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在中,,
所以
在
又
故
同理
因为
即二面角B—AP—C的大小为
8、(2004全国)如图、正方体中,二面角的度数是____________。
解:
连结,垂足为E,延长CE交于F,则,连结AE,由对称性知是二面角的平面角。
连结AC,设AB=1,则
中,,
在。
的补角,。
选【B】
【变式2】
(11年广东理科)(定义法)如图5,在椎体中,是边长为1的菱形,且,分别是的中点,
(1)证明;
(2)求二面角的余弦值.
②,垂直的点不在一点,通过平移或者比列的方法:
找出二面角;
【例1】
(2009全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点在侧棱上,=60°
(I)证明:
在侧棱的中点
(II)求二面角的余弦值。
证(I)解法一:
作∥交于N,作交于E,
连ME、NB,则面,,
设,则,
在中,。
在中由
解得,从而M为侧棱的中点M.
解法二:
过作的平行线.
解法三:
利用向量处理.
(II):
利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,过F点在平面ASM内作,GF交AS于G,
连结AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且M是SC的中点,
∴AM⊥SC,GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵为AM的中点,
∴GF是△AMS的中位线,点G是AS的中点。
则即为所求二面角.
F
G
∵,则,又∵,∴
∵,∴△是等边三角形,∴
在△中,,,,∴
③因为直接有邻边垂直于一个平面,或者交线垂直于这个平面;
这个角即是二面角;
如图所示,矩形的边平面,,现有数据:
①;
②;
③;
④;
⑤。
(1)当在边上存在一点,使时,可以取所给数据中的哪些值?
请说明理由。
(2)在满足
(1)的条件下,取所给数据中的最大值时,求直线与平面所成角的正切值。
(3)记满足
(1)的条件下的点为,若取所给数据中的最小值时,这样的有几个?
试求二面角的大小。
【变式8】
(三垂线定理)
如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,
平面,点在线段上,平面。
(1)证明:
平面;
(2)若,求二面角的正切值;
【解析】
(1)平面,面
平面,面
又面
(2)由
(1)得:
,,
平面是二面角的平面角
在中,
得:
二面角的正切值为
第二类:
三垂线方法;
①:
直接作出来:
②:
高的具体位置可以不找出来,但是我们可以用等体积法,求出它的长度;
、
【变式3】定义法
(四川)如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段的中点.
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.
计算复杂,通过一个个的比列;
【变式1】:
(2008天津)如图,在四棱锥中,底面是矩形.
已知.
(Ⅰ)证明平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成的角的正切值;
(Ⅲ)求二面角的正切值.
分析:
本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明AD⊥平面PAB后,容易发现平面PAB⊥平面ABCD,点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点,于是可过点P作棱BD的垂线,再作平面ABCD的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从而可得本解法。
(答案:
二面角的大小为)
在中,由题设可得
于是.在矩形中,.又,
所以平面.
(Ⅱ)证明:
由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.
在中,由余弦定理得
由(Ⅰ)知平面,平面,
所以,因而,于是是直角三角形,故
所以异面直线与所成的角的大小为.
(Ⅲ)解:
过点P做于H,过点H做于E,连结PE
因为平面,平面,所以.又,
因而平面,故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知,
,从而是二面角的平面角。
由题设可得,
于是再中,
所以二面角的大小为.
【变式2】如图4,平面⊥平面,∩,∈,∈,点在直线上的射影为,点在的射影为,已知,,求:
二面角的正弦值。
过做于,于,连结,且由已知可得平面,由三垂线定理可得为二面角的平面角,由,故
图4
B1
A
A1
B
L
E
比较简单,有个比例关系;
【变式5】
(2011年山东理科)(三垂线法)在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,
(Ⅰ)若是线段的中点,求证:
;
(Ⅱ)若,求二面角的大小.
19.(I)证法一:
因为EF//AB,FG//BC,EG//AC,,
所以∽
由于AB=2EF,因此,BC=2FC,
连接AF,由于FG//BC,
在中,M是线段AD的中点,
则AM//BC,且因此FG//AM且FG=AM,
所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM//FA。
又平面ABFE,平面ABFE,
所以GM//平面AB。
证法二:
由于AB=2EF,因此,BC=2FC,取BC的中点N,连接GN,
因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN//FB,
在中,M是线段AD的中点,连接MN,则MN//AB,
因为所以平面GMN//平面ABFE。
又平面GMN,所以GM//平面ABFE。
(II)解法一:
因为,
又平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直,
分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所法的空间直角坐标系,
不妨设
则由题意得A(0,0,0,),B(2,-2,0),C(2,0,0,),E(0,0,1),
所以
又所以
设平面BFC的法向量为
则所以取
设平面ABF的法向量为,
则所以
则,
因此二面角A—BF—C的大小为
解法二:
由题意知,平面平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,
因为AC=BC,所以,则平面ABFE,
过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,
则
所以为二面角A—BF—C的平面角。
由题意,不妨设AC=BC=2AE=2。
在直角梯形ABFE中,连接FH,
则,又所以
因此在中,由于
所以在中,
第三类:
射影法;
【例4】
(2008北京理)如图,在三棱锥中,,,
,.
(Ⅰ)求证:
;
C
P
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
本题要求二面角B—AP—C的大小,如果利用射影面积法解题,
不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射
于是得到下面解法。
(Ⅰ)取中点,连结.
,平面.
平面,.
(Ⅱ),,.
又,.
又,即,且,
平面.
取中点.连结.
是在平面内的射影,
.∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影,
于是可求得:
,,则,
设二面角的大小为,则
∴二面角的大小为
18.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,。
(4)求点A到平面MBC的距离;
(5)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
变式:
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°
,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,.
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积;
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
第四类:
补形法;
【变式1】已知斜三棱柱的棱长都是,侧棱与底面成的角,侧面。
(1)求证:
(2)求所成的二面角(锐角)的大小。
提示:
本题需要补棱,可过A点作CB的平行线L
C1
所成的二面角为45O)
【变式2】在四棱锥中,为正方形,⊥平面,,求平面与平面所成二面角的大小。
(补形化为定义法)
(补形化为定义法)如图,将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN,
则PQ⊥PA、PD,于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中,PA=AD,则∠APD=45°
。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°
第五类:
给出二面角的反向应用题型;
【变式1】
(2008山东)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.
(Ⅱ)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.
注:
这个题简单,但体现了基本思想;
第1题容易发现,可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。
二面角的余弦值为)
解答:
由四边形为菱形,,可得为正三角形.
因为为的中点,所以.
又,因此.
因为平面,平面,所以.
而平面,平面且,
所以平面.又平面,
所以.
(Ⅱ)解:
设,为上任意一点,连接.
由(Ⅰ)知平面,
D
H
O
S
则为与平面所成的角.
在中,,
所以当最短时,最大,
即当时,最大.
此时,
因此.又,所以,
解法一:
因为平面,平面,
所以平面平面.
过作于,则平面,
过作于,连接,则为二面角的平面角,
在中,,,
又是的中点,在中,,
又,
即所求二面角的余弦值为.
给出来的二面角恰好就是某个角:
小结:
比例,等腰,等边三角形;
勾股定理,
综合练习:
一:
补形之后涉及到了三垂线,射影;
简单
【变式6】
(三垂线)如图,四边形,都是正方形,平面,,且
(1)求与平面所成角的正弦值。
(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值。
简单练习题:
【变式7】
(三垂线定理)如图5,在圆锥中,已知=,⊙O的直径,是的中点,为的中点.
平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
解法1:
连结OC,因为
又底面⊙O,AC底面⊙O,所以,
因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以平面POD,
而平面PAC,所以平面POD平面PAC。
(II)在平面POD中,过O作于H,由(I)知,平面
所以平面PAC,又面PAC,所以
在平面PAO中,过O作于G,
连接HG,
则有平面OGH,
从而,故为二面角B—PA—C的平面角。
在
故二面角B—PA—C的余弦值为
比较简单:
只有一个勾股定理的意识就可以了;
(2012年高考(山东理))(垂面法)在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,,.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
特简单:
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
【例2】.(2009山东卷理)如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,
分别是棱的中点。
直线;
(2)求二面角的余弦值。
证
(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4,CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为平面FCC,平面FCC,
所以直线EE//平面FCC
解
(2)因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
1.(2008江西理)(本小题满分12分)
如图,正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直,且长度均为2.、分别是、的中点,是的中点,过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、,已知.
(1).求证:
⊥平面;
(2).求二面角的大小;
解:
(1)证明:
依题设,是的中位线,所以∥,
则∥平面,所以∥。
又是的中点,所以⊥,则⊥。
因为⊥,⊥,
所以⊥面,则⊥,
因此⊥面。
(2)作⊥于,连。
因为⊥平面,
根据三垂线定理知,⊥,
就是二面角的平面角。
作⊥于,则∥,则是的中点,则。
设,由得,,解得,
在中,,则,。
所以,故二面角为。
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