高中数学新设计同步湘教版必修3备课资源第六章 立体几何初步 6231Word文档下载推荐.docx
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②作平行线
要点一 直线和平面垂直的定义
例1 下列命题中,正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
③若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直,则直线l与平面α不垂直.
答案 ③④
解析 当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以①不正确;
当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以②不正确,③正确.根据线面垂直的定义,若l⊥α则l与α的所有直线都垂直,所以④正确.
规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
跟踪演练1 设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
答案 B
解析 对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;
对于B,因l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°
,即m⊥α,故B正确;
对于C,也有可能是l,m异面;
对于D,l,m还可能相交或异面.
要点二 线面垂直的判定
例2 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°
,D为BB1的中点.
求证:
AD⊥平面A1DC1.
证明 ∵AA1⊥底面ABC,
平面A1B1C1∥平面ABC,
∴AA1⊥平面A1B1C1,显然A1C1⊂平面A1B1C1,
∴A1C1⊥AA1.
又∠B1A1C1=90°
,∴A1C1⊥A1B1,而A1B1∩AA1=A1,
∴A1C1⊥平面AA1B1B.∵AD⊂平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD=
,A1D=
,AA1=2.
∴AD2+A1D2=AA
,∴A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D=A1,∴AD⊥平面A1DC1.
规律方法 证线面垂直的方法有三类
(1)线线垂直证明线面垂直:
①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);
②判定定理最常用:
要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线);
结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论):
①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.
跟踪演练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:
EF⊥平面BB1O.
证明 ∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1,
又∵BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O,
又EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,
∴EF⊥平面BB1O.
要点三 直线与平面垂直的性质及应用
例3 如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.
EF∥BD1.
证明 如图所示,
连结AB1,B1D1,B1C,BD,
∵DD1⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BDD1B1,
又BD1⊂平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,
∴EF∥BD1.
规律方法 证明线线平行常有如下方法:
(1)利用线线平行定义:
证共面且无公共点;
(2)利用三线平行公理:
证两线同时平行于第三条直线;
(3)利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行;
(4)利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直;
(5)利用面面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪演练3 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:
a∥l.
证明 因为EA⊥α,α∩β=l,
即l⊂α,所以l⊥EA.
同理l⊥EB,
又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,
又a⊥AB,EB∩AB=B,
所以a⊥平面EAB.因此,a∥l.
1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交不垂直D.不确定
解析 由题意可知,该直线垂直于三角形所确定的平面,故这条直线和三角形的第三边也垂直.
2.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
答案 C
解析 连结AC,因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.下列表述正确的个数为( )
①若直线a∥平面α,直线a⊥b,则b⊥α;
②若直线a⊄平面α,b⊂α,且a⊥b,则a⊥α;
③若直线a平行于平面α内的两条直线,则a∥α;
④若直线a垂直于平面α内的两条直线,则a⊥α.
A.0B.1
C.2D.3
答案 A
解析 ①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内;
②中a与α还可能平行或斜交;
③中a还可能在平面α内;
由直线与平面垂直的判定定理知④错.
4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边;
②梯形的两边;
③圆的两条直径;
④正六边形的两条边.
A.①③B.②
C.②④D.①②④
解析 由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③图形所在的平面,对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
5.若a,b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的有________个.
①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;
②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;
③a∥α,a⊥b⇒b⊥α;
④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
答案 2
解析 由线面垂直的性质定理知①④正确.
1.直线与平面垂直的判定方法:
(1)利用定义;
(2)利用判定定理,其关键是在面内找两条相交直线.
2.对于线面垂直的性质定理的理解:
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
一、基础达标
1.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个B.至多一个
C.有一个或无数个D.不存在
解析 若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.
2.如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的线段有( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
答案 D
解析 ∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥AC,
又∵AC⊥BO,∴AC⊥平面PBD,
∴平面PBD中的4条线段PB,PD,PO,BD与AC垂直.
3.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( )
A.垂直且相交B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交D.不垂直也不相交
解析 取BD中点O,连结AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,∴BD⊥平面AOC,BD⊥AC,
又BD,AC异面,∴选C.
4.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC和CD的中点,G是EF的中点,现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.那么,在四面体AEFH中必有( )
A.HG⊥△AEF所在平面
B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.AH⊥△EFH所在平面
解析 ∵AD⊥DF,AB⊥BE,∴AH⊥HF,AH⊥HE.又∵EH∩FH=H,∴AH⊥平面EFH.
5.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________.
答案 外心
解析 P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.
6.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数有________.
答案 4
解析
⇒
⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,
∴直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
A1C⊥平面BC1D.
证明 如图,连结AC,则AC⊥BD.
又∵BD⊥A1A,AC∩AA1=A,
AC,A1A⊂平面A1AC,
∴BD⊥平面A1AC.
∵A1C⊂平面A1AC,∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D.
二、能力提升
8.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n与平面α的关系是( )
A.n∥αB.n∥α或n⊂α
C.n⊂α或n与α不平行D.n⊂α
解析 ∵l⊂α,且l与n异面,∴n⊄α,
又∵m⊥α,n⊥m,∴n∥α.
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1.(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)
答案 A1C1⊥B1C1
如图所示,连结B1C.由BC=CC1,可得BC1⊥B1C.因此,要得AB1⊥BC1,则需BC1⊥平面AB1C,即只需AC⊥BC1即可.由直三棱柱可知,只要满足AC⊥BC即可.而A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要满足A1C1⊥B1C1即可.
10.在正四棱锥P-ABCD中,PA=
AB,M是BC的中点,G是△PAD的重心,则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条.
答案 无数
解析 设正四棱锥的底面边长为a,则侧棱长为
a.
由PM⊥BC,∴PM=
=
a.连结PG并延长与AD相交于N点,连结MN,则PN=
a,MN=AB=a,∴PM2+PN2=MN2,∴PM⊥PN.又PM⊥AD,∴PM⊥面PAD,∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直.
11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F.
解 连结A1B,CD1,则A1B⊥AB1,A1D1⊥AB1,又A1D1∩A1B=A1,∴AB1⊥平面A1BCD1,
又D1E⊂面A1BCD1,∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.
三、探究与创新
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°
.
(1)求证:
PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
∴PD⊥BC.
∵∠BCD=90°
,∴BC⊥CD.
又PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD.
而PC⊂平面PCD,∴PC⊥BC.
(2)过A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,连结PE,
∵BC⊥CD,∴AE∥BC.
∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离,
ED=AB-DC=1=DC,
又PD⊥DC,
∴PE=PC=
,∠PED=∠PCD=45°
,
∴EP⊥PC,
又EC⊥BC,PC⊥BC,∴BC⊥平面PCE,
∴EP⊥BC,
又PC∩BC=C,
∴EP⊥平面PBC,
∴点E到平面PBC的距离为
∴点A到平面PBC的距离为
13.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>
0),PA⊥平面ABCD,且PA=1,问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?
并说明理由.
解 假设存在点Q,使得PQ⊥QD.
由已知PA⊥平面ABCD,且DQ⊂平面ABCD,
∴PA⊥DQ.
又∵PQ⊥DQ,
且PQ∩PA=P,PQ,PA⊂平面PAQ,
∴DQ⊥平面PAQ.
∵AQ⊂平面PAQ,∴AQ⊥DQ.
设BQ=x(0<x<a),则CQ=a-x,AQ2=x2+1,
DQ2=(a-x)2+1.
∵AQ2+DQ2=AD2,∴x2+1+(a-x)2+1=a2,
即x2-ax+1=0.(*)
方程(*)的判别式Δ=a2-4.
∵a>
0,∴当Δ<
0,即0<
a<
2时,方程(*)无实根;
当Δ=0,即a=2时,方程(*)有唯一实根,此时x=1;
当Δ>
0,即a>
2时,方程(*)有两个不等实根,设两个实根分别为x1,x2.由于x1+x2=a>
0,x1x2=1>
0,
则这两个实根均为正数.
因此,当0<
2时,BC边上不存在点Q使PQ⊥QD;
当a=2时,BC边上存在唯一一点Q(即BC中点),使PQ⊥QD;
当a>
2时,BC边上存在不同的两点Q,使PQ⊥QD.
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