选修2-2导数复习Word文档格式.doc
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【解析】由题意,绕点O匀速旋转时,前部分随着t的增加,S越来越快,反映在图上是曲线斜率越来越大;
后部分,增长缓慢,曲线斜率减少,故选D.
4.导数的运算:
(1)几种常见函数的导数:
①(C)′=0(C为常数)②()′=(x>0,)③(sinx)′=cosx
④(cosx)′=-sinx⑤(ex)′=ex⑥(ax)′=axlna(a>0,且a≠1);
⑦⑧(a>0,且a≠1)
(2)导数的运算法则:
①[u(x)±
v(x)]′=u′(x)±
v′(x)
②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
③
5.设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处也有导数,且或。
6.函数的单调性:
设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;
如果,则在此区间上为减函数。
应用3:
求函数的单调区间。
求单调性的步骤:
(1)确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
(2)解不等式;
(3)确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式),区间之间用逗号隔开,不能用“”连结。
应用4:
已知函数在某区间为单调函数。
若已知可导函数在某个区间上单调递增,则,且不恒为零.
若已知可导函数在某个区间上单调递减,则,且不恒为零.
例已知函数在区间是增函数,求实数的取值范围。
应用5:
导数图象与函数图象关系。
已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()-2
2
O
1
-1
-2
4
A
B
C
D
7.极值与最值
极值的定义:
设函数在点附近有定义,且若对附近的所有的点都有(或,则称为函数的一个极大(或小)值,为极大(或极小)值点。
注:
可导数在极值点处的导数为0(即),但函数在某点处的导数为0,并不一定函数在该处取得极值(如在处的导数为0,但没有极值)。
求函数的极值(与求函数的单调区间是一起的)。
求函数的极值的步骤:
第一步:
确定函数的定义域,求导数;
第二步:
求方程的所有实根;
第三步:
列表考察在每个根附近,从左到右,导数的符号如何变化,
若的符号由正变负,则是极大值;
若的符号由负变正,则是极小值;
若的符号不变,则不是极值,不是极值点。
例1.求函数的单调区间。
例2.设,函数,求函数的极值点。
解:
(2)
①当时,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增。
此时是的极大值点,是的极小值点
②当时,
当时,>0,
当时,,
当时,
所以函数在定义域内单调递增,此时没有极值点
③当时,
当时,,函数单调递增
此时是的极大值点,
是的极小值点
综上,当时,是的极大值点,是的极小值点;
当时,没有极值点;
当时,是的极大值点,是的极小值点
例3.已知函数其中,当时,求函数的单调区间与极值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
以下分两种情况讨论。
(1)>,则<.当变化时,的变化情况如下表:
+
—
↗
极大值
↘
极小值
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)<,则>,当变化时,的变化情况如下表:
例4.求函数的单调区间。
例5.求函数的单调区间。
应用6:
求函数函数的最值。
(1)最值的定义:
若函数在定义域D内存,使得对任意的,都有,(或)则称为函数的最大(小)值,记作(或)
(2)如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
(3)求可导函数在闭区间上的最值方法:
第一步;
求在区间内的极值;
比较的极值与、的大小:
下结论:
最大的为最大值,最小的为最小值。
例1.求函数在区间的最值。
应用7:
参数取值范围问题(包含恒成立问题、存在问题)。
例1.已知函数.若对所有都有,求实数的取值范围.
解法一:
令,则,
①若,当时,,
故在上为增函数,所以,时,,即.
②若,方程的根为,
则为减函数,为增函数,恒成立,得到,舍去。
另一种思路(针对无法解出具体的):
若,则,故在该区间为减函数.所以,时,,即,(非常重要的思想)与题设相矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是.
解法二:
依题意,得在上恒成立,即不等式对于恒成立。
令,则.当时,因为,故是上的增函数,所以的最小值是,从而的取值范围是.
例2.
8
应用8:
证明不等式。
例1证明不等式
例2
应用9:
生活中的优化问题。
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题。
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日销售量(单位:
千克)与销售价格(单位:
元/千克)满足关系式,其中,为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(I)求的值;
(II)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得得利润最大.
应用10:
函数图象与函数图像交点问题。
例.已知函数
(I)求在区间上的最大值
(II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点?
若存在,求出的取值范围;
若不存在,说明理由。
(I)
当即时,在上单调递增,
当即时,
当时,在上单调递减,
综上,
(II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
当时,是增函数;
当时,是减函数;
当或时,
当充分接近0时,当充分大时,
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
即
所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为
12
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