专题圆锥曲线大题有答案Word文档格式.doc
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题型二:
弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N:
交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;
若不存在,请说明理由。
依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线,,,。
由消y整理,得①
由直线和抛物线交于两点,得
即②
由韦达定理,得:
则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为:
令y=0,得,则
为正三角形,到直线AB的距离d为。
解得满足②式此时。
题型三:
动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C:
的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论
(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。
从而椭圆的方程为
(II)设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根,则,,即点M的坐标为,
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为
,直线MN的方程为:
,
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:
又,椭圆的焦点为,即
故当时,MN过椭圆的焦点。
题型四:
过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A、B、C是椭圆E:
上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。
(I),且BC过椭圆的中心O
又点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点,,则椭圆方程为:
将点C代入方程,得,椭圆E的方程为
(II)直线PC与直线QC关于直线对称,
设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:
,即,由消y,整理得:
是方程的一个根,
即同理可得:
==
=
则直线PQ的斜率为定值。
题型五:
共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M:
于P、Q两点,且,求实数的取值范围。
设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即
判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ的方程为:
由消y整理后,得
P、Q是曲线M上的两点
即①
由韦达定理得:
即②
由①得,代入②,整理得
解之得
当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或。
总之实数的取值范围是。
题型六:
面积问题
例题6、已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。
(Ⅱ)设,。
(1)当轴时,。
(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为。
由已知,得。
把代入椭圆方程,整理得,
,。
当且仅当,即时等号成立。
当时,,
综上所述。
当最大时,面积取最大值。
题型七:
弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>
0)相交于A、B两点。
(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?
若存在,求出l的方程;
若不存在,说明理由。
(Ⅰ)依题意,点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是
.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则=.
=
令,得为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为,
即抛物线的通径所在的直线.
解法2:
(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
又由点到直线的距离公式得.
从而,
(Ⅱ)假设满足条件的直线t存在,其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为
将直线方程y=a代入得
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有
令为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为.
即抛物线的通径所在的直线。
题型八:
角度问题
例题8、(如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若,求点P的坐标.
(Ⅰ)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴
b=所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得①
因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,
②
将①代入②,得
故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上.
由(Ⅰ)知,点P的坐标又满足,所以
由方程组解得
即P点坐标为
问题九:
四点共线问题
例题9、设椭圆过点,且着焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:
点总在某定直线上
解
(1)由题意:
,解得,所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零,记,则且
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是,
,
从而
,
(1),
(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+
(2)×
2并结合(3),(4)得
即点总在定直线上
方法二
设点,由题设,均不为零。
且
又四点共线,可设,于是
(1)
(2)
由于在椭圆C上,将
(1),
(2)分别代入C的方程整理得
(3)
(4)
(4)-(3) 得
问题十:
范围问题(本质是函数问题)
设、分别是椭圆的左、右焦点。
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·
的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。
(Ⅰ)解法一:
易知
所以,设,则
因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值
当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
解法二:
易知,所以,设,则
(以下同解法一)
(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
∴
由得:
或
又
∵,即∴
故由①、②得或
问题十一、存在性问题:
(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:
三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
设椭圆E:
(a,b>
0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?
若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由。
解:
(1)因为椭圆E:
0)过M(2,),N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
①当时
因为所以,
所以当且仅当时取”=”.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
②当时,.
③当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,
综上,|AB|的取值范围为即:
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