高三数学不等式1基本不等式经典例题高考真题剖析解析版Word文档下载推荐.doc
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当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。
技巧二:
凑系数
当时,求的最大值。
解析:
由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8。
变式:
设,求函数的最大值。
∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
技巧三:
分离、换元
求的值域。
解析一:
本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。
解析二:
本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。
当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。
技巧四:
在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。
求函数的值域。
令,则
因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。
因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。
所以,所求函数的值域为。
技巧五:
整体代换
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
。
已知,且,求的最小值错解:
,且,故。
错因:
解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。
因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解:
当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,。
技巧六
已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.
分析:
因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为,x=x=x·
下面将x,分别看成两个因式:
x·
≤==即x=·
x≤
技巧七:
已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.
这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;
二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:
a=,ab=·
b=
由a>0得,0<b<15
令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8
∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
法二:
由已知得:
30-ab=a+2b∵a+2b≥2 ∴30-ab≥2
令u= 则u2+2u-30≤0,-5≤u≤3
∴≤3,ab≤18,∴y≥
点评:
①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;
②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.
技巧八、取平方
例:
求函数的最大值。
注意到与的和为定值。
又,所以
当且仅当=,即时取等号。
故。
应用二:
利用均值不等式证明不等式
已知a、b、c,且。
求证:
不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。
a、b、c,。
同理,。
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
当且仅当时取等号。
应用三:
均值不等式与恒成立问题
已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。
令,
。
,
应用四:
均值定理在比较大小中的应用:
若,则的大小关系是.
∵∴
(
∴R>
Q>
P。
【高考真题训练】
1.(2010·
山东)已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为__3___.
2.(2011·
陕西)设0<
a<
b,则下列不等式中正确的是 (B)
A.a<
b<
<
B.a<
b
C.a<
D.<
3.(2010·
四川)设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是 (B)
A.2 B.4 C.2 D.5
4.(2013课标全国Ⅱ,文24)选修4—5:
不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)≥1.
(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为,,,
故≥2(a+b+c),
即≥a+b+c.
所以≥1.
5.[2014·
重庆卷]若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )
A.6+2 B.7+2
C.6+4 D.7+4
D [解析]由log4(3a+4b)=log2,得3a+4b=ab,则+=1,所以a+b=(a+b)=7++≥7+2 =7+4 ,当且仅当=,即a=4+2 ,b=2 +3时等号成立,故其最小值是7+4 .
6.[2014·
湖北卷]某项研究表明:
在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:
辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:
米/秒)、平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比
(1)中的最大车流量增加________辆/小时.
(1)1900
(2)100 [解析]
(1)依题意知,l>
0,v>
0,所以当l=6.05时,
F==≤=1900,当且仅当v=11时,取等号.
(2)当l=5时,
F==≤2000,
当且仅当v=10时,取等号,此时比
(1)中的最大车流量增加100辆/小时.
7.[2014·
福建卷]要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元B.120元
C.160元D.240元
C [解析]设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3,高为1m.得另一边长为m.
记容器的总造价为y元,则
y=4×
20+2×
1×
10
=80+20
≥80+20×
2
=160,
当且仅当x=,即x=2时等号成立.
因此,当x=2时,y取得最小值160,即容器的最低总造价为160元,故选C.
8.[2014·
辽宁卷]对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为________.
-1 [解析]因为4a2-2ab+b2-c=0,所以(2a+b)2-c=6ab=3×
2ab≤3×
,所以(2a+b)2≤4c,当且仅当b=2a,c=4a2时,|2a+b|取得最大值.故++=+=-1,其最小值为-1.
9.[2014·
浙江卷]已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是________.
[解析]方法一:
令b=x,c=y,则x+y=-a,x2+y2=1-a2,此时直线x+y=-a与圆x2+y2=1-a2有交点,则圆心到直线的距离d=≤,解得a2≤,所以a的最大值为.
方法二:
将c=-(a+b)代入a2+b2+c2=1得2b2+2ab+2a2-1=0,此关于b的方程有实数解,则Δ=(2a)2-8(2a2-1)≥0,整理得到a2≤,所以a的最大值为.
10.[2014·
江苏卷]若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是______.
[解析]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则由正弦定理得a+b=2c.故
cosC====-≥-=,
当且仅当3a2=2b2,即=时等号成立.
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