上海市南模中学学年高二下学期开学考数学试题Word文档下载推荐.docx
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5.不共面的四点最多可以确定平面的个数为_________.
6.若直线l的倾斜角为
,则直线l的斜率为________.
7.若
________.
8.设直线
过定点
,则点
的坐标为________.
9.若一圆柱的侧面积为
,则经过圆柱的轴的截面积为______
10.已知数列
中,
,若
为等差数列,则
11.已知A、B是随机事件,则下列结论中正确的有________(填写序号)
①若A、B是互斥事件,则
;
②若事件A、B相互独立,则
③若A、B是对立事件,则A、B是互斥事件;
④事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率.
12.已知直线l经过直线
:
和
的交点,且垂直于直线
,则直线l的方程是________.
13.已知直线
.若
时,则直线
与
之间的距离________.
14.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若
,则当Tn取最大值时,n的值为_____.
15.已知MN是长方体外接球的一条直径,点P在长方体表面上运动,长方体的棱长分别为1、1、
的取值范围为________.
三、概念填空
16.若直线l的方向向量
,平面
的法向量
,则直线l与平面
的位置关系是__________________.
四、解答题
17.某学校
名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:
.
(1)求图中
的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这
名学生语文成绩的平均分、中位数(保留两位小数).
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(
)与数学成绩相应分数段的人数(
)之比如下表所示,求数学成绩在
之外的人数.
分数段
18.已知空间中三点
、
,设
(1)若
,且
,求向量
(2)求以
为一组邻边的平行四边形的面积S.
19.流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据统计,11月1日该市的新感染者有30人,以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从11月
日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
,求11月1日至11月10日新感染者总人数;
(2)若到11月30日止,该市在这30天内的新感染者总人数为11940人,问11月几日,该市新感染者人数最多?
并求这一天的新感染者人数.
20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=
,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(1)求证:
PO⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
?
若存在,求出
若不存在,请说明理由.
21.若数列
满足:
对任意
,都有
则称
为“紧密”数列.
(1)设某个数列为“紧密”数列,其前
项依次为
,求
的取值范围;
(2)若数列
的前项和
,判断
是否为“紧密”数列,并说明理由;
(3)设
是公比为
的等比数列,前
项和为
均为“紧密”数列,求实数
的取值范围.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
根据点与线、点与面、线与面关系的集合表示方法,结合排除法,可得正确选项.
【详解】
由点线、点面关系用
表示,线面关系用
表示,排除A、C、D;
故选:
B
2.B
根据空间向量的共面定理求解.
因为
所以
即
所以四点
共面.
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理,属于基础题.
3.D
利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.
若
为等比数列,则
成等比数列,即
是等方比数列,故必要性满足;
是等方比数列,即
成等比数列,则
不一定为等比数列,例如
,充分性不满足.
D
4.A
求出
推出周期为4,即可求得前820项的和.
由已知得:
所以数列
是周期为
的数列,
.
A
5.4个
不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况,由于不共线的三个点确定一个平面,从而可以得出结果.
解:
不共线的三个点确定一个平面,
不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况.
从
个点中任取
个点都可以确定一个平面,共有
种结果.
故答案为
个
本题考查平面的基本性质及推论,考查不共线的三点可以确定一个平面,考查组合数的应用,本题是一个基础题.
6.
利用直线的斜率结合倾斜角即可求出结果.
因为直线l的倾斜角为
故答案为:
7.
根据题意,得到
,即可求解.
由
,可得
8.
化简直线方程为
,联立方程组
由直线方程
,可化简为
又由
,解得
即直线恒经过定点
9.6
根据圆柱的侧面积公式得关系式,再根据圆柱的轴的截面积求结果.
设圆柱的底面面积半径为
,高为
,即
因此圆柱的轴的截面积为
6
本题考查圆柱的侧面积与轴截面积,考查基本分析求解能力,属基础题.
10.0
求出等差数列的公差,由等差数列的通项公式即可求出.
为等差数列,
,
解得
11.③④##④③
利用互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质分析判断
对于①,若A、B是互斥事件,则
,所以①错误,
对于②,若事件A、B相互独立,则
,而当A、B是互斥事件时,
,所以②错误,
对于③,若A、B是对立事件,则A、B一定是互斥事件,所以③正确,
对于④,因为事件A、B至少有一个发生包含A、B恰好有一个发生和A、B同时发生两种情况,所以事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率,所以④正确,
③④
12.
先求直线
的交点,垂直于
的直线的斜率为
,最后根据点斜式写出
的直线方程.
解方程组
得
∴
的交点为
的斜率为
∴所求直线
的方程为
13.
根据两直线平行的等价条件求出
的值,再由两平行线间的距离公式即可求解.
因为直线
可得
,解得:
所以直线
之间的距离为
14.4
设等比数列{an}的公比为
,求得
,得到
,进而利用指数函数的性质,即可判定,得到答案.
则
当Tn取最大值时,可得n为偶数,函数
在R上递减,
当
,且n为偶数时,
故当
时,Tn取最大值.
本题主要考查了等比数列的通项公式,以及等差数列求和公式的应用,其中解答中根据等比数列的通项公式求得公比,进而利用等差数列的求和公式,得到
的表达式,结合指数函数的单调性求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
15.
建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积求解即可.
因为MN是长方体外接球的一条直径,长方体的棱长分别为1、1、
,如图,
设
时取等号,此时点P在ABCD平面内,
又
时取等号,此时点P在ABCD平面内.
即所求的范围是
16.
略
17.
(1)
(2)平均分为
中位数为
(3)
人.
(1)由频率和为
可构造方程求得结果;
(2)根据频率分布直方图估计平均数和中位数的方法直接计算可得结果;
(3)根据比例关系分别计算出数学成绩在
的人数,由此可计算得到结果.
(1)由频率分布直方图得:
设中位数为
(3)数学成绩在
的人数为:
人;
数学成绩在
之外的人数为:
18.
(1)
或
(2)3
(1)首先求出
的坐标,由
,可设
,利用
,求出参数的值,即可求出结果.
(2)求出
,
,再由同角三角函数的基本关系求出
,最后由面积公式求解.
(1)
(2)
19.
(1)
(2)11月13日新感染者人数最多为630人.
(1)根据题意数列
是等差数列,
,公差为
,又
,进而根据等差数列前
项和公式求解即可;
(2)11月
日新感染者人数最多,则当
时,
,当
,进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.
(1)记11月
日新感染者人数为
则数列
则11月1日至11月10日新感染者总人数为:
(2)记11月
11月
日新感染者人数最多,当
因为这30天内的新感染者总人数为11940人,
(舍),
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
本题考查等差数列的应用,考查数学运算能力,数学建模能力,是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型,当
,进而求和解方程.
20.
(1)证明见解析;
(3)存在,
试题分析:
(1)根据线面垂直的判定定理可知,只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可;
(2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可;
(3)利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD,即可得出结论.
(1)证明:
在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(2)解:
连接BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,
所以OB∥DC.
由
(1)知PO⊥OB,∠PBO为锐角,
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=
在Rt△POA中,因为AP=
,AO=1,所以OP=1,
在Rt△PBO中,PB=
,所以cos∠PBO=
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
(3)解:
假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
设QD=x,则S△DQC=
x,由
(2)得CD=OB=
在Rt△POC中,PC=
所以PC=CD=DP,S△PCD=
=
由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD,得x=
,所以存在点Q满足题意,此时
考点:
点、线、面间的距离计算;
异面直线及其所成的角;
直线与平面垂直的判定.
21.
(1)
是“紧密”数列,理由见详解;
(1)根据题意,得到
,求解,即可得出结果;
(2)根据
,求出
,计算
的范围,即可得出结论;
(3)先讨论
,易得满足题意;
再讨论
,根据
为“紧密”数列,得到
,分别根据这两种情况,计算
的范围,即可得出结果.
(1)若数列
为“紧密”数列,则
的取值范围为
(2)数列
为“紧密”数列;
理由如下:
数列
因此
所以对任意
因此数列
(3)因为数列
时,有
,满足题意;
,因为
为“紧密”数列,
,满足
,不满足
综上,实数
的取值范围是
本题主要考查等差数列与等比数列的综合,熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.
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- 上海市 中学 学年 下学 开学 数学试题