高中数学选修2-2第一章导数测试题Word下载.doc
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其中,所有正确判断的序号是( )
A.①②B.②③C.③④ D.①②③④
7.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A.0≤a≤21 B.a=0或a=7
C.a<
0或a>
21 D.a=0或a=21
8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销量Q(单位:
件)与零售价P(单位:
元)有如下关系:
Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元B.60元C.28000元 D.23000元
9.函数f(x)=-(a<
b<
1),则( )
A.f(a)=f(b)B.f(a)<
f(b)
C.f(a)>
f(b)D.f(a),f(b)大小关系不能确定
10.函数f(x)=-x3+x2+x-2的零点个数及分布情况为( )
A.一个零点,在内
B.二个零点,分别在,(0,+∞)内
C.三个零点,分别在,,(1,+∞)内
D.三个零点,分别在,(0,1),(1,+∞)内
11.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f
(2)<
2f
(1)B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≥2f
(1)D.f(0)+f
(2)>
2f
(1)
12.设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f′(x)>
f(x),对任意的正数a,下面不等式恒成立的是( )
A.f(a)<
eaf(0) B.f(a)>
eaf(0)C.f(a)<
D.f(a)>
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.过点(2,0)且与曲线y=相切的直线的方程为________.
14.已知M=dx,N=cosxdx,则程序框图输出的S=________.
15.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,则数列(n∈N+)的前n项和是________.
16.已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为________.
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)设函数f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>
-2)的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行.
(1)求m的值;
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.
18.(12分)已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>
0),若f(x)的单调递减区间是(0,4),
(1)求k的值;
(2)当k<
x时,求证:
2>
3-
19.(12分)已知函数f(x)=kx3-3x2+1(k≥0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.
20.(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:
y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10时,y=19.2;
当x=20时,y=35.7.(参考数据:
ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)
(1)求f(x)的解析式;
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游收入-投入)
21.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值.
(1)求c的取值范围;
(2)若f(x)在x=2处取得极值,且当x<
0时,f(x)<
d2+2d恒成立,求d的取值范围.
22.(12分)(2015·
银川一中月考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:
当a>
ln2-1且x>
0时,ex>
x2-2ax+1.
答案
1.C f′(x)=()′·
(sinx)′=·
cosx,故选C.
2.A ∵y′=2x+a,
∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线方程的斜率为a,
切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.
3.B f′(x)=(xlnx)′=lnx+1,
∴f′(x0)=lnx0+1=2,∴x0=e.
4.B f′(x)=2x+2f′
(1),∴f′
(1)=2+2f′
(1),即f′
(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
5.D 由定积分的几何意义可知,函数y=f(x)的图象与x轴围成的阴影部分的面积为-3f(x)dx-f(x)dx.故选D.
6.B 由函数y=f(x)的导函数的图象可知:
(1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;
(2)f(x)在x=-1处取得极小值,在x=2处取得极大值.故②③正确.
7.A f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.故选A.
8.D 设毛利润为L(P),
由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以L′(P)=-3P2-300P+11700,
令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
9.C f′(x)=-=,
当x<
1时,f′(x)<
0,即f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,
又∵a<
1,∴f(a)>
f(b).
10.A 利用导数法易得函数f(x)在-∞,-内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,而f=-<
0,f
(1)=-1<
0,故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,且交点横坐标在内,故选A.
11.C 当1≤x≤2时,f′(x)≥0,则f
(2)≥f
(1);
而当0≤x≤1时,f′(x)≤0,则f
(1)≤f(0),
从而f(0)+f
(2)≥2f
(1).
12.B 构造函数g(x)=,则g′(x)=>
0,故函数g(x)=在R上单调递增,所以g(a)>
g(0),即>
,即f(a)>
eaf(0).
13.x+y-2=0
解析:
设所求切线与曲线的切点为P(x0,y0),
∵y′=-,∴y′x=x0=-,所求切线的方程为
y-y0=-(x-x0).
∵点(2,0)在切线上,
∴0-y0=-(2-x0),∴xy0=2-x0.①
又∵x0y0=1,②
由①②解得∴所求直线方程为x+y-2=0.
14.
M=dx=π×
12=,N=∫0cosxdx=sinx0=1,M<
N,不满足条件M>
N,则S=M=.
15.
f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得
则f(x)=x2+x,==-,
其和为+++…+=1-=.
16.[1,+∞)
根据题意,知f′(x)=mx+-2≥0对一切x>
0恒成立,∴m≥-2+,令g(x)=-2+=-2+1,则当=1时,函数g(x)取得最大值1,故m≥1.
17.解:
(1)因为f′(x)=-3x2-4mx-m2,
所以f′
(2)=-12-8m-m2=-5,
解得m=-1或m=-7(舍去),即m=-1.
(2)令f′(x)=-3x2+4x-1=0,
解得x1=1,x2=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
f′(x)
-
+
f(x)
2
所以函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为f=.
18.解:
(1)f′(x)=3kx2-6(k+1)x,
由f′(x)<
0得0<
x<
,
∵f(x)的递减区间是(0,4),
∴=4,∴k=1.
(2)证明:
设g(x)=2+,g′(x)=-.
当x>
1时,1<
<
x2,∴>
∴g′(x)>
0,∴g(x)在x∈[1,+∞)上单调递增.
∴x>
1时,g(x)>
g
(1),即2+>
3,
∴2>
3-.
19.解:
(1)当k=0时,f(x)=-3x2+1,
∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],单调减区间[0,+∞).
当k>
0时,f′(x)=3kx2-6x=3kx,
∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],,单调减区间为.
(2)当k=0时,函数f(x)不存在极小值,
0时,依题意f=-+1>
0,
即k2>
4,所以k的取值范围为(2,+∞).
20.解:
(1)由条件得
解得a=-,b=1,
则f(x)=-+x-ln(x≥10).
(2)由题意知
T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x≥10),
则T′(x)=+-=-,
令T′(x)=0,则x=1(舍去)或x=50.
当x∈(10,50)时,T′(x)>
0,T(x)在(10,50)上是增函数;
当x∈(50,+∞)时,T′(x)<
0,T(x)在(50,+∞)上是减函数,
∴x=50为T(x)的极大值点,又T(50)=24.4.
故该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.
21.解:
(1)∵f(x)=x3-x2+cx+d,
∴f′(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2-x+c=0,有两个实数解,从而Δ=1-4c>
0,∴c<
.
(2)∵f(x)在x=2处取得极值,
∴f′
(2)=4-2+c=0,
∴c=-2.∴f(x)=x3-x2-2x+d.
∵f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),
∴当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>
0,函数单调递增,当x∈(-1,2]时,f′(x)<
0,函数单调递减.
∴x<
0时,f(x)在x=-1处取得最大值+d,
∵x<
d2+2d恒成立,
∴+d<
d2+2d,即(d+7)(d-1)>
∴d<
-7或d>
1,
即d的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞).
22.解:
(1)f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.
于是,当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
单调递减
2-2ln2+2a
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=2-2ln2+2a.
设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由
(1)及a>
ln2-1知,对任意x∈R,都有g′(x)≥g′(ln2)=2-2ln2+2a>
0,所以g(x)在R内单调递增.
于是,当a>
ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>
g(0),而g(0)=0,
从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>
即ex-x2+2ax-1>
0,故ex>
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- 高中数学 选修 第一章 导数 测试