广东省高考数学试卷理科全国新课标Word下载.docx
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(Ⅱ)若c=7,△ABC的面积为332,求△ABC的周长.
18.(12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°
,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°
.
(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;
(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.
19.(12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
20.(12分)设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2有两个零点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:
x1+x2<2.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:
几何证明选讲]
22.(10分)如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°
.以O为圆心,12OA为半径作圆.
(Ⅰ)证明:
直线AB与⊙O相切;
(Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:
AB∥CD.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为&
x=acost&
y=1+asint(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=4cosθ.
(Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
[选修4-5:
不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.
(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;
(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.
参考答案与试题解析
1.
【解答】解:
∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),
B={x|2x﹣3>0}=(32,+∞),
∴A∩B=(32,3),
故选:
D.
2.
∵(1+i)x=1+yi,
∴x+xi=1+yi,
即&
x=1&
y=x,解得&
y=1,即|x+yi|=|1+i|=2,
B.
3.
∵等差数列{an}前9项的和为27,S9=9(a1+a9)2=9×
2a52=9a5.
∴9a5=27,a5=3,
又∵a10=8,
∴d=1,
∴a100=a5+95d=98,
C.
4.
设小明到达时间为y,
当y在7:
00,或8:
20至8:
30时,
小明等车时间不超过10分钟,
故P=2040=12,
5.
∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,
当焦点在x轴上时,
可得:
4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:
m2=1,
∵方程x2m2+n﹣y23m2-n=1表示双曲线,
∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:
(n+1)(3﹣n)>0,
解得:
﹣1<n<3,即n的取值范围是:
(﹣1,3).
当焦点在y轴上时,
﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:
m2=﹣1,
无解.
A.
6.
由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体,如图:
78×
43πR3=28π3,R=2.
它的表面积是:
4π•22+34×
π⋅22=17π.
7.
∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,
∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,
故函数为偶函数,
当x=±
2时,y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;
当x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣ex,
∴f′(x)=4x﹣ex=0有解,
故函数y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,
8.
∵a>b>1,0<c<1,
∴函数f(x)=xc在(0,+∞)上为增函数,故ac>bc,故A错误;
函数f(x)=xc﹣1在(0,+∞)上为减函数,故ac﹣1<bc﹣1,故bac<abc,即abc>bac;
故B错误;
logac<0,且logbc<0,logab<1,即logcblogca=logaclogbc<1,即logac>logbc.故D错误;
0<﹣logac<﹣logbc,故﹣blogac<﹣alogbc,即blogac>alogbc,即alogbc<blogac,故C正确;
9.
输入x=0,y=1,n=1,
则x=0,y=1,不满足x2+y2≥36,故n=2,
则x=12,y=2,不满足x2+y2≥36,故n=3,
则x=32,y=6,满足x2+y2≥36,
故y=4x,
10.
设抛物线为y2=2px,如图:
|AB|=42,|AM|=22,
|DE|=25,|DN|=5,|ON|=p2,
xA=(22)22p=4p,
|OD|=|OA|,
16p2+8=p24+5,
p=4.
C的焦点到准线的距离为:
11.
如图:
α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,
可知:
n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°
则m、n所成角的正弦值为:
32.
12.
∵x=﹣π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,
∴2n+14⋅T=π2,即2n+14⋅2πω=π2,(n∈N)
即ω=2n+1,(n∈N)
即ω为正奇数,
∵f(x)在(π18,5π36)上单调,则5π36﹣π18=π12≤T2,
即T=2πω≥π6,解得:
ω≤12,
当ω=11时,﹣11π4+φ=kπ,k∈Z,
∵|φ|≤π2,
∴φ=﹣π4,
此时f(x)在(π18,5π36)不单调,不满足题意;
当ω=9时,﹣9π4+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=π4,
此时f(x)在(π18,5π36)单调,满足题意;
故ω的最大值为9,
13.
|a→+b→|2=|a→|2+|b→|2,
可得a→•b→=0.
向量a→=(m,1),b→=(1,2),
可得m+2=0,解得m=﹣2.
故答案为:
﹣2.
14.
(2x+x)5的展开式中,通项公式为:
Tr+1=∁5r(2x)5-r(x)r=25﹣rC5r⋅x5-r2,
令5﹣r2=3,解得r=4
∴x3的系数2C54=10.
15.
等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,
可得q(a1+a3)=5,解得q=12.
a1+q2a1=10,解得a1=8.
则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+(n﹣1)=8n•(12)n(n-1)2=23n-n2-n2=27n-n22,
当n=3或4时,表达式取得最大值:
2122=26=64.
64.
16.
(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.
由题意,得&
x∈N,y∈N&
1.5x+0.5y≤150&
x+0.3y≤90&
5x+3y≤600,z=2100x+900y.
不等式组表示的可行域如图:
由题意可得&
x+0.3y=90&
5x+3y=600,解得:
&
x=60&
y=100,A(60,100),
目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:
2100×
60+900×
100=216000元.
216000.
17.
(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得:
2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
整理得:
2cosCsin(A+B)=sinC,
即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=12,
∴C=π3;
(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•12,
∴(a+b)2﹣3ab=7,
∵S=12absinC=34ab=332,
∴ab=6,
∴(a+b)2﹣18=7,
∴a+b=5,
∴△ABC的周长为5+7.
18.
【解答】
∵ABEF为正方形,∴AF⊥EF.
∵∠AFD=90°
,∴AF⊥DF,
∵DF∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
∵AF⊂平面ABEF,
∴平面ABEF⊥平面EFDC;
(Ⅱ)解:
由AF⊥DF,AF⊥EF,
可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角;
由ABEF为正方形,AF⊥平面EFDC,
∵BE⊥EF,
∴BE⊥平面EFDC
即有CE⊥BE,
可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角.
可得∠DFE=∠CEF=60°
∵AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,
∴AB∥平面EFDC,
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD,AB⊂平面ABCD,
∴AB∥CD,
∴CD∥EF,
∴四边形EFDC为等腰梯形.
以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,
则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(a2,0,32a),A(2a,2a,0),
∴EB→=(0,2a,0),BC→=(a2,﹣2a,32a),AB→=(﹣2a,0,0)
设平面BEC的法向量为m→=(x1,y1,z1),则&
m→⋅EB→=0&
m→⋅BC→=0,
则&
2ay1=0&
a2x1-2ay1+32az1=0,取m→=(3,0,﹣1).
设平面ABC的法向量为n→=(x2,y2,z2),则&
n→⋅BC→=0&
n→⋅AB→=0,
a2x2-2ay2+32az2=0&
2ax2=0,取n→=(0,3,4).
设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ,则cosθ=m→⋅n→|m→|⋅|n→|
=-43+1⋅3+16=﹣21919,
则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣21919.
19.
(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,
P(X=16)=(20100)2=125,
P(X=17)=20100×
40100×
2=425,
P(X=18)=(40100)2+2(20100)2=625,
P(X=19)=2×
20100+2×
(20100)2=625,
P(X=20)=(20100)2+2×
20100=525=15,
P(X=21)=2×
(20100)2=225,
P(X=22)=(20100)2=125,
∴X的分布列为:
X
16
17
18
19
20
21
22
P
125
425
625
15
225
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)
=125+425+625=1125.
P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)
=125+425+625+625=1725.
∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19.
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)
买19个所需费用期望:
EX1=200×
19×
1725+(200×
19+500)×
525+(200×
19+500×
2)×
225+(200×
3)×
125=4040,
买20个所需费用期望:
EX2=200×
20×
2225+(200×
20+500)×
20+2×
500)×
125=4080,
∵EX1<EX2,
∴买19个更合适.
解法二:
购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,
另一部分为备件不足时额外购买的费用,
当n=19时,费用的期望为:
200+500×
0.2+1000×
0.08+1500×
0.04=4040,
当n=20时,费用的期望为:
0.08+1000×
0.4=4080,
20.
圆x2+y2+2x﹣15=0即为(x+1)2+y2=16,
可得圆心A(﹣1,0),半径r=4,
由BE∥AC,可得∠C=∠EBD,
由AC=AD,可得∠D=∠C,
即为∠D=∠EBD,即有EB=ED,
则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,
故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,
且有2a=4,即a=2,c=1,b=a2-c2=3,
则点E的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0);
(Ⅱ)椭圆C1:
x24+y23=1,设直线l:
x=my+1,
由PQ⊥l,设PQ:
y=﹣m(x﹣1),
由&
x=my+1&
3x2+4y2=12可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
可得y1+y2=﹣6m3m2+4,y1y2=﹣93m2+4,
则|MN|=1+m2•|y1﹣y2|=1+m2•36m2(3m2+4)2+363m2+4
=1+m2•36(4m2+4)3m2+4=12•1+m23m2+4,
A到PQ的距离为d=|-m(-1-1)|1+m2=|2m|1+m2,
|PQ|=2r2-d2=216-4m21+m2=43m2+41+m2,
则四边形MPNQ面积为S=12|PQ|•|MN|=12•43m2+41+m2•12•1+m23m2+4
=24•1+m23m2+4=2413+11+m2,
当m=0时,S取得最小值12,又11+m2>0,可得S<24•33=83,
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12,83).
21.
(Ⅰ)∵函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,
∴f′(x)=(x﹣1)ex+2a(x﹣1)=(x﹣1)(ex+2a),
①若a=0,那么f(x)=0⇔(x﹣2)ex=0⇔x=2,
函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意;
②若a>0,那么ex+2a>0恒成立,
当x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数;
当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;
此时当x=1时,函数f(x)取极小值﹣e,
由f
(2)=a>0,可得:
函数f(x)在x>1存在一个零点;
当x<1时,ex<e,x﹣2<﹣1<0,
∴f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,
令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0的两根为t1,t2,且t1<t2,
则当x<t1,或x>t2时,f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,
故函数f(x)在x<1存在一个零点;
即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意;
③若﹣e2<a<0,则ln(﹣2a)<lne=1,
当x<ln(﹣2a)时,x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,
ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,
即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,
当ln(﹣2a)<x<1时,x﹣1<0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,
即f′(x)=(x﹣1)(ex+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,
当x>1时,x﹣1>0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,
故当x=ln(﹣2a)时,函数取极大值,
由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0得:
函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;
④若a=﹣e2,则ln(﹣2a)=1,
当x<1=ln(﹣2a)时,x﹣1<0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,
故函数f(x)在R上单调递增,
⑤若a<﹣e2,则ln(﹣2a)>lne=1,
当x<1时,x﹣1<0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,
当1<x<ln(﹣2a)时,x﹣1>0,ex+2a<eln(﹣2a)+2a=0,
当x>ln(﹣2a)时,x﹣1>0,ex+2a>eln(﹣2a)+2a=0,
故当x=1时,函数取极大值,
由f
(1)=﹣e<0得:
综上所述,a的取值范围为(0,+∞)
证明:
(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,
∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,
∴﹣a=(x1-2)ex1(x1-1)2=(x2-2)ex2(x2-1)2,
令g(x)=(x-2)ex(x-1)2,则g(x1)=g(x2)=﹣a,
∵g′(x)=[(x-2)2+1]ex(x-1)3,
∴当x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;
设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=m-1m2e1+m﹣-m-1m2e1-m=m+1m2e1-m(m-1m+1e2m+1),
设h(m)=m-1m+1e2m+1,m>0,
则h′(m)=2m2(m+1)2e2m>0恒成立,
即h(m)在(0,+∞)上为增函数,
h(m)>h(0)=0恒成立,
即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,
令m=1﹣x1>0,
则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)⇔g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)⇔2﹣x1>x2,
即x1+x2<2.
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