初高中数学衔接内容Word下载.doc
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【例题选讲】
例1解下列不等式:
(1)
(2)>4
练习
1.填空:
(1)若,则x=_________;
若,则x=_________.
(2)如果,且,则b=________;
若,则c=________.
2.选择题:
下列叙述正确的是()
(A)若,则(B)若,则
(C)若,则(D)若,则
3.化简:
|x-5|-|2x-13|(x>5).
4、解答题:
已知,求的值.
1.2.乘法公式
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
[1]平方差公式:
;
[2]完全平方和公式:
;
[3]完全平方差公式:
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
[公式1]
[公式2](立方和公式)
[公式3](立方差公式)
例1计算:
(1)
(2)
(3)(4)
例2已知,,求的值.
练习1.填空:
(1)();
(2);
(3).
(1)若是一个完全平方式,则等于()
(A)(B)(C)(D)
(2)不论,为何实数,的值()
(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数
1.3.二次根式
[1]式子叫做二次根式,其性质如下:
(1);
(2);
(3);
(4).
[2]平方根与算术平方根的概念:
叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根.
[3]立方根的概念:
叫做的立方根,记为
例1.将下列式子化为最简二次根式:
(1);
(2);
(3)(4)
例2计算:
(1)
(2)
(3) (4)
例3 化简:
(2)
练习1.填空:
(1)若,则的取值范围是_____;
(3)_____;
(4)若,则________.
等式成立的条件是( )
(A) (B) (C) (D)
3、若,求的值
4、解答:
设,求代数式的值
1.4.分式
[1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当时,分式具有下列性质:
(1);
(2).
[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,
[3]分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;
而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
例1 若,求常数的值.
例2
(1)试证:
(其中n是正整数);
(2)计算:
(3)证明:
对任意大于1的正整数n,有.
例3 设,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.
练习
1.填空题:
对任意的正整数n,();
若,则= ( )
(A)1(B) (C) (D)
3.正数满足,求的值.
4.计算.
专题检测
(一)
1.解不等式:
(1);
(2);
(3).
2.填空:
(1)=________;
(2)若,则的取值范围是________;
(3)________.
(4),,则________;
(5)若,则____;
3.选择题:
(1)若,则 ( )
(A)(B) (C) (D)
(2)计算等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.求值
(1)已知,求的值.
(2)已知:
,求的值.
5.解方程.
6.计算:
.
7.试证:
对任意的正整数n,有<.
专题二因式分解
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
1.公式法
常用的乘法公式:
;
;
.
[4]
[5](立方和公式)
[6](立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进行因式分解.
2.分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
常见题型:
(1)分组后能提取公因式
(2)分组后能直接运用公式
3.十字相乘法
(1)型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
①二次项系数是1;
②常数项是两个数之积;
③一次项系数是常数项的两个因数之和.
∵,
∴
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
(2)一般二次三项式型的因式分解
由我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
4.其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法:
(1)配方法
(2)拆、添项法
例分解因式:
(1)
(2)(3);
(4).(5)(6)
(7)(8)(9)
(10) (11)(12)
练习
1.分解因式:
(2);
(3);
(4).
(5);
(6);
(7);
(8).
3.三边,,满足,试判定的形状.
4.分解因式:
x2+x-(a2-a).
专题三一元二次方程
1.一元二次方程的根的判断式
一元二次方程,用配方法将其变形为:
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把叫做一元二次方程的根的判别式,表示为:
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
[1]当Δ0时,方程有两个不相等的实数根:
;
[2]当Δ0时,方程有两个相等的实数根:
[3]当Δ0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
定理:
如果一元二次方程的两个根为,那么:
说明:
一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知
x1+x2=-p,x1·
x2=q,即p=-(x1+x2),q=x1·
x2,
所以,方程x2+px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0.因此有
以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0.
例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0;
(2)x2-ax-1=0;
(3)x2-ax+(a-1)=0;
(4)x2-2x+a=0.
例2已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
例3已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.
例4已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.
(1)求|x1-x2|的值;
(2)求的值;
(3)x13+x23.
一般规律:
若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则|x1-x2|=(其中Δ=b2-4ac).
例6若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.
练习
1.选择题:
(1)方程的根的情况是()
(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根
(2)若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()
(A)m<(B)m>-
(C)m<,且m≠0(D)m>-,且m≠0
2.填空:
(1)若方程x2-3x-1=0的两根分别是x1和x2,则=.
(2)方程mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是.
(3)以-3和1为根的一元二次方程是.
3.已知,当k取何值时,方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根?
4.已知方程x2-3x-1=0的两根为x1和x2,求(x1-3)(x2-3)的值.
专题检测
A组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是()
(A)-3(B)3(C)-2(D)2
(2)下列四个说法:
①方程x2+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为;
④方程3x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()
(A)0(B)1(C)-1(D)0,或-1
(4)若关于x的方程x2+(k2-1)x+k+1=0的两根互为相反数,则k的值为()
(A)1,或-1(B)1(C)-1(D)0
(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k=.
(2)方程2x2-x-4=0的两根为α,β,则α2+β2=.
(3)已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是.
(4)方程2x2+2x-1=0的两根为x1和x2,则|x1-x2|=.
(5)若m,n是方程x2+2005x-1=0的两个实数根,则m2n+mn2-mn的值等于.
(6)如果a,b是方程x2+x-1=0的两个实数根,那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根?
有两个相等的实数根?
没有实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数.
5.已知关于x的方程x2-kx-2=0.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x1和x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求实数k的取值范围.
6.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2.求:
(1)|x1-x2|和;
(2)x13+x23.
B组
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于()
(A)(B)3(C)6(D)9
(2)若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值为()
(A)6(B)4(C)3(D)
(3)如果关于x的方程x2-2(1-m)x+m2=0有两实数根α,β,则α+β的取值范围为()
(A)α+β≥(B)α+β≤(C)α+β≥1(D)α+β≤1
(4)已知a,b,c是ΔABC的三边长,那么方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是()
(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根
若方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且3x1+2x2=18,则m=.
3.关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x1,x2满足|x1-x2|=2,求实数m的值.
4.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由;
(2)求使-2的值为整数的实数k的整数值;
(3)若k=-2,,试求的值.
5.已知关于x的方程.
无论m取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;
(2)若这个方程的两个实数根x1,x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1,x2.
6.若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、另一根小于1,求实数a的取值范围.
1.平面直角坐标系
[1]组成平面直角坐标系。
叫做轴或横轴,叫做轴或纵轴,轴与轴统称坐标轴,他们的公共原点称为直角坐标系的原点。
[2]平面直角坐标系内的对称点:
对称点或对称直线方程
对称点的坐标
轴
原点
点
直线
2.函数图象
[1]一次函数:
称是的一次函数,记为:
(k、b是常数,k≠0)
特别的,当=0时,称是的正比例函数。
[2]正比例函数的图象与性质:
函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是的一条直线,当时,图象过原点及第一、第三象限,y随x的增大而;
当时,图象过原点及第二、第四象限,y随x的增大而.
[3]一次函数的图象与性质:
函数(k、b是常数,k≠0)的图象是过点(0,b)且与直线y=kx平行的一条直线.设(k≠0),则当时,y随x的增大而;
当时,y随x的增大而.
[4]反比例函数的图象与性质:
函数(k≠0)是双曲线,当时,图象在第一、第三象限,在每个象限中,y随x的增大而;
当时,图象在第二、第四象限.,在每个象限中,y随x的增大而.双曲线是轴对称图形,对称轴是直线与;
又是中心对称图形,对称中心是原点.
例1已知、,根据下列条件,求出、点坐标.
(1)、关于x轴对称;
(2)、关于y轴对称;
(3)、关于原点对称.
例2已知一次函数y=kx+2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点,O为原点,若ΔAOB的面积为2,求此一次函数的表达式。
例3如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于,两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象回答:
当取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
【巩固练习】1.函数与在同一坐标系内的图象可以是()
2.如图,平行四边形ABCD中,A在坐标原点,D在第一象限角平分线上,又知,,求点的坐标.
3.如图,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.
(1)求的值;
(2)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.
4.2二次函数
问题1函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系?
通过研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.
问题2函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系?
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;
h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;
k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法:
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具
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