南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷Word下载.doc
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8.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率k=-,则线段PF的长为▲.
9.若sin(α-)=,α∈(0,),则cosα的值为▲.
10.α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是▲(填上所有正确命题的序号).
①若α∥β,mÌ
α,则m∥β;
②若m∥α,nÌ
α,则m∥n;
③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;
④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.
11.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:
kx-y+2=0与直线l2:
x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为▲.
12.若函数f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为▲.
13.已知平面向量=(1,2),=(-2,2),则•的最小值为▲.
14.已知函数f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则的最小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,DC=2.
A
B
C
D
(第15题图2)
(第15题图1)
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大小;
(2)若∠ABC=,求△ADC的面积.
16.(本小题满分14分)
如图,四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.
(第16题图)
P
(1)求证:
CD⊥AP;
(2)若CD⊥PD,求证:
CD∥平面PAB;
17.(本小题满分14分)
在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;
(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.
(第17题图)
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆C:
+=1经过点(b,2e),其中e为椭圆C的离心率.过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A,B两点(A在x轴下方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M,N,求的值;
x
y
O
T
M
N
(第18题图)
(3)记直线l与y轴的交点为P.若=,求直线l的斜率k.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ex-ax-1,其中e为自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=e,函数g(x)=(2-e)x.
①求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
②若函数F(x)=的值域为R,求实数m的取值范围;
(2)若存在实数x1,x2∈[0,2],使得f(x1)=f(x2),且|x1-x2|≥1,
求证:
e-1≤a≤e2-e.
20.(本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1-,
(n+2)cn=-,其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求证:
数列{an}是等差数列.
数学附加题2017.03
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
如图,△ABC的顶点A,C在圆O上,B在圆外,线段AB与圆O交于点M.
(1)若BC是圆O的切线,且AB=8,BC=4,求线段AM的长度;
(第21(A)图)
(2)若线段BC与圆O交于另一点N,且AB=2AC,求证:
BN=2MN.
B.选修4—2:
矩阵与变换
设a,b∈R.若直线l:
ax+y-7=0在矩阵A=对应的变换作用下,得到的直线为l′:
9x+y-91=0.求实数a,b的值.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l:
(t为参数),与曲线C:
(k为参数)交于A,B两点,求线段AB的长.
D.选修4—5:
不等式选讲
设a≠b,求证:
a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,
∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
D1
C1
B1
F
E
A1
(第22题图)
(2)点M在线段A1D上,=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.
23.(本小题满分10分)
现有(n≥2,n∈N*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵:
*…………………第1行
**…………………第2行
***…………………第3行
……………
…………………
**…………**…………………第n行
设Mk是第k行中的最大数,其中1≤k≤n,k∈N*.记M1<M2<…<Mn的概率为pn.
(1)求p2的值;
(2)证明:
pn>.
数学参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.)
1.(-∞,1)2.23.4.305.176.31
7.8.69.10.①④11.312.{2}
13.-14.-
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
解:
(1)设∠BAD=α,∠DAC=β.
因为AD⊥BC,AD=6,BD=3,DC=2,
所以tanα=,tanβ=,…………………2分
所以tan∠BAC=tan(α+β)===1.…………………4分
又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=.…………………6分
(2)设∠BAD=α.
在△ABD中,∠ABC=,AD=6,BD=3.
由正弦定理得=,解得sinα=.…………………8分
因为AD>BD,所以α为锐角,从而cosα==.…………………10分
因此sin∠ADC=sin(α+)=sinαcos+cosαsin
=(+)=.…………………12分
△ADC的面积S=×
AD×
DC·
sin∠ADC
=×
6×
2×
=(1+).…………………14分
证明:
(1)因为AD⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,
所以AD⊥AP.…………………2分
又因为AP⊥AB,AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以AP⊥平面ABCD.…………………4分
因为CD⊂平面ABCD,
所以CD⊥AP.…………………6分
(2)因为CD⊥AP,CD⊥PD,且PD∩AP=P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.①…………………8分
因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,
所以AB⊥AD.
又因为AP⊥AB,AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥平面PAD.②…………………10分
由①②得CD∥AB,…………………12分
因为CD平面PAB,AB⊂平面PAB,
所以CD∥平面PAB.…………………14分
17.(本小题满分14分)
(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3600,故当a=90时,b=40,
从而包装盒子的侧面积
S=2×
x(90-2x)+2×
x(40-2x)
=-8x2+260x,x∈(0,20).…………………3分
因为S=-8x2+260x=-8(x-)2+,
故当x=时,侧面积最大,最大值为平方厘米.
答:
当x=时,纸盒的侧面积的最大值为平方厘米.…………………6分
(2)包装盒子的体积
V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈(0,),b≤60.……………8分
V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2)
=x(3600-240x+4x2)
=4x3-240x2+3600x.…………………10分
当且仅当a=b=60时等号成立.
设f(x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30).
则f′(x)=12(x-10)(x-30).
于是当0<x<10时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,10)上单调递增;
当10<x<30时,f′(x)<0,所以f(x)在(10,30)上单调递减.
因此当x=10时,f(x)有最大值f(10)=16000,………………12分
此时a=b=60,x=10.
当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16000立方厘米.
………………14分
(1)因为椭圆+=1经过点(b,2e),所以+=1.
因为e2==,所以+=1.
因为a2=b2+c2,所以+=1.……………………2分
整理得b4-12b2+32=0,解得b2=4或b2=8(舍).
所以椭圆C的方程为+=1.……………………4分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为T(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1).
联立直线l与椭圆方程
消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,
所以………………6分
因为MN∥l,所以直线MN方程为y=kx,
联立直线MN与椭圆方程
消去y得(2k2+1)x2=8,解得x2=.
因为MN∥l,所以=.……………………8分
因为(1-x1)·
(x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1]=,
(xM-xN)2=4x2=,
所以==·
=.…………………10分
(3)在y=k(x-1)中,令x=0,则y=-k,所以P(0,-k),
从而=(-x1,-k-y1),=(x2-1,y2).
因为=,所以-x1=(x2-1),即x1+x2=.……………………12分
由
(2)知,
由解得x1=,x2=.………………14分
因为x1x2=,所以×
=,
整理得50k4-83k2-34=0,解得k2=2或k2=-(舍).
又因为k>0,所以k=.……………………16分
(1)当a=e时,f(x)=ex-ex-1.
①h(x)=f(x)-g(x)=ex-2x-1,h′(x)=ex-2.
由h′(x)>0得x>ln2,由h′(x)<0得x<ln2.
所以函数h(x)的单调增区间为(ln2,+∞),单调减区间为(-∞,ln2).
…………………3分
②f′(x)=ex-e.
当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x>1时,f′(x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
1°
当m≤1时,f(x)在(-∞,m]上单调递减,值域为[em-em-1,+∞),
g(x)=(2-e)x在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m),
因为F(x)的值域为R,所以em-em-1≤(2-e)m,
即em-2m-1≤0.(*)
由①可知当m<0时,h(m)=em-2m-1>h(0)=0,故(*)不成立.
因为h(m)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,1)上单调递增,且h(0)=0,h
(1)=e-3<0,
所以当0≤m≤1时,h(m)≤0恒成立,因此0≤m≤1.…………………6分
2°
当m>1时,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,m]上单调递增,
所以函数f(x)=ex-ex-1在(-∞,m]上的值域为[f
(1),+∞),即[-1,+∞).
g(x)=(2-e)x在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m).
因为F(x)的值域为R,所以-1≤(2-e)m,即1<m≤.
综合1°
,2°
可知,实数m的取值范围是[0,].…………………9分
(2)f′(x)=ex-a.
若a≤0时,f′(x)>0,此时f(x)在R上单调递增.
由f(x1)=f(x2)可得x1=x2,与|x1-x2|≥1相矛盾,
所以a>0,且f(x)在(-∞,lna]单调递减,在[lna,+∞)上单调递增.……11分
若x1,x2∈(-∞,lna],则由f(x1)=f(x2)可得x1=x2,与|x1-x2|≥1相矛盾,
同样不能有x1,x2∈[lna,+∞).
不妨设0≤x1<x2≤2,则有0≤x1<lna<x2≤2.
因为f(x)在(x1,lna)上单调递减,在(lna,x2)上单调递增,且f(x1)=f(x2),
所以当x1≤x≤x2时,f(x)≤f(x1)=f(x2).
由0≤x1<x2≤2,且|x1-x2|≥1,可得1∈[x1,x2],
故f
(1)≤f(x1)=f(x2).………………14分
又f(x)在(-∞,lna]单调递减,且0≤x1<lna,所以f(x1)≤f(0),
所以f
(1)≤f(0),同理f
(1)≤f
(2).
即解得e-1≤a≤e2-e-1,
所以e-1≤a≤e2-e.……………………16分
(1)因为{an}是公差为2的等差数列,
所以an=a1+2(n-1),=a1+n-1,…………………2分
从而(n+2)cn=-(a1+n-1)=n+2,即cn=1.………4分
(2)由(n+1)bn=an+1-,
得n(n+1)bn=nan+1-Sn,
(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,
两式相减,并化简得an+2-an+1=(n+2)bn+1-nbn.………………………6分
从而(n+2)cn=-=-[an+1-(n+1)bn]
=+(n+1)bn
=(n+2)(bn+bn+1).
因此cn=(bn+bn+1).………………………9分
因为对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,所以λ≤cn=(bn+bn+1)≤λ,
故bn=λ,cn=λ.………………………11分
所以(n+1)λ=an+1-,Error!
Referencesourcenotfound.
(n+2)λ=(an+1+an+2)-,Error!
Error!
Referencesourcenotfound.-Error!
Referencesourcenotfound.,得(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ.
故an+1-an=2λ(n≥2).………………………14分
又2λ=a2-=a2-a1,则an+1-an=2λ(n≥1).
所以数列{an}是等差数列.………………………16分
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试
数学附加参考答案及评分标准
(1)因为BC是圆O的切线,故由切割线定理得BC2=BM·
BA.……………2分
设AM=t,因为AB=8,BC=4,
所以42=8(8-t),解得t=6,即线段AM的长度为6.…………………………4分
(2)因为四边形AMNC为圆内接四边形,所以∠A=∠MNB.……………………6分
又∠B=∠B,所以△BMN∽△BCA,………………………8分
所以=.
因为AB=2AC,所以BN=2MN.………………………10分
(方法一)在直线l:
ax+y-7=0取点A(0,7),B(1,7-a).
因为=,=,……………4分
所以A(0,7),B(1,7-a)在矩阵A对应的变换作用下
分别得到点A′(0,7b),B′(3,b(7-a)-1).
由题意,知A′,B′在直线l′:
9x+y-91=0上,
所以……………8分
解得a=2,b=13.……………10分
(方法二)设直线l上任意一点P(x,y),点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x′,y′).
因为=,所以……………4分
又因为点Q(x′,y′)在直线l′上,所以9x′+y′-91=0.
即27x+(-x+by)-91=0,也即26x+by-91=0,
又点P(x,y)在直线l上,所以有ax+y-7=0.……………8分
所以==,解得a=2,b=13.……………10分
(方法一)直线l的参数方程化为普通方程得4x-3y=4,
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x.………………4分
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- 南京市 盐城市 2017 三年级 第二次 模拟考试 数学试卷