高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习Word文件下载.doc
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∴-1<a<1.
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
选A 设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
4.(2012·
潍坊调研)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为________.
圆心(1,0),d==1.
答案:
1
5.(教材习题改编)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为
____________________.
设圆的方程为x2+y2=a2(a>0)
∴=a,∴a=,
∴x2+y2=2.
x2+y2=2
1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是:
(1)B=0;
(2)A=C≠0;
(3)D2+E2-4AF>0.
2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算.
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
圆的方程的求法
典题导入
[例1]
(1)(2012·
顺义模拟)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为( )
A.2+y2= B.2+y2=
C.x2+2= D.x2+2=
(2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________________.
[自主解答]
(1)由已知知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,b),半径为r,则rsin=1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=±
.
故圆的方程为x2+2=.
(2)圆C的方程为x2+y2+Dx+F=0,
则
解得
圆C的方程为x2+y2-4x-6=0.
[答案]
(1)C
(2)x2+y2-4x-6=0
由题悟法
1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r或D,E,F的方程组.
2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.
以题试法
1.(2012·
浙江五校联考)过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆的方程是( )
A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.x2+(y-2)2=4
C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x-2)2+(y-1)2=5
选D 易知圆心为坐标原点O,根据圆的切线的性质可知OA⊥PA,OB⊥PB,因此P,A,O,B四点共圆,△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆,这个圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
与圆有关的最值问题
[例2]
(1)(2012·
湖北高考)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
(2)P(x,y)在圆C:
(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为________.
[自主解答]
(1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,∴直线OP垂直于x+y-2=0.
(2)由C(1,1)得|OC|=,则|OP|min=-1,即()min=-1.所以x2+y2的最小值为(-1)2=3-2.
[答案]
(1)A
(2)3-2
解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题(如A级T9);
9.(2012·
南京模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为________.
表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由=1得k=,结合图形可知,≥,故最小值为.
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2
(2));
(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例
(2)).
2.
(1)(2012·
东北三校联考)与曲线C:
x2+y2+2x+2y=0相内切,同时又与直线l:
y=2-x相切的半径最小的圆的半径是________.
(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1则2x-y的最大值为________,最小值为________.
(1)依题意,曲线C表示的是以点C(-1,-1)为圆心,为半径的圆,圆心C(-1,-1)到直线y=2-x即x+y-2=0的距离等于=2,易知所求圆的半径等于=.
(2)令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由=1.解得b=5±
,所以2x-y的最大值为5+,最小值为5-.
(1)
(2)5+ 5-
与圆有关的轨迹问题
[例3] (2012·
正定模拟)如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
[自主解答] 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.
由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),
则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得
代入x2+y2=1,整理得2+y2=(y≠0),
故所求轨迹方程为2+y2=(y≠0).
由题悟法
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
(1)直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:
根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.
(3)几何法:
利用圆与圆的几何性质列方程.
(4)代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
3.(2012·
郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=32 B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16
选B 设P(x,y),则由题意可得2=,化简整理得x2+y2=16.
[题后悟道] 该题是圆与集合,不等式交汇问题,解决本题的关键点有:
①弄清集合代表的几何意义;
②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围.
针对训练
若直线l:
ax+by+4=0(a>
0,b>
0)始终平分圆C:
x2+y2+8x+2y+1=0,则ab的最大值为( )
A.4 B.2
C.1 D.
选C 圆C的圆心坐标为(-4,-1),
则有-4a-b+4=0,即4a+b=4.
所以ab=(4a·
b)≤2=×
2=1.
当且仅当a=,b=2取得等号.
1.圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
选A 圆上任一点(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)在圆(x+2)2+y2=5上,即(-x+2)2+(-y)2=5.即(x-2)2+y2=5.
2.(2012·
辽宁高考)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( )
A.x+y-1=0 B.x+y+3=0
C.x-y+1=0 D.x-y+3=0
选C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A,B,C,D四个选项中,只有C选项中的直线经过圆心.
青岛二中期末)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.2+(y-1)2=1
选B 依题意设圆心C(a,1)(a>0),由圆C与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2,则圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.
海淀检测)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
选A 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.
5.(2013·
杭州模拟)若圆x2+y2-2x+6y+5a=0,关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是( )
A.(-∞,4) B.(-∞,0)
C.(-4,+∞) D.(4,+∞)
选A 将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.∵圆关于直线y=x+2b对称,∴圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,∴a-b<4.
6.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )
A. B.1
C. D.
选C 圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d==,故点N到点M的距离的最小值为d-1=.
7.如果三角形三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为________________.
因为△AOB是直角三角形,所以内切圆半径为r===3,圆心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x+3)2+(y-3)2=9.
(x+3)2+(y-3)2=9
8.(2013·
河南三市调研)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为__________.
设所求圆的半径是R,依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,则R2=d2+2=10,因此圆C的方程是x2+(y-1)2=10.
x2+(y-1)2=10
10.过点C(3,4)且与x轴,y轴都相切的两个圆的半径分别为r1,r2,求r1r2.
解:
由题意知,这两个圆的圆心都在第一象限,
且在直线y=x上,故可设两圆方程为
(x-a)2+(y-a)2=a2,(x-b)2+(y-b)2=b2,
且r1=a,r2=b.由于两圆都过点C,
则(3-a)2+(4-a)2=a2,(3-b)2+(4-b)2=b2
即a2-14a+25=0,b2-14b+25=0.
则a、b是方程x2-14x+25=0的两个根.
故r1r2=ab=25.
11.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).
则直线CD的方程为y-2=-(x-1),
即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①
又∵直径|CD|=4,∴|PA|=2,
∴(a+1)2+b2=40.②
由①②解得或
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2).
∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40
或(x-5)2+(y+2)2=40.
12.(2012·
吉林摸底)已知关于x,y的方程C:
x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)当m为何值时,方程C表示圆;
(2)在
(1)的条件下,若圆C与直线l:
x+2y-4=0相交于M、N两点,且|MN|=,求m的值.
(1)方程C可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,显然只要5-m>0,即m<5时方程C表示圆.
(2)因为圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5-m,其中m<5,所以圆心C(1,2),半径r=,
则圆心C(1,2)到直线l:
x+2y-4=0的距离为d==,
因为|MN|=,所以|MN|=,
所以5-m=2+2,
解得m=4.
常州模拟)以双曲线-=1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )
A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3
C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9
选B 双曲线的渐近线方程为x±
y=0,其右焦点为(3,0),所求圆半径r==,所求圆方程为(x-3)2+y2=3.
2.由直线y=x+2上的点P向圆C:
(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当|PT|最小时,点P的坐标是( )
A.(-1,1) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(1,3)
选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系,可知|PT|=,故|PT|最小时,即|PC|最小,此时PC垂直于直线y=x+2,则直线PC的方程为y+2=-(x-4),即y=-x+2,联立方程解得点P的坐标为(0,2).
3.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
根据题意,得
解得a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM
=|AM|·
|PA|+|BM|·
|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|==,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.
1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
选B 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是,且点E(0,1)位于该圆内,故过点E(0,1)的最短弦长|BD|=2=2(注:
过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2,且AC⊥BD,因此四边形ABCD的面积等于|AC|×
|BD|=×
2×
2=10.
2.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是________.
lAB:
x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d=,
则AB边上的高的最小值为-1.
故△ABC面积的最小值是×
=3-.
3-
抚顺调研)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°
,求线段PQ中点的轨迹方程.
(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).
因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何观点
d>r
d=r
d<r
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|)
外切
内切
内含
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2
d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
1.(教材习题改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心 D.相离
选B 由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=,0<d<,故该直线与圆相交但不过圆心.
银川质检)由直线y=x+1上的一点向圆x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( )
A. B.2
C.3 D.
选A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,则圆心(3,0)到直线y=x+1的距离为=2,切线长的最小值为=.
3.直线x-y+1=0与圆x2+y2=r2相交于A,B两点,且AB的长为2,则圆的半径为( )
A. B.
C.1 D.2
选B 圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=.则r2=2+d2=,r=.
4.(教材习题改编)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是________.
由题意知>1,解得-<k<.
(-,)
5.已知两圆C1:
x2+y2-2x+10y-24=0,C2:
x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________.
两圆相减即得x-2y+4=0.
x-2y+4=0
1.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.
2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.
直线与圆的位置关系的判断
[例1] (2012·
陕西高考) 已知圆C:
x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得
32+02-4×
3=9-12=-3<
0,
所以点P(3,0)在圆内.
故过点P的直线l定与圆C相交.
[答案] A
本例中若直线l为“x-y+4=0”问题不变.
∵圆的方程为(x-2)2+y2=4,
∴圆心(2,0),r=2.
又圆心到直线的距离为d==3>2.
∴l与C相离.
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:
利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
(2)代数法:
联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:
若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.
哈师大附中月考)已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(-,)
选C 易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,直线l的方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得<1,即k2<,解得-<k<.
直线与圆的位置关系的综合
广东高考)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )
A.3 B.2
C. D.1
(2)(2012·
天津高考)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )
A.[1-,1+]
B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)
C.[2-2,2+2]
D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
[自主解答]
(1)圆x2+y2=4的圆心(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离d==1.
故|AB|=2=2=2.
(2)圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离为=1,所以m+n+1=mn≤(m+n)2,整理得[(m+n)-2]2-8≥0,解得m+n≥2+2或m+n≤2-2.
[答案]
(1)B
(2)D
1.圆的弦长的常用求法:
设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则2=r2-d2.
(2)代数方法:
运用韦达定理及弦长公式:
|AB|=|x1-x2|=.
[注意] 常用几何
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- 圆与方程 高中数学 必修 第四 方程 知识点 总结 练习
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