江苏省南京市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)Word文件下载.doc
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(2)已知点P在椭圆C上,且PF1=4,求△PF1F2的面积.
16.已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|x2﹣ax<0}.
(1)若a=2,求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
17.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M经过点A(1,0),B(3,0),C(0,1).
(1)求圆M的方程;
(2)若直线l“mx﹣2y﹣(2m+1)=0与圆M交于点P,Q,且•=0,求实数m的值.
18.A,B两地相距300km,汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地(速度不得超过60km/h).已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为250元,可变成本(单位:
元)与速度v的立方成正比,比例系数,设全程的运输成本为y元.
(1)求y关于v的函数关系;
(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
19.已知函数f(x)=lnx.
(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线,求实数p的值;
(2)若函数g(x)=x﹣﹣2f(x)(m∈R)有两个极值点,求实数m的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(m>0)的离心率为.
(1)求m的值;
(2)设点A为椭圆C的上顶点,问是否存在椭圆C的一条弦AB,使直线AB与圆(x﹣1)2+y2=r2(r>0)相切,且切点P恰好为线段AB的中点?
若存在,其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值?
若不存在,说明理由.
参考答案与试题解析
“∃x∈Q,x2﹣8=0”的否定是 ∀x∈Q,x2﹣8≠0 .
【考点】命题的否定.
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解:
因为特称命题的否定是全称命题,所以命题:
“∃x∈Q,x2﹣8=0”的否定是:
∀x∈Q,x2﹣8≠0.
故答案为:
2.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px经过点(4,2),则实数p= 1 .
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】利用抛物线经过的点,求解即可.
抛物线y2=2px经过点(4,2),
可得4=4P,
解得p=1.
1.
3.在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径为 2 .
【考点】圆的一般方程.
【分析】利用圆的半径的求法.
圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径:
r==2.
故答案:
2.
4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是 y=±
x .
【考点】双曲线的简单性质;
双曲线的标准方程.
【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可.
双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程:
y=±
x.
椭圆+y2=1的焦点在y轴上,则p是q的 充要 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空)
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】q:
椭圆+y2=1的焦点在y轴上,可得0<m<1.即可判断出结论.
p:
0<m<1,
q:
椭圆+y2=1的焦点在y轴上,∴0<m<1.
则p是q的充要条件.
充要.
6.函数f(x)=x+sinx的图象在点O(0,0)处的切线方程是 y=2x .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程.
函数f(x)=x+sinx的导数为f′(x)=1+cosx,
即有图象在点O(0,0)处的切线斜率为k=1+cos0=2,
则图象在点O(0,0)处的切线方程为y=2x.
y=2x.
7.已知实数x,y满足,则z=x﹣2y的最大值是 2 .
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
化目标函数z=x﹣2y为,
由图可知,当直线过A(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为2.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线的离心率是 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设出双曲线方程求出C的坐标,代入化简求解双曲线的离心率即可.
设双曲线方程为:
,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线,
可得C(c,2c),
代入双曲线方程:
,
即.
可得,
解得e2=3+2,
∴e=.
.
9.函数f(x)=(e为自然对数的底数)的最大值是 .
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】求出函数的导数,求出单调区间,可得极大值,也为最大值,计算即可得到所求值.
函数f(x)=的导数为f′(x)==,
当x>1时,f′(x)<0,f(x)递减;
当x<1时,f′(x)>0,f(x)递增.
即有x=1处取得极大值,且为最大值.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点O(0,0),A(3,0),动点P满足2PO=PA,则点P的轨迹方程是 x2+y2+2x﹣3=0 .
【考点】轨迹方程.
【分析】利用点O(0,0),A(3,0),动点P满足2PO=PA,直接计算,即可求出点P的轨迹方程.
设P(x,y),则
∵点O(0,0),A(3,0),动点P满足2PO=PA,
∴4x2+4y2=(x﹣3)2+y2,
∴x2+y2+2x﹣3=0.
x2+y2+2x﹣3=0.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x上一点P到点A(3,0)的距离等于它到准线的距离,则PA= 3 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线的定义,可得PA=PF,准线方程为x=﹣1,求出P的横坐标,即可得出结论.
由抛物线的定义,可得PA=PF,准线方程为x=﹣1
∵A(3,0),F(1,0),
∴P的横坐标为2,
∴PA=2+1=3,
3.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t),则S(t)在t=2时的瞬时变化率是 2 .
【考点】变化的快慢与变化率.
【分析】先用t表示出三角形的面积,再求导,代值计算即可.
由|AB|==t,
∴S(t)=|OA|•|OB|=t•t=t2,
∴S′(t)=t,
∴S′
(2)=2,
x2+y2=9,若圆M上存在点P,使得P到直线l的距离为2,则实数m的取值范围是 [﹣5,5] .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】设P(3cosθ,3sinθ),0≤θ<2π,求出P到直线l的距离,利用三铁函数的性质能求出实数m的取值范围.
∵直线l:
x2+y2=9,若圆M上存在点P,使得P到直线l的距离为2,
∴设P(3cosθ,3sinθ),0≤θ<2π,
∴P到直线l的距离d===2,
∵﹣3,|3+m|=2,
∴﹣5,
∴实数m的取值范围是[﹣5,5].
[﹣5,5].
14.已知函数y=x3﹣3x在区间[a,a+1](a≥0)上的最大值和最小值的差为2,则满足条件的实数a的所有值是 a=﹣1或0 .
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出函数的导数,通过讨论a的范围,确定函数的单调区间,求出最大值和最小值,得到关于a的方程,解出即可.
y′=f′(x)=3(x+1)(x﹣1),
∴函数在在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,1)递减,在(1,+∞)递增,
①a=0时,函数在[0,1]递减,
函数的最大值是f(0)=0,函数的最小值是f
(1)=﹣2,
∴f(0)﹣f
(1)=0﹣(﹣2)=2,
故a=0符合题意;
②0<a<1时,1<a+1<2,
∴函数在[a,1)递减,在(1,a+1]递增,
函数的最小值是f
(1)=﹣2,
由f(a)=f(a+1),
得3a2+3a﹣2=0,解得:
a=,
(i)∴0≤a<时,f(x)的最大值是f(a),
∴a3﹣3a﹣(﹣2)=2,解得a=0或或﹣,不合题意,舍,
(ii)≤a<1时,f(x)的最大值是f(a+1),
∴(a+1)3﹣3(a+1)﹣(﹣2)=2,解得a=﹣1,符合题意,
③a≥1时,f(x)在[a,a+1]递增,
∴f(x)min=f(a),f(x)max=f(a+1),
∴(a+1)3﹣3(a+1)﹣a3+3a=2,
解得:
a=<1,舍,
综上:
a=﹣1或0.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;
椭圆的标准方程.
【分析】
(1)设椭圆方程为=1,(a>b>0),由椭圆C过点(0,2),其焦点为F2(﹣,0),F2(,0),求出a,b,c,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)由点P在椭圆C上,且PF1=4,求出PF2,|F1F2|,由此能求出△PF1F2的面积.
(1)∵椭圆C过点(0,2),其焦点为F2(﹣,0),F2(,0),
∴设椭圆方程为=1,(a>b>0),
则,∴=3,
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)∵点P在椭圆C上,且PF1=4,
∴PF2=2×
3﹣4=2,
∵F1(﹣,0),F2(,0),
∴|F1F2|=2,
∴.
∴PF1⊥PF2,
∴△PF1F2的面积S===4.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;
交集及其运算.
(1)将a=2代入集合B,求出B,从而求出A∩B即可;
(2)问题转化为A是B的子集,从而求出a的范围.
已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|x2﹣ax<0}.
(1)若a=2,B={x|x2﹣2x<0}={x|0<x<2},
∴A∩B={x|1<x<2};
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,
即A是B的子集,而B=(0,a),
∴a>2.
【考点】平面向量数量积的运算;
圆的一般方程.
(1)由点的坐标求出弦的中垂线方程,联立求得圆心坐标,再求出半径,则圆的方程可求;
(2)由题意可知∠PMQ=90°
,结合圆的半径求出圆心到直线的距离,再由点到直线的距离公式求解.
(1)如图,
AB所在直线方程为x=2,AC所在直线方程为y=x,
联立,解得M(2,2),
又|MA|=,
∴圆M的方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=5;
(2)∵•=0,∴∠PMQ=90°
则|PQ|=,∴M到直线mx﹣2y﹣(2m+1)=0的距离为.
由,解得:
m=.
【考点】函数模型的选择与应用.
(1)求出汽车从A地匀速行驶到B地所用时间,根据汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可得全程运输成本,及函数的定义域;
(2)利用基本不等式可得结论.
(1)依题意知汽车从A地匀速行驶到B地所用时间为,
全程运输成本为y=,即y=300(+),定义域为(0,60],
(2)y=300(+)=300(++)≥300×
3=2250,
当且仅当=,即v=50km/h时,全程运输成本最小,最小为2250元.
【考点】利用导数研究函数的极值;
利用导数研究曲线上某点切线方程.
(1)求出f(x)的导数,求出切点的坐标,代入切线方程求出p的值即可;
(2)求出函数f(x)有两个极值点x1,x2,等价于方程x2﹣2x+m=0在(0,+∞),直接推出结果.
(1)f(x)=lnx的定义域是(0,+∞),f′(x)=,
若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线,
∴=2,解得:
x=,y=f(x)=ln=﹣ln2,
将(,﹣ln2)代入y=2x+p,得:
p=y﹣2x=﹣ln2﹣1;
(2)①函数g(x)=x﹣﹣2lnx的定义域为(0,+∞),f′(x)=,
令g′(x)=0,得x2﹣2x+m=0,其判别式△=4﹣4m,
当△≤0,即m≥1时,x2﹣2x+m≥0,g′(x)≥0,
此时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
函数g(x)无极值点;
②当△>0,即m<1时,方程x2﹣2x+a=0的两根为x1=1﹣,x2=1+>1,
若m≤0,则x1≤0,则x∈(0,x2)时,g′(x)<0,x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,
此时,g(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
函数g(x)有1个极值点;
若m>0,则x1>0,则x∈(0,x1)时,g′(x)>0,
x∈(x1,x2)时,g′(x)<0,
x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,
此时,g(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
函数g(x)有2个极值点;
综上,0<m<1.
(1)由已知得a2=m+8,b2=m,c2=a2﹣b2=8,=,由此能求出m的值.
(2)椭圆C的方程为=1,A(0,2),线AB的斜率不存在时,直线AB的直线为x=0,符合题意.当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+2,P(x0,y0),代入椭圆方程.得整理,得:
(1+3k2)x2+12kx=0,由此利用直线方程、点到直线的距离公式,能求出结果.
(1)∵椭圆C:
+=1(m>0)的离心率为,
∴a2=m+8,b2=m,c2=a2﹣b2=8,
∵离心率为,∴=,
解得m=4.
(2)由
(1)知椭圆C的方程为=1,∴A(0,2),
假设存在椭圆C的一条弦AB满足条件,
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的直线为x=0,符合题意,
此时,P(0,0),r=1.
当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+2,P(x0,y0),
由,消去y,整理,得:
(1+3k2)x2+12kx=0,
解得x=0,或x=﹣,∴,,
由×
k=﹣1,得3k2+4k+1=0,
解得k=﹣1或k=﹣.
∴直线AB:
y=﹣x+2,r=,或直线AB:
y=﹣,r=.
综上,存在这样的弦AB,直线AB:
x=0,r=1,
或直线AB:
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