河北省石家庄市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷(解析版)Word文件下载.doc
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A.60 B.70 C.73 D.69
9.如图,空间四边形OABC中,=,=,=,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则=( )
A.﹣++ B.﹣+ C.+﹣ D.+﹣
10.设F1、F2为椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点,MF1⊥MF2,且|MF2|=|MO|(其中点O为椭圆的中心),则该椭圆的离心率为( )
A.﹣1 B.2﹣ C. D.
11.在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为AB的中点,则点C到平面A1DM的距离为( )
A. B.a C.a D.a
12.设F1、F2分别是双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C的右支上的点,射线PQ平分∠F1PF2交x轴于点Q,过原点O作PQ的平行线交PF1于点M,若|MP|=|F1F2|,则C的离心率为( )
A. B.3 C.2 D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若五个数1、2、3、4、a的平均数为4,则这五个数的标准差为 .
14.设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数,则斜边的长小于1的概率为 .
15.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,λ,3),若向量,,共面,则λ的值为 .
16.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(3,1),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
三、解答题(本大题6小题,共70分)
17.(10分)现有6道题,其中3道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:
(I)所取的2道题都是甲类题的概率;
(II)所取的2道题不是同一类题的概率.
18.(12分)设命题p:
(x﹣2)2≤1,命题q:
x2+(2a+1)x+a(a+1)≥0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
19.(12分)从某校高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间,将测量结果分为八组:
第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195),得到频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)计算第三组的样本数;
并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数;
(Ⅱ)估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数、平均数.
20.(12分)已知圆C:
x2+(y﹣1)2=9,直线l:
x﹣my+m﹣2=0,且直线l与圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)若|AB|=4,求直线l的倾斜角;
(Ⅱ)若点P(2,1)满足=,求直线l的方程.
21.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°
,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(Ⅰ)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.
22.(12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的上顶点为(0,2),且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线,切点分别为A、B,当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时,求|PQ|的最小值.
四、附加题
23.已知函数f(x)=ex﹣ax,(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若对任意实数x恒有f(x)≥0,求实数a的取值范围.
2016-2017学年河北省石家庄市高二(上)期末
数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
【考点】命题的否定.
【专题】计算题;
对应思想;
定义法;
简易逻辑.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解.
【解答】解:
全称命题的否定是特称命题,
则命题的否定是:
∃x0∈R,x02+x0<0,
故选:
C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】先将方程化简为标准形式,即可得焦点坐标.
由抛物线可得x2=4y,故焦点坐标为(0,1)
故选C.
【点评】本题主要考查抛物线的简单性质.属基础题.
【考点】古典概型及其概率计算公式.
集合思想;
概率与统计.
【分析】出现一次正面向上,一次反面向上的情况有两种:
第一次正面向上第二次反面向上和第一次反面向上第二次正面向上.
将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次,
出现一次正面向上,一次反面向上的概率为:
p==.
A.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】不等式的解法及应用;
【分析】由|x﹣2|<1,解得1<x<3.即可判断出结论.
由|x﹣2|<1,解得1<x<3.
∴“1<x<3”是“|x﹣2|<1”的充要条件.
C.
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【考点】程序框图.
【专题】转化思想;
转化法;
算法和程序框图.
【分析】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值,根据条件确定最后一次循环的n值,再利用余弦函数的周期性计算输出S的值.
由程序框图知:
算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值,
∵跳出循环的n值为2016,
∴输出S=cos+cos+…+cos,
∵cos+cos+cos+cos+cos+cos
=cos+cos+cos﹣cos﹣cos﹣cos=0,
∴S=cos+cosπ+cos=﹣1.
B.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图,关键框图的流程判断算法的功能是关键.
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据抽样的有关概念进行判断即可.
根据样本特点,为了抽样的公平性,则应使用分层抽样,故A错误.
A
【点评】本题主要考查抽样的理解和判断,比较基础.
【考点】直线与圆相交的性质.
【专题】综合题;
分类讨论;
演绎法;
直线与圆.
【分析】根据直线的斜率分两种情况,直线l的斜率不存在时求出直线l的方程,即可判断出答案;
直线l的斜率存在时,由点斜式设出直线l的方程,根据直线和圆有公共点的条件:
圆心到直线的距离小于或等于半径,列出不等式求出斜率k的范围,可得倾斜角的范围.
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程是x=1,
此时直线l与圆相交,满足题意;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y﹣=k(x﹣1),
即kx﹣y﹣k+=0,
∵直线l和圆有公共点,
∴圆心到直线的距离小于或等于半径,则≤1,
解得k≥,
∴直线l的倾斜角的取值范围是[,],
D.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线的点斜式方程,点到直线的距离公式等,考查转化思想,分类讨论思想,以及化简能力.
【考点】线性回归方程.
【专题】对应思想;
数学模型法;
【分析】根据表中数据计算、,由回归方程=x+过样本中心点,求出的值,再计算x=7时的值即可.
根据表中数据,得:
=×
(4+2+3+5)=3.5,
=×
(38+20+31+51)=35;
且回归方程=x+过样本中心点(,),其中=0,
所以×
3.5+0=35,解得=10,
所以回归方程为=10x;
当x=7时,=10×
7=70,
即广告费用为7万元时销售额为70万元.
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题,是基础题目
【考点】空间向量的加减法.
【专题】空间向量及应用.
【分析】由题意,把,,三个向量看作是基向量,由图形根据向量的线性运算,将用三个基向量表示出来,即可得到答案,选出正确选项.
=,
=+﹣+,
=++﹣,
=﹣++,
∵=,=,=,
∴=﹣++,
【点评】本题考点是空间向量基本定理,考查了用向量表示几何的量,向量的线性运算,解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来,本题是向量的基础题.
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】数形结合;
数形结合法;
圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可知:
△OMF2为等边三角形,∠OF2M=60°
,|MF2|=c,丨MF1丨=c,丨MF1丨+|MF2|=2a=c+c=(+1)c,a=,由椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率.
由题意可知:
MF1⊥MF2,则△F1MF2为直角三角形,
由|MF2|=|MO|,
O为F1F2中点,则丨OM丨=丨OF2丨,
∴△OMF2为等边三角形,∠OF2M=60°
∴|MF2|=c,
∴丨MF1丨=c,
由椭圆的定义可知:
丨MF1丨+|MF2|=2a=c+c=(+1)c,a=,
则该椭圆的离心率e===﹣1,
该椭圆的离心率为﹣1,
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质,考查直角三角形的性质,考查计算能力,属于中档题.
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】连接A1C、MC,三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD,利用三棱锥的体积公式进行转换,即可求出点C到平面A1DM的距离.
连接A1C、MC可得
=
△A1DM中,A1D=,A1M=MD=
∴=
三棱锥的体积:
所以d
(设d是点C到平面A1DM的距离)
故选A.
【点评】本题以正方体为载体,考查了立体几何中点、线、面的距离的计算,属于中档题.运用体积计算公式,进行等体积转换来求点到平面的距离,是解决本题的关键.
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】方程思想;
分析法;
【分析】运用极限法,设双曲线的右顶点为A,考察特殊情形,当点P→A时,射线PT→直线x=a,此时PM→AO,即|PM|→a,结合离心率公式即可计算得到.
设双曲线的右顶点为A,
考察特殊情形,当点P→A时,射线PT→直线x=a,
此时PM→AO,即|PM|→a,
特别地,当P与A重合时,|PM|=a.
由|MP|=|F1F2|=c,
即有a=c,
由离心率公式e==2.
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要考查离心率的求法,注意极限法的运用,属于中档题.
【考点】极差、方差与标准差.
方程思想;
【分析】由五个数1、2、3、4、a的平均数为4,求出a=10,由此能求出这五个数的方差.
∵五个数1、2、3、4、a的平均数为4,
∴,
解得a=10,
∴这五个数的方差为S2=[(1﹣4)2+(2﹣4)2+(3﹣4)2+(4﹣4)2+(10﹣4)2]=10,
这五个数的标准差为S=.
故答案为:
.
【点评】本题考查标准差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、方差性质、计算公式的合理运用.
【考点】几何概型.
【分析】看出试验包含的所有事件对应的集合,求出面积,写出满足条件的集合和面积,求比值即可.
设两直角边分别是x,y,
∴试验包含的基本事件是{(x,y)|0<x<1,0<y<1},对应的正方形的面积是1,
满足条件的事件对应的集合为{(x,y)|x2+y2<1,x>0,y>0},该区域为个圆,面积为.
∴P=.
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据条件求出对应的区域面积是解决本题的关键.
15.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,λ,3),若向量,,共面,则λ的值为 6 .
【考点】共线向量与共面向量.
转化思想;
空间向量及应用.
【分析】向量,,共面,存在实数m,n使得=,即可得出.
∵向量,,共面,
∴存在实数m,n使得=,
∴,解得λ=6.
6.
【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共面定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
16.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(3,1),则|PM|+|PF1|的最大值为 11 .
【分析】利用椭圆的定义表示出|PA|+|PF1|,通过利用三点共线求出最大值.
将M的坐标代入椭圆方程可得,即M在椭圆内,连结PF2、MF2
F1(﹣3,0),F2(3,0),由椭圆的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,
则|PM|+|PF1|=||PF1|+|PF2|+|PM|﹣|PF2|=2a+|PM|﹣|PF2|
﹣|MF2|≤|PM|﹣||PF2|≤|MF2|=1.
则|PM|+|PF1|的最大值为2a+1=11.
11
【点评】本题考查椭圆的定义以及第二定义的应用,表达式的几何意义的应用,考查转化思想与计算能力.属于中档题.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】列出张同学从中任取2道题解答的全部基本事件个数,
(I)交所取的2道题都是甲类题的事件个数,代入概率公式,可得答案;
(II)所取的2道题不是同一类题的事件个数,代入概率公式,可得答案.
设甲题为a1,a2,a3,乙题为b1,b2,
则基本事件空间为Ω={(a1,b1)(a1,b2)(b1,b2)(a2,b1)(a2,b2)(a1,a2)(a3,b1)(a3,b2)(a1,a3)(a2,a3)}…4
所以:
(I)所取的2道题都是甲类题的事件有:
(a1,a2)(a1,a3)(a2,a3)共3个,
故所取的2道题都是甲类题的概率…4
(II)所取的2道题不是同一类题的事件有:
(a1,b1)(a1,b2)(a2,b1)(a2,b2)(a3,b1)(a3,b2)共6个;
故所取的2道题不是同一类题的概率…4
【点评】本题考查的知识点是古典概型概念计算公式,难度不大,属于基础题.
不等式的解法及应用;
【分析】命题p:
(x﹣2)2≤1,可得解集A=[1,3].命题q:
x2+(2a+1)x+a(a+1)≥0,可得B=(﹣∞,﹣a﹣1]∪[﹣a,+∞).根据p是q的充分不必要条件,即可得出.
命题p:
(x﹣2)2≤1,解得1≤x≤3,记A=[1,3].
命题q:
x2+(2a+1)x+a(a+1)≥0,解得x≤﹣a﹣1,或x≥﹣a.记B=(﹣∞,﹣a﹣1]∪[﹣a,+∞).
∵p是q的充分不必要条件,∴3≤﹣a﹣1,或﹣a≤1,∴a≤﹣4,或a≥﹣1.
∴实数a的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[﹣1,+∞).
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
【考点】频率分布直方图.
图表型;
数形结合;
【分析】
(Ⅰ)由频率分布直方图分析可得各数据段的频率,再由频率与频数的关系,可得频数.
(Ⅱ)先求前四组的频率,进而可求中位数,计算可得各组频数,即可求解平均数.
【解答】
(本题满分为12分)
解:
(Ⅰ)由第三组的频率为:
[1﹣5×
(0.008+0.008+0.012+0.016+0.016+0.06)]÷
2=0.2,
则其样本数为:
0.2×
100=20,…3分
由5×
(0.008+0.016)+0.2=0.32,
则该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数约为:
0.32×
1000=320(人)…6分
(Ⅱ)前四组的频率为:
5×
(0.008+0.016)+0.4=0.52,0.52﹣0.5=0.02,
则中位数在第四组中,由=0.1,可得:
175﹣0.1×
5=174.5,
所以中位数为174.5cm,…9分
计算可得各组频数分别为:
4,8,20,20,30,8,6,4,
平均数约为:
(157.5×
4+162.5×
8+167.5×
20+172.5×
20+177.5×
30+182.5×
8+187.5×
6+192.5×
4)÷
100=174.1(cm)…12分
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用,关键是正确分析频率分布直方图的数据信息,准确计算,属于基础题.
(Ⅰ)若|AB|=4,则圆心到直线的距离为=1,利用点到直线的距离公式,建立方程,即可求直线l的倾斜角;
(Ⅱ)若点P(2,1)满足=,则P为AB的中点,求出直线的斜率,即可求直线l的方程.
(Ⅰ)若|AB|=4,则圆心到直线的距离为=1,
∴=1,∴m=,
∴直线的斜率为,
∴直线l的倾斜角为30°
或150°
;
(Ⅱ)若点P(2,1)满足=,则P为AB的中点,
∵kCP=0,∴直线l的斜率不存在,
∴直线l的方程为x=2.
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:
圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,以及勾股定理的运用,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而再由弦心距,圆的半径及弦长的一半,利用勾股定理解决问题.
(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦
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