山东省高考数学试卷理科答案与解析Word文档下载推荐.doc
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向右平移单位
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
三角函数的图像与性质.
直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.
因为函数y=sin(4x﹣)=sin[4(x﹣)],
要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.
本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中x的系数是易错点.
4.(5分)(2015•山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°
,则=( )
﹣a2
a2
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
计算题;
平面向量及应用.
由已知可求,,根据=()•=代入可求
∵菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°
,
∴=a2,=a×
a×
cos60°
=,
则=()•==
D
本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算,属于基础试题
5.(5分)(2015•山东)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是( )
(﹣∞,4)
(﹣∞,1)
(1,5)
绝对值不等式的解法.菁优网版权所有
不等式的解法及应用.
运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当x<1,②当1≤x≤5,③当x>5,分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可.
①当x<1,不等式即为﹣x+1+x﹣5<2,即﹣4<2成立,故x<1;
②当1≤x≤5,不等式即为x﹣1+x﹣5<2,得x<4,故1≤x<4;
③当x>5,x﹣1﹣x+5<2,即4<2不成立,故x∈∅.
综上知解集为(﹣∞,4).
故选A.
本题考查绝对值不等式的解法,主要考查运用零点分区间的方法,考查运算能力,属于中档题.
6.(5分)(2015•山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
3
2
﹣2
﹣3
简单线性规划.菁优网版权所有
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
作出不等式组对应的平面区域如图:
(阴影部分).
则A(2,0),B(1,1),
若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,
此时,目标函数为z=2x+y,
即y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,
若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,
此时,目标函数为z=3x+y,
即y=﹣3x+z,
平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为﹣6,不满足条件,
故a=2,
B
本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
7.(5分)(2015•山东)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
2π
棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
空间位置关系与距离.
画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可.
由题意可知几何体的直观图如图:
旋转体是底面半径为1,高为2的圆锥,挖去一个相同底面高为1的倒圆锥,
几何体的体积为:
=.
本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观图是解题的关键.
8.(5分)(2015•山东)已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
4.56%
13.59%
27.18%
31.74%
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.菁优网版权所有
概率与统计.
由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%),即可得出结论.
由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,
所以P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%)=13.59%.
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.
9.(5分)(2015•山东)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
﹣或﹣
圆的切线方程;
直线的斜率.菁优网版权所有
直线与圆.
点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为:
y+3=k(x﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出.
点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),
故可设反射光线所在直线的方程为:
y+3=k(x﹣2),化为kx﹣y﹣2k﹣3=0.
∵反射光线与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,
∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d==1,
化为24k2+50k+24=0,
∴k=或﹣.
本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点,考查了计算能力,属于中档题.
10.(5分)(2015•山东)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
[,1]
[0,1]
[,+∞)
[1,+∞)
分段函数的应用.菁优网版权所有
创新题型;
函数的性质及应用;
令f(a)=t,则f(t)=2t,讨论t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t≥1时,以及a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.
令f(a)=t,
则f(t)=2t,
当t<1时,3t﹣1=2t,
由g(t)=3t﹣1﹣2t的导数为g′(t)=3﹣2tln2,
在t<1时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增,
即有g(t)<g
(1)=0,
则方程3t﹣1=2t无解;
当t≥1时,2t=2t成立,
由f(a)≥1,即3a﹣1≥1,解得a≥,且a<1;
或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.
综上可得a的范围是a≥.
故选C.
本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)(2015•山东)观察下列各式:
C=40;
C+C=41;
C+C+C=42;
C+C+C+C=43;
…
照此规律,当n∈N*时,
C+C+C+…+C= 4n﹣1 .
归纳推理;
组合及组合数公式.菁优网版权所有
推理和证明.
仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.
因为C=40;
照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同,
可得:
当n∈N*时,C+C+C+…+C=4n﹣1;
故答案为:
4n﹣1.
本题考查归纳推理的应用,找出规律是解题的关键.
12.(5分)(2015•山东)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 1 .
命题的真假判断与应用.菁优网版权所有
求出正切函数的最大值,即可得到m的范围.
“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,
可得tanx≤1,所以,m≥1,
实数m的最小值为:
1.
本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力.
13.(5分)(2015•山东)执行如图程序框图,输出的T的值为 .
程序框图.菁优网版权所有
图表型;
算法和程序框图.
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,T的值,当n=3时不满足条件n<3,退出循环,输出T的值为.
模拟执行程序框图,可得
n=1,T=1
满足条件n<3,T=1+xdx,n=2
满足条件n<3,T=1+xdx+x2dx=1+=,n=3
不满足条件n<3,退出循环,输出T的值为.
本题主要考查了循环结构的程序框图,考查了定积分的应用,属于基本知识的考查.
14.(5分)(2015•山东)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= ﹣ .
函数的值域.菁优网版权所有
函数的性质及应用.
对a进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组,
当a>1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是增函数,
所以,解得b=﹣1,=0不符合题意舍去;
当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在定义域上是减函数,
所以解得b=﹣2,a=
综上a+b=,
故答案为;
﹣
本题考查指数函数的单调性的应用,以及分类讨论思想,属于基础题
15.(5分)(2015•山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:
﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:
x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .
双曲线的简单性质.菁优网版权所有
圆锥曲线的定义、性质与方程.
求出A的坐标,可得=,利用△OAB的垂心为C2的焦点,可得×
(﹣)=﹣1,由此可求C1的离心率.
双曲线C1:
﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±
x,
与抛物线C2:
x2=2py联立,可得x=0或x=±
取A(,),则=,
∵△OAB的垂心为C2的焦点,
∴×
(﹣)=﹣1,
∴5a2=4b2,
∴5a2=4(c2﹣a2)
∴e==.
.
本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定A的坐标是关键.
三、解答题
16.(12分)(2015•山东)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
正弦函数的单调性;
两角和与差的正弦函数;
余弦定理.菁优网版权所有
三角函数的图像与性质;
解三角形.
(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得单调递减区间.
(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:
bc,且当b=c时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.
(Ⅰ)由题意可知,f(x)=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:
k≤x≤k,k∈Z;
所以f(x)的单调递增区间是[k,k],(k∈Z);
单调递减区间是:
[k,k],(k∈Z);
(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA=,
由题意知A为锐角,所以cosA=,
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,
1+bc=b2+c2≥2bc,即bc,且当b=c时等号成立.
因此bcsinA≤,
所以△ABC面积的最大值为.
本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本知识的考查.
17.(12分)(2015•山东)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(Ⅰ)求证:
BD∥平面FGH;
(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°
,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
二面角的平面角及求法;
直线与平面平行的判定.菁优网版权所有
空间位置关系与距离;
空间角;
空间向量及应用.
(Ⅰ)根据AB=2DE便可得到BC=2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;
(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.
(Ⅰ)证明:
根据已知条件,BC=2EF,H为BC中点,EF∥BC;
∴EF∥BH,且EF=BH;
∴四边形EFHB为平行四边形;
∴BE∥HF,HF⊂平面FGH,BE⊄平面FGH;
∴BE∥平面FGH;
同样,因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;
又DE∥AB;
∴DE∥GH;
∴DE∥平面FGH,DE∩BE=E;
∴平面BDE∥平面FGH,BD⊂平面BDE;
∴BD∥平面FGH;
(Ⅱ)连接HE,则HE∥CF;
∵CF⊥平面ABC;
∴HE∥平面ABC,并且HG⊥HC;
∴HC,HG,HE三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设HC=1,则:
H(0,0,0),G(0,1,0),F(1,0,1),B(﹣1,0,0);
连接BG,根据已知条件BA=BC,G为AC中点;
∴BG⊥AC;
又CF⊥平面ABC,BG⊂平面ABC;
∴BG⊥CF,AC∩CF=C;
∴BG⊥平面ACFD;
∴向量为平面ACFD的法向量;
设平面FGH的法向量为,则:
,取z=1,则:
;
设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ,则:
cosθ=|cos|=;
∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°
考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及其性质,线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公式,平面和平面所成角的定义.
18.(12分)(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
数列的求和.菁优网版权所有
等差数列与等比数列.
(Ⅰ)利用2Sn=3n+3,可求得a1=3;
当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1,可求得an=3n﹣1,从而可得{an}的通项公式;
(Ⅱ)依题意,anbn=log3an,可得b1=,当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×
31﹣n,于是可求得T1=b1=;
当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×
3﹣1+2×
3﹣2+…+(n﹣1)×
31﹣n),利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn.
(Ⅰ)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,
当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,
此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×
3n﹣1,即an=3n﹣1,
所以an=.
(Ⅱ)因为anbn=log3an,所以b1=,
当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×
31﹣n,
所以T1=b1=;
31﹣n),
所以3Tn=1+(1×
30+2×
3﹣1+3×
32﹣n),
两式相减得:
2Tn=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×
31﹣n)=+﹣(n﹣1)×
31﹣n)=﹣,
所以Tn=﹣,经检验,n=1时也适合,
综上可得Tn=﹣.
本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考“查错位相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题.
19.(12分)(2015•山东)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.
(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.
离散型随机变量的期望与方差;
离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
(Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(Ⅱ)随机变量X的取值为:
0,﹣1,1分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.
(Ⅰ)根据定义个位数字是5的“三位递增数”有:
125,135,145,235,245,345;
(Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为,
随机变量X的取值为:
0,﹣1,1,
当X=0时,可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合,即;
当X=﹣1时,首先选择5,由于不能被10整除,因此不能选择数字2,4,6,8,可以从1,3,5,7中选择两个数字和5进行组合,即;
当X=1时,有两种组合方式,第一种方案:
首先选5,然后从2,4,6,8中选择2个数字和5进行组合,即;
第二种方案:
首先选5,然后从2,4,6,8中选择1个数字,再从1,3,7,9中选择1个数字,最后把3个数字进行组合,即.
则P(X=0)==,P(X=﹣1)==,P(X=1)==,
X
﹣1
1
P
EX=0×
+(﹣1)×
+1×
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,求出对应的概率是解决本题的关键.
20.(13分)(2015•山东)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆E:
+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求||的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
直线与圆锥曲线的综合问题;
椭圆的标准方程;
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直线与圆;
(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,计算即可得到b,进而得到椭圆C的方程;
(Ⅱ)求得椭圆E的方程,(i)设P(x0,y0),||=λ,求得Q的坐标,分别代入椭圆C,E的方程,化简整理,即可得到所求值;
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,由判别式大于0,可得t的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ的面积为3S,即可得到所求的最大值.
(Ⅰ)由题意可知,2a=4,可得a=2,
又=,a2﹣c2=b2,
可得b=1,即有椭圆C的方程为+y2=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1,
(i)设P(x0,y0),||=λ,由题意可知,
Q(﹣λx0,﹣λy0),由于+y02=1,
又+=1,即(+y02)=1,
所以λ=2,即||=2;
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,可得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得m2<4+16k2,①
则有x1+x2=﹣,x1x2=,所以|x1﹣x2|=,
由直线y=kx+m与y轴交于(0,m),
则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•
=2,设=t,则S=2,
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△≥0可得m2≤1+4k2,②
由①②可得0<t≤1,则S=2在(0,1]递增,即有t=1取得最大值,
即有S,即m2=1+4k2,取得最大值2,
由(i)知,△ABQ的面积为3S,
即△ABQ面积的最大值为6.
本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程
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