,有一个典型的错误是25×
16×
9,本题是一个易错题.
根据题意,找到规律:
只要能够写成3k+1的形式,即可得到结论.
第一次取k1块,则可剪成4k1块,加上留下的(4﹣k1)块,共有4k1+4﹣k1=4+3k1=3(k1+1)+1块,
第二次取k2块,则可剪成4k2块,加上留下的(4+3k1﹣k2)块,共有4+3k1+3k2=3(k1+k2+1)+1块,
…
第n次取kn块,则分为了4kn块,共有4+3k1+3k2+3kn=3(k1+k2+k3+…+kn+1)+1块,
从中看出,只要能够写成3k+1的形式,就能够得到.
因为1003=3×
334+1
本题考查计数原理的运用,解题的关键是找到规律:
只要能够写成3k+1的形式,就能够得到.
11.(2008•重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 216 种(用数字作答).
压轴题.
由题意知分3步进行,为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法;
在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡,有3种情况;
为剩下的两个灯选颜色,假设剩下的为B1、C1,若B1与A同色,则C1只能选B点颜色;
若B1与C同色,则C1有A、B处两种颜色可选.故为B1、C1选灯泡共有3种选法,即剩下的两个灯有3种情况,根据计数原理得到结果.
每种颜色的灯泡都至少用一个,即用了四种颜色的灯进行安装,分3步进行,
第一步,A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法;
第二步,在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡,有3种情况;
第三步,为剩下的两个灯选颜色,假设剩下的为B1、C1,若B1与A同色,则C1只能选B点颜色;
若B1与C同色,则C1有A、B处两种颜色可选.
故为B1、C1选灯泡共有3种选法,得到剩下的两个灯有3种情况,
则共有A43×
3×
3=216种方法.
故答案为:
216
本题用到两个计数原理,用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么,可以“分类”还是需要“分步”.
(2)对选出的任意两个子集A和B,必有A⊆B或B⊆A,那么共有 36 种不同的选法.
压轴题;
由题意知,子集A和B可以互换,即视为一种选法,从而对子集A分类讨论当A是单元集或是四元集,当A是二元集,B相应的只有两种,当A是三元集,B相应的有6种结果,根据计数原理得到结论.
因为U,Φ都要选出
而所有任意两个子集的组合必须有包含关系
故各个子集所包含的元素个数必须依次递增
而又必须包含空集和全集
所以需要选择的子集有两个
设第二个子集的元素个数为1
有(a)(b)(c)(d)四种选法
(1)第三个子集元素个数为2
当第二个子集为(a)时
第三个子集的2个元素中必须包含a
剩下的一个从bcd中选取
有三种选法
所以这种子集的选取方法共有4×
3=12种
(2)第三个子集中包含3个元素
同理三个元素必须有一个与第二个子集中的元素相同
共有4×
(3)第二个子集有两个元素
有6种取法
第三个子集必须有3个元素且必须包含前面一个子集的两个元素
有两种取法
所以这种方法有6×
综上一共有12+12+12=36种
36.
题意的理解是一个难点,另外分类点比较多也是制约思维的一个瓶颈.本题考查集合的子集及利用排列组合知识解决实际问题,考查分析问题与解决问题的能力.
13.(2011•西山区模拟)在(x+1)(2x+1)…(10x+1),(x∈N)的展开式中一次项的系数为 55 .(用数字作答)
展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果,故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10,运算求得结果.
(x+1)(2x+1)(3x+1)…(10x+1)展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数
与其它括号中的常数项1相乘得到的结果,
故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10=
=55,
55.
本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展
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