苏州市高三暑假自主学习调查Word文档下载推荐.doc
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12.已知P是直线l:
上一动点,PA,PB是圆C:
的两条切线,切点分别为A,B.若四边形PACB的最小面积为2,则k=.
13.已知函数和的图象的对称轴完全相同,则的值是.
14.已知各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为______.
15.已知向量,,,其中为的内角.(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若,且,求的长.
16.如图,四棱锥的底面为矩形,,,分别是的中点,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面.
17.设数列的前n项和为,对任意满足,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前2n项和.
18.如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排,在路南侧沿直线排,现要在矩形区域ABCD内沿直线将与接通.已知AB=60m,BC=80m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成的小于的角为.
(Ⅰ)求矩形区域ABCD内的排管费用W关于的函数关系式;
(Ⅱ)求排管的最小费用及相应的角.
19.已知椭圆的长轴两端点分别为A,B,是椭圆上的动点,以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD,使,PD交AB于点E,PC交AB于点F.
(Ⅰ)如图
(1),若k=1,且P为椭圆上顶点时,的面积为12,点O到直线PD的距离为,求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图
(2),若k=2,试证明:
AE,EF,FB成等比数列.
图
(1)图
(2)
20.对于函数,若在定义域内存在实数x,满足,则称为“局部奇函数”.
(Ⅰ)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?
并说明理由;
(Ⅱ)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
B.已知矩阵A=,B=,求矩阵.
C.已知曲线C的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.试求曲线C和的直角坐标方程,并判断两曲线的位置关系.
22.在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点到点的距离与到直线的距离相等.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设,是x轴上的两点,过点分别作x轴的垂线,与曲线C分别交于点,直线与x轴交于点,这样就称确定了.同样,可由确定了.现已知,求的值.
23.设a,b为实数,我们称(a,b)为有序实数对.类似地,设A,B,C为集合,我们称(A,B,C)为有序三元组.如果集合A,B,C满足,且,则我们称有序三元组(A,B,C)为最小相交(表示集合S中的元素的个数).
(Ⅰ)请写出一个最小相交的有序三元组,并说明理由;
(Ⅱ)由集合的子集构成的所有有序三元组中,令N为最小相交的有序三元组的个数,求N的值.
2014届高三暑假自主学习测试试卷
数学参考答案及评分标准2013.09
正题
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.2.3.4.45.3.26.37.98.
9.10.11.12.213.14.54
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ),…………………2分
所以,即,…………………4分
故或(舍),
又,所以.…………………7分
(Ⅱ)因为,所以.①…………………9分
由余弦定理,
及得,.②…………………12分
由①②解得.…………………14分
16.(本小题满分14分)
证明:
(Ⅰ)取中点G,连,
因为、分别为、的中点,所以∥,且.………2分
又因为为中点,所以∥,且.…………………3分
所以∥,.故四边形为平行四边形.…………………5分
所以∥,又平面,平面,
故∥平面.…………………7分
(Ⅱ)设,由∽及为中点得,
又因为,,所以,.
所以,又为公共角,所以∽.
所以,即.………………10分
又,,
所以平面.………………12分
又平面,所以平面平面.………………14分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)∵,①
∴当时,,②
以上两式相减得,…………………2分
即,
∵,∴当时,有.…………………5分
又当时,由及得,
所以数列{an}是等差数列,其通项公式为an=n.…………………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.…………………9分
所以…………………10分
.…………………14分
18.(本小题满分16分)
(Ⅰ)如图,过E作,垂足为M,由题意得,
故有,,.…………………4分
M
所以…5分
.…………8分
(Ⅱ)设(其中,
则.…………………10分
令得,即,得.…………………11分
列表
+
-
单调递增
极大值
单调递减
所以当时有,此时有.…………………15分
答:
排管的最小费用为万元,相应的角.…………………16分
19.(本小题满分16分)
(Ⅰ)如图,当k=1时,CD过点(0,-b),CD=2a,
∵的面积为12,∴,即.①…………………2分
此时D(-a,-b),∴直线PD方程为.
∴点O到PD的距离=.②……4分
由①②解得.……………6分
∴所求椭圆方程为.…………7分
(Ⅱ)如图,当k=2时,,设,
由D,E,P三点共线,及,
(说明:
也可通过求直线方程做)
得,
∴,即.……9分
由C,F,P三点共线,及,
∴,即.……11分
又,∴.…………………13分
而.……15分
∴,即有AE,EF,FB成等比数列.…………………16分
20.(本小题满分16分)
为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解.
(Ⅰ)当时,
方程即有解,
所以为“局部奇函数”.………………3分
(Ⅱ)当时,可化为,
因为的定义域为,所以方程在上有解.…………5分
令,则.
设,则,
当时,,故在上为减函数,
当时,,故在上为增函数.…………………7分
所以时,.
所以,即.…………………9分
(Ⅲ)当时,可化为
.
,则,
从而在有解即可保证为“局部奇函数”.………11分
令,
1°
当,在有解,
由,即,解得;
………………13分
2°
当时,在有解等价于
解得.…………………15分
也可转化为大根大于等于2求解)
综上,所求实数m的取值范围为.…………………16分
附加题
21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
由得为直径,所以.……………………2分
由,得,同理.……………………4分
又因为PC平分,所以.……………………6分
所以,故.……………………8分
从而,为等腰直角三角形.…………………10分
B.选修4—2:
矩阵与变换
设矩阵A的逆矩阵为,则=,…………………1分
即=,…………………4分
故,从而A的逆矩阵为=.…………………7分
所以==.…………………10分
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
由得曲线C的直角坐标方程为.…………………2分
由得曲线的直角坐标方程为.…………………5分
曲线C表示以为圆心,5为半径的圆;
曲线表示以为圆心,2为半径的圆.
因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3,…………………8分
所以圆C和圆的位置关系是内含.…………………10分
D.选修4—5:
不等式选讲
作差得……………………1分
==……………………4分
=.……………………6分
因为,所以a,b不同时为0,故,,
所以,即有.……………………10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
(Ⅰ)因为曲线C上任意一点到点的距离与到直线的距离相等,
根据抛物线定义知,曲线C是以点为焦点,直线为准线的抛物线,
故其方程为.………………4分
(Ⅱ)由题意知,,,则,
故:
.………………6分
令,得,即.………………8分
同理,,………………9分
于是.………………10分
23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)设,,,则,,,,且.
所以(A,B,C)是一个最小相交的有序三元组.………………4分
(Ⅱ)令,如果(A,B,C)是由S的子集构成的最小相交的有序三元组,则存在两两不同的,使得,,(如图),要确定共有种方法;
对S中剩下的3个元素,每个元素有4种分配方式,即它属于集合A,B,C中的某一个或不属于任何一个,则有种确定方法.
所以最小相交的有序三元组(A,B,C)的个数N=.………………10分
·
11·
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