高二数学双曲线试题(有答案)Word下载.doc
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∴+===28;
①
又点P是此双曲线上的一点,
∴||PF1|﹣|PF2||=2a,
∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2,由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4,
∴+﹣8=4a2,②
由①②得:
a2=5,又c2==7,
∴b2=c2﹣a2=2.
∴双曲线的方程为:
故选C.
5.已知双曲线E的中心为原点,P(3,0)是E的焦点,过P的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(﹣12,﹣15),则E的方程式为( )
由已知条件易得直线l的斜率为k=kFN=1,
设双曲线方程为,
A(x1,y1),B(x2,y2),
则有,
两式相减并结合x1+x2=﹣24,y1+y2=﹣30得
=,
从而==1
即4b2=5a2,
又a2+b2=9,
解得a2=4,b2=5,
故选B.
6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( )
x=±
y=
x=
∵椭圆和双曲线有公共焦点
∴3m2﹣5n2=2m2+3n2,整理得m2=8n2,
∴=2
双曲线的渐近线方程为y=±
=±
x
故选D
7.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率,其焦点到渐近线的距离为1,则此双曲线的方程为( )
﹣y2=1
﹣=1
x2﹣y2=1
设双曲线的方程为,渐近线方程为
∵双曲线的离心率,其焦点到渐近线的距离为1,
∴,=1
∴b=1,a=
∴双曲线的方程为﹣y2=1
故选A.
8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A,B两点,点F是抛物线的焦点,若双曲线的一条渐近线方程是,且△FAB是直角三角形,则双曲线的标准方程是( )
依题意知抛物线的准线x=﹣2.代入双曲线方程得
y=±
.双曲线的一条渐近线方程是,
∴则不妨设A(﹣2,),F(2,0)
∵△FAB是等腰直角三角形,
∴=4,解得:
a=,b=4
∴c2=a2+b2=2+16=20,
∴双曲线的标准方程是
故选C
9..※【本资料来源:
全品高考网、全品中考网;
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(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为,所以,,,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,,,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.
10.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°
,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为( )
设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.
若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°
,且|AF1|=3|AF2|,
设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2,,
∴离心率,
11.设双曲线的﹣个焦点为F;
虚轴的﹣个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
则F(c,0),B(0,b)
直线FB:
bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直,
所以,即b2=ac
所以c2﹣a2=ac,即e2﹣e﹣1=0,
所以或(舍去)
12.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是(C)
A.B.C.D.
【答案】C
13.如图,F1,F2分别是双曲线C:
(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A.B。
C.D.
【解析】由题意知直线的方程为:
,联立方程组得点Q,联立方程组得点P,所以PQ的中点坐标为,所以PQ的垂直平分线方程为:
,令,得,所以,所以,即,所以。
故选B
14.过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
过双曲线的右顶点A(1,0)作斜率为1的直线l:
y=x﹣1,
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),
联立方程组代入消元得(b2﹣1)x2+2x﹣1=0,
∴,
∴x1+x2=2x1x2,
又|AB|=|BC|,则B为AC中点,2x1=1+x2,
代入解得,
∴b2=9,双曲线M的离心率e=,
二:
填空题
15.以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆方程是
.
双曲线的顶点为(0,﹣2)和(0,2),焦点为(﹣3,0)和(3,0).
∴椭圆的焦点坐标是(0,﹣2)和(0,2),顶点为(﹣3,0)和(3,0).
∴椭圆方程为.
故答案:
.
16.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为.
【解析】设双曲线C:
-=1的半焦距为,则.
又C的渐近线为,点P(2,1)在C的渐近线上,,即.
又,,C的方程为-=1.
17已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同.则双曲线的方程为 .
由双曲线渐近线方程可知①
因为抛物线的焦点为(4,0),所以c=4②
又c2=a2+b2③
联立①②③,解得a2=4,b2=12,
所以双曲线的方程为.
故答案为.
18.已知双曲线C过点,一条渐近线方程为,双曲线C的标准方程为 .
根据题意,双曲线的一条渐近线方程为,
设双曲线方程为=λ(λ≠0),
∵双曲线过点,
∴=λ,即λ=﹣1.
∴所求双曲线方程为
故答案为:
19.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:
3两段,则此双曲线的离心率为 .
∵抛物线y2=2bx的焦点F(,0),双曲线﹣=1(a>b>0)左、右焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),
又线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:
3两段,
∴=,即=,
∴c=2b;
又c2=a2+b2=4b2,
∴a2=3b2,
∴此双曲线的离心率e2===,
∴e==.
20.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0有交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
由圆x2+y2﹣4x+2=0化为(x﹣2)2+y2=2,得到圆心(2,0),半径r=.
∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0有交点,
∴,化为b2≤a2.
∴.
∴该双曲线的离心率的取值范围是.
三:
解答题
21.已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.
∵
(1)原点到直线AB:
的距离.
故所求双曲线方程为
(2)把中消去y,整理得.
设的中点是,则
即
故所求k=±
.
22.已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为,求直线l的方程.
(Ⅰ):
依题意,由a2+b2=4,得双曲线方程为(0<a2<4),
将点(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,
故所求双曲线方程为.
(Ⅱ):
依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,
得(1﹣k2)x2﹣4kx﹣6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
∴k∈(﹣)∪(1,).
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=,
于是,|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d=,
∴S△OEF=.
若S△OEF=,即,解得k=±
,
满足②.故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=和.
23.已知双曲线的中心在原点O,右焦点为F(c,0),P是双曲线右支上一点,且△OEP的面积为
(Ⅰ)若点P的坐标为,求此双曲线的离心率;
(Ⅱ)若,当取得最小值时,求此双曲线的方程.
(Ⅰ)设所求的双曲线的方程为,
由
∴b2=c2﹣a2=2﹣a2.
由点在双曲线上,
∴离心率
(Ⅱ)设所求的双曲线的方程为,
则
∵△OFP的面积为
∵
解得∵,
当且仅当时等号成立.
此时
(舍).
则所求双曲线的方程为.
24.如图,已知双曲线,其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,直线AB交PF于点D,且点D满足(O为原点).
(1) 求双曲线的离心率;
(2) 若a=2,过点B的直线l交双曲线于M、N两点,问在y轴上是否存在定点C使为常数?
若存在,求出C点的坐标;
若不存在,请说明理由.
解:
(1)B(0,–b),A(,0),F(c,0),P(c,)
∵∴D为线段FP的中点,
∴D为(c,)
∴,∴a=2b,
∴
(2)a=2,则b=1,B(0,–1)双曲线的方程为①
设M(x1,y1),N(x2,y2),C(0,m)
由已知
设
整理得:
对满足的k恒成立
∴.
故存在y轴上的点C(0,4),使为常数17
25.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:
y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.
[来源:
学科网]
【答案】
(1)
(2)联立方程组得
……
(1)
由
(1)有两个不相等的负根得
(3)的垂直平分线方程为
从而得
26.已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F,右准线与轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点O为坐标原点,又,过点F的直线与双曲线右交于点M、N,点P为点M关于轴的对称点。
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:
B、P、N三点共线;
(3)求面积的最小值。
【答案】解:
(1)易得双曲线方程为
(2)由
(1)可知得点设直线L的方程为:
由:
可得
所以所以
因为
=
=0
所以向量共线。
所以B,P,N三点共线
(3)因为直线L与双曲线右支相交于M,N
所以所以
令
当时,三角形BMN面积的最小值为18
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- 数学 双曲线 试题 答案