三角恒等变换(附答案)文档格式.doc
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sin2α=2sin__αcos__α.
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan2α=.
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±
tanβ=tan(α±
β)(1∓tan__αtan__β).
(2)cos2α=,sin2α=.
(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,
1-sin2α=(sinα-cosα)2,
sinα±
cosα=sin.
4.归一公式
函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·
cos(α-φ).
二、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点,作图时的一般步骤为:
(1)定点:
如下表所示.
x
-
ωx+φ
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
A
-A
(2)作图:
在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展:
将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.
2.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径
3.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义
当函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A叫做振幅,T=叫做周期,f=叫做频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.
第二部分:
考点分析
高频考点一归一公式应用
例1:
(1);
⑵;
⑶;
⑷.
【变式练习1】
(1)。
①求它的递减区间;
②求它的最大值和最小值
(2)已知函数(其中),求:
①函数的最小正周期;
②函数的单调区间;
③函数图象的对称轴和对称中心.
(3)设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>
0)的最小正周期为.
①求ω的值;
②若函数y=g(x)的图像是由y=f(x)的图像向右平移个单位长度得到的,求y=g(x)的单调增区间.
[解析]
(1)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+1+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=sin(2ωx+)+2,依题意得=,故ω的值为.
(2)依题意得g(x)=sin+2=sin+2,
由2kπ-≤3x-≤2kπ+ (k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z),
故y=g(x)的单调增区间为 (k∈Z).
高频考点二三角函数式的化简与给角求值
【例2】
(1)=_____________________
(2)若,则等于()
(A) (B) (C) (D)
(3)已知,,求值
(4)已知α∈(0,π),化简:
=________.
(5)[2sin50°
+sin10°
(1+tan10°
)]·
=______.
【答案】 (4)cosα (4)
【解析】
(1)原式=
==.
因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cosα.
(2)原式=·
sin80°
=(2sin50°
+2sin10°
·
)·
cos10°
=2[sin50°
cos(60°
-10°
)]
=2sin(50°
+10°
)=2×
=.
【点拨】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
①一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;
②二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
③三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇到根式一般要升幂”等.
(2)对于给角求值问题,一般给定的角是非特殊角,这时要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代数变形(比如:
正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.
【变式练习2】
(1)4cos50°
-tan40°
=( )
A.B.C.D.2-1
(2)化简:
sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β=________.
【答案】
(1)C
(2)
【解析】
(1)原式=4sin40°
===
===,故选C.
(2)法一 (从“角”入手,复角化单角)
原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(2cos2α-1)(2cos2β-1)
=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)
=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-
=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-
=sin2β+cos2β-=1-=.
法二 (从“名”入手,异名化同名)
原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-cos2αcos2β
=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos2αcos2β
=cos2β-cos2β(sin2α+cos2α)=-cos2β=.
法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次)
原式=·
+·
-cos2α·
cos2β
=(1+cos2α·
cos2β-cos2α-cos2β)+(1+cos2α·
cos2β+cos2α+cos2β)-cos2α·
=+=.
法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
原式=(sinαsinβ-cosαcosβ)2+2sinαsinβ·
cosαcosβ-cos2αcos2β
=cos2(α+β)+sin2α·
sin2β-cos2α·
=cos2(α+β)-cos(2α+2β)
=cos2(α+β)-[2cos2(α+β)-1]=.
高频考点三三角函数的给值求值、给值求角
【例3】
(1)已知,是第三象限角,求的值.
(2)已知sin(30°
+α)=,60°
<
α<
150°
,求cosα的值.
(3)已知0<
β<
π,且cos=-,sin=,求
cos(α+β)的值;
(4)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.
(2)(3)-;
(4)-.
【解析】
(2)方法二:
把30°
+α看作整体,可求cos(30°
+α)的值.∵60°
,∴90°
30°
+α<
180°
.
∵sin(30°
+α)=,∴cos(30°
+α)=-.
∴sin(30°
+α)=sin30°
cosα+cos30°
sinα=cosα+sinα=,①
cos(30°
+α)=cos30°
cosα-sin30°
sinα=cosα-sinα=-.②
由①②,得cosα=.
(3)∵0<
π,∴<
α-<
π,-<
-β<
,
∴sin==,
cos==,
∴cos=cos
=coscos+sinsin
=×
+×
=,
∴cos(α+β)=2cos2-1=2×
-1=-.
(4)∵tanα=tan[(α-β)+β]=
==>
0,又α∈(0,π).
∴0<
,又∵tan2α===>
0,
2α<
∴tan(2α-β)===1.
∵tanβ=-<
0,∴<
π,-π<
2α-β<
∴2α-β=-.
【点拨】
(1)解题中注意变角,如本题中=-;
(2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;
若角的范围是,选正、余弦皆可;
若角的范围是(0,π),选余弦较好;
若角的范围为,选正弦较好.
【变式练习3】已知cosα=,cos(α-β)=,且0<
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
(1)-;
(2)
(1)∵cosα=,0<
∴sinα=,∴tanα=4,
∴tan2α===-.
(2)∵0<
,∴0<
α-β<
∴sin(α-β)=,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
∴β=.
高频考点四三角变换的简单应用
【例4】已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.
(1)A=3.
(2).
(1)由f=,得Asin=Asin=
A=,所以A=3.
(2)由f(θ)-f(-θ)=3sin-3sin=
3
=6sinθcos=3sinθ=,
∴sinθ=.
∵θ∈,∴cosθ=,
∴f=3sin
=3sin=3cosθ=.
【点拨】 解三角函数问题的基本思想是“变换”,通过适当的变换达到由此及彼的目的,变换的基本方向有两个,一个是变换函数的名称,一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;
变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.
【变式练习4】已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
(1),k∈Z.
(2)-或-.
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为
,k∈Z,
由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+≤x≤+,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为
,k∈Z.
(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sinαcos+cosαsin
=(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,
知α=+2kπ,k∈Z.
此时cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,
此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
高频考点五三角函数的定义域、值域
【例5】
(1)函数y=的定义域为___________________________.
(2)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2-B.0C.-1D.-1-
【答案】
(1){x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}
(2)A
(1)要使函数有意义,必须有
即
故函数的定义域为{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}.
(2)∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,
∴sin∈.
∴y∈,∴ymax+ymin=2-.
【点拨】
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:
①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asinxcosx+b(sinx±
cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±
cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【变式练习5】
(1)函数y=的定义域为________.
(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.
【答案】
(1)
【解析】
(1)法一 要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为
法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围
(如图阴影部分所示).
∴定义域为
法三 sinx-cosx=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,
解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
所以定义域为.
(2)设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-
2sinxcosx,sinxcosx=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;
当t=-时,ymin=--.
∴函数的值域为.
高频考点六三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例6】
(1)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A.B.C.D.
(2)函数y=2cos2-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
(1)A
(2)A
(1)=2,即ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ),
∴f=sin=±
1.
∵0<φ<π,∴<φ+<,
∴φ+=,∴φ=.
(2)y=2cos2-1=cos=sin2x为奇函数,最小正周期T==π.
【点拨】
(1)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;
求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为T=;
奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acosωx+b的形式.
【变式练习6】
(1)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
(2)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( )
A.B.C.D.
(1)A
(2)C
(1)由题意得3cos=3cos
=3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.
(2)由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+,即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=.
高频考点七三角函数的单调性
【例7】
(1)已知f(x)=sin,x∈[0,π],则f(x)的单调递增区间为________.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.B.
C.D.(0,2]
(1)
(2)A
(1)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.又x∈[0,π],
所以f(x)的单调递增区间为.
(2)由<x<π得ω+<ωx+<πω+,
由题意知⊆,
∴
∴≤ω≤,故选A.
【点拨】
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.
(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【变式练习7】函数f(x)=sin的单调减区间为______.
(k∈Z)
【解析】由已知函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的减区间为(k∈Z).
高频考点八函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例8】设函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相;
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(3)说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
(1)f(x)=sinωx+cosωx
=2=2sin,
又∵T=π,∴=π,即ω=2.∴f(x)=2sin.
∴函数f(x)=sinωx+cosωx的振幅为2,初相为.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表,并描点画出图象:
X
y=sinX
1
-1
y=2sin
2
-2
(3)法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到y=sin的图象;
再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;
最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移个单位,得到y=sin2=sin的图象;
再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin的图象.
【点拨】 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法:
(1)五点法作图法,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;
(2)图象的变换法,由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【变式练习8】设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.
(1)∵T==π,ω=2,
又f=cos=,∴sinφ=-,
又-<φ<0,∴φ=-.
(2)由
(1)得f(x)=cos,列表:
2x-
f(x)
图象如图.
高频考点九由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例9】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.
【答案】f(x)=sin
【解析】由题图可知A=,
法一 =-=,
所以T=π,故ω=2,
因此f(x)=sin(2x+φ),
又对应五点法作图中的第三个点,因此2×
+φ=π,所以
φ=,故f(x)=sin.
法二 以为第二个“零点”,为最小值点,
列方程组解得
故f(x)=sin.
【点拨】 已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:
(1)五点法,由ω=即可求出ω;
确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ;
(2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
【变式练习9】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f的值为________.
【答案】1
【解析】由三角函数图象可得A=2,T=-=π,所以周期T=π=,解得ω=2.又函数图象过点所以f=2sin=2,0<φ<π,解得φ=,所以f(x)=2sin,f=2sin=1.
高频考点十 函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用
【例10】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
(2)(k∈Z).
【解析】
(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×
+φ=kπ+,k∈Z,因为-≤φ<,所以k=0,
所以φ=-=-,
所以f(x)=sin,
则f=sin=sin=.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,
所以g(x)=f=sin
=sin.
当2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
【点拨】函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间和对称性的确定,基本思想是把ωx+φ看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综合利用这些性质解决问题,解题时可利用数形结合思想.
【变式练习10】已知函数f(x)=2sin·
cos-sin(x+π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
(1)f(x
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- 三角 恒等 变换 答案