与球有关的切、接问题(有答案)Word文档格式.doc
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截面图为正方形EFHG的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a,则|OJ|=r=(r为内切球半径).
②与正方体各棱相切的球:
截面图为正方形EFHG的外接圆,则|GO|=R=a.
③正方体的外接球:
截面图为正方形ACC1A1的外接圆,则|A1O|=R′=a.
(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:
①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A1
AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD
A1B1C1D1的外接球的球心重合.如图,设AA1=a,则R=a.
②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2==(l为长方体的体对角线长).
角度一:
正四面体的内切球
1.(2015·
长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则=________.
解析:
设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4·
·
a2=a2,其内切球半径为正四面体高的,即r=·
a=a,因此内切球表面积为S2=4πr2=,则==.
角度二:
直三棱柱的外接球
2.(2015·
唐山统考)如图,直三棱柱ABC
A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为( )
A.2 B.1C. D.
选C 由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,∴∠BAC=90°
,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),∴2+2=1,即x=,则AB=AC=1,∴S矩形ABB1A1=×
1=.
角度三:
正方体的外接球
3.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为________.
依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对角线;
∴2R=2(R为球的半径),∴R=,∴球的体积V=πR3=4π.
答案:
4π
角度四:
四棱锥的外接球
4.(2014·
大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
A.B.16πC.9πD.
选A 如图所示,设球半径为R,底面中心为O′且球心为O,∵正四棱锥P
ABCD中AB=2,∴AO′=.
∵PO′=4,∴在Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2,∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,∴该球的表面积为4πR2=4π×
2=,故选A.
[类题通法]
“切”“接”问题的处理规律
1.“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.
2.“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
[牛刀小试]
云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于( )
A.100π B.C.25π D.
选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S=4πR2=100π.
2.(2014·
陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )
A.B.4πC.2π D.
选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=×
13=.故选D.
3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为时,其高的值为( )
A.3B.C.2 D.2
选D 设正六棱柱的高为h,则可得()2+=32,解得h=2.
4.(2015·
山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体A
BCD,则四面体A
BCD的外接球的体积为________.
设AC与BD相交于O,折起来后仍然有OA=OB=OC=OD,∴外接球的半径r==,从而体积V=×
3=.
5.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.
设等边三角形的边长为2a,则V圆锥=·
πa2·
a=πa3;
又R2=a2+(a-R)2,所以R=a,故V球=·
3=a3,则其体积比为.
[高考全国课标卷真题追踪]
1.(15课标1理)已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为(C)
(A)(B)(C)(D)
2.(13课标1理)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为(A)
(A)(B)
(C)(D)
3.(12课标理)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为(A)
(A)(B)(C)(D)
4.(12课标文)平面截球的球面所得圆的半径为1,球心到平面的距离为,则此球的体积为(B)
(A)π(B)4π(C)4π(D)6π
5.(10新课标理)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(B)
(A) (B) (C) (D)
6.(10新课标文)设长方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(B)
(A) (B) (C) (D)
7.(07新课标文)已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上,球心在上,底面,,则球的体积与三棱锥体积之比是(D)
A. B. C. D.
8.(13新课标2文)已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则以为球心,为半径的球的表面积为。
9.(13新课标1文)已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为__。
10.(11新课标理)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为.
11.(11新课标文)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球
面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较
大者的高的比值为.
12.(08新课标理)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点
都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,那么这个球的体积为
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