浅谈完全平方公式---陈小丹.doc
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河源市2015年中小学(幼儿园)教师
优秀教学论文评选参评论文
论文标题:
浅谈完全平方公式
姓名:
陈小丹
工作单位:
优胜中学
科目:
数学
联系电话:
13923699516
电子邮箱:
514343614@
9
浅谈完全平方公式
[摘要]“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式,是代数运算的基础公式,在初中阶段的教学中具有重要地位,是进行代数运算与变形的重要知识基础。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果,所以要让学生正确理解公式中字母和的真正含义。
[关键字]完全平方公式、变形、运用
“完全平方公式”在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起到非常重要的作用,在初中阶段的教学中具有重要的地位.它是能让学生感悟换元思想、整体思想、建模思想、数形结合的思想,感受数学的再创造性的好教材,所以对完全平方公式的教学要求很高,需要每一位学生都必须熟悉并且掌握这个公式,从而灵活运用公式.但是,很多学生在学习这个公式后,仍对于其来源、形成过程的理解不透彻,对其结构形式特点记忆模糊,并未深刻领悟到公式的本质.
完全平方公式作为整式的乘法公式,北师大版教科书把这个公式安排在第一章《整式的乘除》的第六节,前五节是先让学生掌握整式乘法运算的各项法则,当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后,再让学生利用多项式乘法法则计算,从而推导完全平方公式,并由找规律得出公式的猜想,再通过几何面积验证公式猜想的正确性,最终由代数探究及几何论证来得出公式。
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础.重点是完全平方公式的熟记及其应用,难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果,但不能乱套公式,特别是对于初学者来说,需要通过具体的、学生容易出错的例子让学生正确理解公式中字母和的真正含义。
在教学完全平方公式后反思学生中常见的错误有:
(1)学生难于跳出原有的定式思维,如典型错误(错因:
在公式的基础上类推,随意“创造”);
(2)混淆公式与;(3)运算中结果符号错误,如;(4)变式应用对初学者来说更难于理解与掌握,如.现结合教学的知识和实践经验对完全平方公式作如下解析:
一、概念理解
1、完全平方公式:
2、语言描述:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍,这个公式叫做乘法的完全平方公式。
3、公式的结构特征:
左边是两个相同的二项式相乘(即一个二项式的平方);右边是二次三项式.如果左边二项式各项分别用首项、尾项代表,那么右边三项可简记:
首平方,尾平方,积的二倍在中央;积的符号由二项系数符号来确定,二项式系数符号同号,则积的符号为正;二项式系数符号异号,则积的符号为负,平方项前面均为正号.在运用完全平方公式解题时,应注意掌握公式中各项的特征,明确公式中的“两数”的意义,在公式中字母、可以表示具体的数(正数或负数),也可以是单项式或多项式。
例如:
在运用公式计算时“”就是公式中的,“”就是公式中的“”。
二、几何意义
用面积分割法来阐述完全平方公式的几何意义。
1、验证和的完全平方公式:
如图1,一方面大正方形面积为,另外一方面大正方形面积可看作四个部分的面积之和,则
2、验证差的完全平方公式:
如图2,一方面,另一方面阴影部分面积可看作大正方形面积减去三块空白部分面积,即
图1图2
三、把握运用公式四步曲
1、“察”:
计算时,要先观察题目特点是否符合公式的条件,若不符合,应先变形成符合公式的形式,再利用公式进行计算,若不能变成符合公式的形式,则运用相应的乘法法则进行计算。
2、“导”:
正确选用完全平方公式,关键是确定式子中的、的分别表示什么数或式子。
3、“算”:
注意每步的运算依据,即各个环节的算理。
4、“演”:
完成运算后学会检验,即回过头来再反思每步的计算依据和符号等方面是否正确无误,也可以通过多项式的乘法法则进行验算,以确保万无一失。
四、掌握运用公式的常规七变
1、变符号:
即适当改变题目中某些项的符号,然后运用公式计算。
例1.运用完全平方公式计算:
(1);
(2);
解:
把二项式可分别变形成以下三种情况后,再运用公式计算:
方法一:
方法二:
方法三:
2、变系数:
即将题目因式中各项的系数进行变形,使之符合完全平方公式的特点。
例2:
计算:
解:
原式
3、变组:
即把各因式中的项作适当分组(添加括号)。
例3:
计算:
分析:
完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故要考虑将其中的两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾,所以在运用公式时,可变形为以下三种情况:
①;
②;
③,
再运用公式计算。
4、变结构:
即将多项式中某些因式适当变形后再运用公式计算。
例4:
计算:
;.
分析:
本例中所给出的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合完全平方公式的特征,达仔细观察易发现,只要将其中一个因式适当变形即可。
即:
,
再运用公式计算。
5、变数:
即将数字拆开,然后运用公式计算。
例5:
计算:
;
分析:
本例中的102接近100,9.9接近10,故可化成两个数的和或差,再即:
.
6、变指数:
即将题目中各因数的指数改变位置。
例6:
;
分析:
观察本例的题目结构,可利用积的乘方公式的逆运用,提取指数,在运用公式计算。
解:
原式
7、变项数:
即将多项式中的某些项适当变形后再运用公式。
例7:
计算:
;
五、学会公式运用中的四拓展
1、公式的混用
例8:
分析:
本例
(1)是三项式乘以三项式,特点是有些项相同,另外的项互为相反数,故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后,再运用完全平方公式进行计算。
即:
2、公式的变形
完全平方公式除了要掌握按照公式进行直接、简单的套用外,我们可以将公式进行变形,从而灵活运用,使某些问题的求解十分简单、明快。
完全平方公式的变形公式:
①②③
④⑤
熟悉完全平方公式的变形公式,是相关整体代换求值的关键。
例9:
已知,求下列各式的值.
分析:
本例是典型的整式求值问题,若按照常规思维把、的值分别求出来,这将非常困难;仔细探究可把这些条件同完全平方公式结合起来,运用完全平方公式的变形公式很容易找到解决问题的途径。
解:
方法一:
方法二:
点拨:
类似这种有条件的求值问题一般处理方法为:
①将所求的多项式恒等变形能应用已知条件的形式;②将已知条件进行恒等变形以达到需求的结果。
3、公式的逆用(配方)
完全平方式具有非负性,利用这点可以解决求值、比较大小与最值等有关的问题.故需要构造完全平方式,即进行配方.再进行配方时,当二次项的系数为1时,且已知时,则构造的第三项为一次项系数“”一半的平方;若二次项的系数不为1时,则可通过提取常数,将其变为1。
若已知两个二次项、,则只需要构造、的积的两倍即可.即运用添、拆项的方法先将左边配成完全平方式,再寻求解决方案。
例10:
已知,求的值。
解题技巧:
利用完全平方公式进行代数式的恒等变形思路很多,其中逆用公式进行配方是一种常见的思路,今后还会用到.
例11:
已知,为任意实数,则、的大小关系为()
A.D.不能确定
分析:
比较两个数的大小,通常运用作差法.而本例中由于Q的次数较高,所以可把Q做被减数。
解:
依题意得:
化简的结果是关于的二次三项式,故运用乘方公式进行变形:
.
所以.答案选C
4、公式的推广(次数上)
完全平方公式是二项式的平方的推广可以在项数上和次数上拓展,下面我概括下在次数上的拓展.
计算并观察规律:
……
我们观察上面等式的右面每一项的系数和字母的次数,不难发现:
的展开式中①每项的次数均为;
②按以上方式排列,正好是第一个字谜的降幂排列,同时,也是第二字母的升幂排列;
③系数满足“杨辉三角”.
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
……
这些系数形成了一个三角形,这一结果被我国宋朝数学家杨辉1261年所著作的《详解九章算法》记录,俗称杨辉三角。
例:
问的展开式是什么?
解:
的展开式各项应为:
.
对应的系数为:
1615201561
六、小结
本文主要研究了完全平方公式的定义、解题方法和公式变形等,首先,阐述了完全平方公式的定义以及其公式的几何意义,让大家了解完全平方公式的存在性;其次对公式进行分析、相应的解题方法和公式的变形等进行较深入地探讨,以形成较完整的理论体系。
通过本文的论述,我们可以更全面地了解完全平方公式以及公式的变形与扩展,具有一定的应用价值。
另外,熟悉掌握公式对后面的数学的学习也有很大的帮助。
在这一过程中,我们更系统地分析了完全平方公式问题的类型和解决方法,使我们更能体会到前人探索的艰辛,以及获得成功时的喜悦之情,从而激发了我们对数学的兴趣。
参考文献
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[8]郑明筑,蕫涛.基于PCK结构的情境创设评价框架---以《完全平方公式》一课为例.初中数学教与学,2013年第4期
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