等比数列教案经典Word下载.doc
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将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继续取其一半,……各次取得的木棒长度依次为多少?
……(3)
问:
你能算出第7次取一半后的长度是多少吗?
观察、归纳、猜想得
2、自主探究,找出规律:
学生对数列
(1),
(2),(3)分析讨论,发现共同特点:
从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。
也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。
于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母表示,即。
如数列
(1),
(2),(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,
点评:
等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”。
3、观察判断,分析总结:
观察以下数列,判断它是否为等比数列,若是,找出公比,若不是,说出理由,然后回答下面问题:
1,3,9,27,……
……
1,-2,4,-8,……
-1,-1,-1,-1,……
1,0,1,0,……
思考:
①公比能为0吗?
为什么?
首项能为0吗?
②公比是什么数列?
③数列递增吗?
数列递减吗?
④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式:
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析;
因为等差数列公差可以取任意实数,所以学生对公比往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况,以致于在不为具体数字(即为字母运算)时不会讨论以上两种情况,故给出问题以揭示学生对公比有防患意识,问题③是让学生明白时等比数列的单调性不定,而时数列为摆动数列,要注意与等差数列的区别。
备选题:
已知则……,……成等比数列的从要条件是什么?
4、观察猜想,求通项:
方法1:
由定义知道……归纳得:
等比数列的通项公式为:
(说明:
推得结论的这一方法称为归纳法,不是公式的证明,要想对这一方式的结论给出严格的证明,需在学习数学归纳法后完成,现阶段我们只承认它是正确的就可以了)
方法2:
迭代法
根据等比数列的定义有
方法3:
由递推关系式或定义写出:
……,通过观察发现…………
,即:
(此证明方法称为“累商法”,在以后的数列证明中有重要应用)
公式的特征及结构分析:
(1)公式中有四个基本量:
,可“知三求一”,体现方程思想。
(2)的下标与的上标之和,恰是的下标,即的指数比项数少1。
5、问题探究:
通项公式的应用
例、已知数列是等比数列,,求的值。
已知数列满足条件:
,且。
求的值
6、课堂演练:
教材138页1、2题
备选题1:
已知数列为等比数列,,求的值
备选题2:
公差不为0的等差数列中,依次成等比数列,
则公比等于
7、归纳总结:
(1)等比数列的定义,即
(2)等比数列的通项公式及推导过程。
选作:
1、已知数列为等比数列,且,求
2、已知数列满足
(1)求证:
是等比数列;
。
(2)求的通项。
第二课时
1、复习回顾:
上节课,我们学习了……(打出幻灯片)
(1)等比数列定义:
(2)通项公式:
(3)若,数列是等比数列吗?
对不对?
(注意:
考虑公比为常数)
2、尝试练习:
在等比数列中
(1),求
(2)求
(3)在-2与-8之间插入一个数A,使-2,A,-8成等比数列,求A
(鼓励学生尝试用不同的方法求解,相互讨论分析不同的解法,然后归纳出等比数列的性质)
3、性质探究:
(1)若a,G,b成等比数列,则有,称G为a,b的等比中项,
即;
是谁的等比中项?
呢?
总结归纳得到性质
(2)
(2)
逆向思考:
若数列满足,它一定是等比数列吗?
(3)若,则
(4)
4、灵活运用:
下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。
例1、在等比数列中,,求
变式1、等比数列中,若,则
变式2、等比数列中,若,则
变式3、等比数列中,若,则=
例2、已知数列是项数相同的等比数列,求证:
是等比数列。
变式1、已知数列是项数相同的等比数列,问数列是等比数列吗?
变式2、已知数列是等比数列,若取出所有偶数项组成一个新数列,此数列还是等比数列吗?
若是,它的首项和公比分别为多少?
变式3、已知数列是等比数列,若取出……组成一个新数列,此数列还是等比数列吗?
变式4、已知数列是等比数列,若每一项乘以非零常数C组成一个新数列,此数列还是等比数列吗?
(通过上述问题的讨论求解,归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质)
例3、三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数。
备选题、有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求这四个数。
5、课堂演练:
教材138页3、4、5
已知数列为等比数列,且则
有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为21,中间两项的和为18,求这四个数。
6、归纳总结:
(1)等比中项的概念
(2)等比数列有关性质
7、课后作业:
必作:
教材139页习题6、7、10、11
1、在数列中,,且成等差数列,成等比数列,,求的值。
2、设,且能按某种顺序构成等比数列,求这个等比数列。
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