最新试题资料高考数学好题速递400题第251300题附答案和解释.docx
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最新试题资料高考数学好题速递400题第251300题附答案和解释
高考数学好题速递400题(第251—300题附答案和解释)
5
c
好题速递251题
设为正整数,方程在区间内有两个不同的根,则的最小值是.
解
于是问题转化为直线与打勾函数的图象的两个交点的横坐标均在区间内,于是
注意到为整数,于是在区间上存在整数的充要条为
解得
故的最小值为6,而的最小值为7,则的最小值为13
好题速递252题
已知,求的最小值是.
解法一令,则
因此,整理得
故用判别式,解得
解法二设,,条转化为,即
所求代数式转化为的最小值
由此可有斜率角度求值域
,(视为单位圆上的点与连线斜率),则
也可由三角函数角度求值域
评注这里因为遇到的结构,故三角换元设,。
解法三数形结合
当时,点为上的一点,则
如图,就是典型的“饮马问题”,点关于直线的对称点到轴的距离为
当时,点为上的一点,则
而
于是
好题速递253题
如图,直线与平面,垂足是,正四面体的棱长为4,点在平面上运动,点在直线上运动,则点到直线的距离的取值范围是.
解题意中是点是定点,正四面体运动,但始终保持不变
不妨反过换位思考,将正四面体固定下,让点在以为直径的球面上运动,如图所示。
接下可以得到点到直线的距离的取值范围就是球心到直线的距离减去球的半径与球心到直线的距离加上球的半径之间,即
好题速递254题
★已知,对任意满足的实数,都有成立,则的最大值是.
解法一显然
于是问题转化为求的最大值
当时,容易得到,由图可知直线在上的值域为的子集,于是斜率必然在内,故
从而当时,原式取到最大值为40
解法二绝对值不等式
因为
故,同解法一
练习若对任意满足的实数,都有成立,则的取值范围是.
如图,易得
点评本题就是将一次函数转变为二次函数,异曲同工。
好题速递255题
已知圆为的外接圆,且,若,则的最大值为.
解如图,延长交边于点,设
则
由三点共线可知,从而
显然当取最小值,即时,取得最大值,此时为等腰三角形,可得
好题速递256题
已知非零向量和互相垂直,则和的夹角余弦值的最小值是.
解
令,
则
好题速递257题
已知正数满足,则的取值范围是.
解设,则
又因为
即,解得
当且仅当时,;当且仅当时,
好题速递258题
已知实数,若,则的最小值是.
解法一待定系数法
待定系数法,令,解得
故,当且仅当时取得
解法二
令,即时,,当且仅当时取得
解法三三角换元
设,原问题转化为,求的最小值
令,,,,
故问题又转化为已知,求的最小值
于是
因为,故
评注这里又遇到的结构,故可三角换元设,,10月1日每日征解有相同的处理方法。
好题速递259题
已知中,,,点是线段上一点,且,则的取值范围是.
解根据,,可知在以为直径,以中点为圆心的圆上。
又,且,根据投影的几何意义为点在的中垂线上,又点在上,故点就是线段的中垂线与线段的交点
又,故问题转化为当点在以为直径的圆上运动时,求的取值范围
显然当与重合时,,与接近重合时,
故
好题速递260题
在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足和所成的角为的点有个.
解如图,将正方体的各个顶点(除B点外)分类,规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类,小于时为一类。
显然与所成角的正切值为,故大于
与所成角的为,大于
与所成角的为,大于
与所成角的正切值为,小于
当点从运动到时,角度从大于变化到小于,一定经过一个点满足;依此类推,当点在上运动时,都经历过角度从小于到大于的变化,故满足条的点共有3个。
点评本题虽然是立体几何问题,但类似于函数的零点存在性定理(一上一下中间一点),角度的变化不会发生突变,故在变化的过程中一定存在一个临界点。
这种思想在处理选择题时经常用到。
好题速递261题
在中,是边上一点,,,若的外心恰在线段上,则.
解设
因为是等腰三角形,故,即
故有
再对上式两边同时与作数量积,有,得
故由余弦定理得
即
点评本题的一个难点在于从等腰三角形想到在方向的分量一样,即系数一致求出。
其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。
好题速递262题
已知平面和相交形成的四个二面角中的其中一个为,则在空间中过某定点与这两个平面所成的线面角均为的直线有条.
解设平面和平面过点的法线(垂直于平面的直线)分别为,则
而直线与两个平面所成的线面角均为可转化为直线与法线所成的角均为
由“鸡爪定理”可知,直线与法线所成角为的直线有3条。
点评平面的法向量是平面方向的代表。
“鸡爪定理”如图,若直线所成角为,则与直线所成角相同的直线一定在直线的角平分面上,且该角的取值范围是和
其中与就是直线正好为直线的两条角平分线时,就是垂直时取得。
好题速递263题
已知向量满足,则最大值为。
解法1(方程构造法)构造方程
则,当且仅当,且时,上式等号成立.
解法2(不等式法)对于条,则有,
又因,则有,则,
因此最大值为
解法3(极化恒等式法)设,,取的中点为,,对于,因可以变化,当趋向于度时,趋向于,而,则,
因此最大值为
好题速递264题
已知过点,且斜率为的直线与圆相交于两点.
则.
解法1(普通方法)设直线与圆的交点为,
则,
由直线与圆联立得,
因此有,,
,因此可得
解法2(极化恒等式)
如图所示,取的中点为,则,
由极化恒等式可得
点评这里的极化恒等式并没有出现在三角形中,但仍然适用。
其本质就是圆的切割线定理。
好题速递265题
已知为双曲线上经过原点的一条动弦,为圆上的一个动点,则的最大值为。
解法1(普通方法)设,满足;
设,满足
,,
因此
,
因此的最大值为
解法2(借助于极化恒等式)如图所示,为的中点,
由极化恒等式可得,
而,,
因此的最大值为
好题速递266题
在平面直角坐标系中,是轴正半轴上的两个动点,(异于原点)为轴上一个定点,若以为直径的圆与圆相外切,且的大小为定值,则.
解设以为直径的圆的圆心为,半径为,则可设
由两圆相外切得
而,
因为是定值,所以为常数,所以
好题速递267题
已知等比数列的比,其前项和为,若,则的最小值为.
解法1从等比数列的基本量入手
由得,得
所以
令,则
当且仅当时取得等号。
解法2从等比数列的性质入手
因为等比数列有性质
将代入,得
又因为得,即,因为,所以
所以,当且仅当时取得等号。
好题速递268题
已知,点,过原点的直线(不与轴重合)与交于两点,则的外接圆的面积的最小值为.
解,要求外接圆的面积的最小值,即求的最小值,即求的最大值
设,
,
由极化恒等式知
故
故
所以,所以,
好题速递269题
已知数列的前项和分别为,记,若,,则数列的前an,b+bn)
好题速递275题
若X是一个非空集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足
①X、;
②对于X的任意子集A、B,当A且B时,有A∪B;
③对于X的任意子集A、B,当A且B时,有A∩B;
则称是集合X的一个“集合类”
例如是集合的一个“集合类”已知集合,则所有含的“集合类”的个数为.
解的子集有8个,为,,,,,,,
中必含、、,另5个元素,,,,再分配。
注意到∩=,∩=,∩=,
故若在中,则也在中,
若在中,则也在中,
若与在中,则也必在中
故对这5个元素在中的搭配情况进行分类
①5个都不取,即=,1个;
②从、、中各取一个充入,有3个;
③从、、中各取一个充入,有3个;
④从、、、中各取一个充入,有4个;
⑤把充入,有1个;
故共有12个
好题速递276题
设是非零向量,且,,则的最大值是.
解法一(代数角度运算)令,,则
题目简化为,,求的最大值
,故
解法二(几何角度)画出,的几何图形,即,,问题变为的两边分别为1和2,求中线的长度的最大值。
(即构造平行四边形,发现三角形两边之和大于第三边,当构不成三角形时取得等号),故
解法三(坐标角度)将画成如图形状,则点在以为圆心,1为半径的圆上运动,再求中线的最大值。
本题还可以建系设点做,设,,,
则
即
点评本题是一个向量的好题,妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。
一般地,向量模长问题,平方就是代数运算,不平方是几何意义,必要时活用坐标建系。
好题速递277题
(须凌峰供题)在,,以为一边向外作等边,若,,则.
解注意到又是求向量系数之和,故可以用三点共线做。
如图,延长与交于
则,且
故
设,,,
则,
即,
即是等腰直角三角形,故,
所以,故
故
点评本题入手是由三点共线,在处理的过程中利用三倍角的正切式处理条中的二倍角关系,不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定是等腰直角三角形。
好题速递278题
(须凌峰供题)已知,则.
解法一代数方法
由得
故
解法二几何方法
由可以画出如右图的
其中两条中线垂直,即,且为的中位线。
注意到点恰好是的重心,所以连结交于,则是的中点,即
故
又因为为直角三角形,故,所以
又是的重心,所以,为的中位线,所以
所以
好题速递279题
(赖尚毅供题)正方体棱长为1,为棱的中点,则三棱锥的体积.
解法一等体积转换
如图1,,故,
故
再如图2,取的四等分点,则
故,
解法二作面的延伸
本方法的初衷就是利用两个三棱锥的体积成比例,求出容易求的三棱锥体积,从而利用比例进行转化。
注意到三棱锥与三棱锥是共底面的,所以它们的体积之比就是到的距离与到的距离之比()。
如图,作与的延长线交于,连结交于
易得,故,故
而
所以
好题速递280题
已知椭圆和圆,椭圆的左右焦点分别为,过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点,若,则.
解先处理焦点三角形,设,则
解得
又
因为,
故
所以
好题速递281题
(1-cst=cst-1cst=
∵t[0,),∴t=,∴④是
概率趣题
有一个游戏,要求若某次随机地投掷出手中的骰子后有2颗骰子的点数之和为7,则获胜.现在手中恰好有2颗骰子,但有两种奖励可以领取,请问选择哪种奖励获胜的几率大?
奖励A,额外的2次投掷机会;
奖励B,额外的1颗骰子(即三颗骰子中任意两颗骰子点数之和为7即获胜).
解选择奖励A
一次掷2颗骰子,那么获胜的概率为.于是,那么掷三次骰子获胜的概率为
选择奖励B
点数之和为7有三种可能1+6,2+5,3+4.
若掷出的三个骰子点数分别为1,6,,那么若,则有种可能;
若,则有种.类似可得其他两种情况(2,5,和3,4,)的可能数,因此获胜的概率为
综上,选择奖励A获胜的几率大.
5
c
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