动量和能量-练习题--共74题Word文件下载.doc
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(2)设A、B第一次碰撞后的速度分别为v1、v2,取方向水平向右为正,对A、B两球组成的系统,有
解得,方向水平向左;
,方向水平向右.
设第一次碰撞刚结束时轨道对B球的支持力为N,方向竖直向上为正,则
,B球对轨道的压力
,方向竖直向下.
(3)设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2,取方向水平向右为正,则
解得V1=-,V2=0.(另一组解V1=-v1,V2=-v2不合题意,舍去)
由此可得:
当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;
当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.
13.(2006年·
江苏)如图所示,质量均为m的A、B两个弹性小球,用长为2l的不可伸长的轻绳连接.现把A、B两球置于距地面高H处(H足够大),艰巨为l.当A球自由下落的同时,B球以速度v0指向A球水平抛出间距为l.当A球自由下落的同时,B球以速度v0指向A球水平抛出.求:
(1)两球从开始运动到相碰,A球下落的高度.
(2)A、B两球碰撞(碰撞时无机械能损失)后,各自速度的
水平分量.
(3)轻绳拉直过程中,B球受到绳子拉力的冲量大小.
(2);
(3)
(1)设到两球相碰时A球下落的高度为h,由平抛运动规
律得
①
②
联立①②得 ③
(2)A、B两球碰撞过程中,由水平方向动量守恒,得
④
由机械能守恒定律,得
⑤
式中
联立④⑤解得
(3)轻绳拉直后,两球具有相同的水平速度,设为vBx,,由水平方向动量守恒,得
由动量定理得
14.(2005年·
广东)如图所示,两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上,它们的间距s=2.88m.质量为2m,大小可忽略的物块C置于A板的左端.C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22,A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10,最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力.开始时,三个物体处于静止状态.现给C施加一个水平向右,大小为的恒力F,假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起,要使C最终不脱离木板,每块木板的长度至少应为多少?
A
C
B
F
s
【答案】0.3m
设A、C之间的滑动摩擦力大小f1,A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2
,则
且
说明一开始A和C保持相对静止,在F的作用下向右加速运动,有
A、B两木板的碰撞瞬间,内力的冲量远大于外力的冲量,由动量守恒定律得:
mv1=(m+m)v2
碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中,设木板向前移动的位移s1,选三个物体构成的整体为研究对象,外力之和为零,则
2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3
设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3,则A、B系统,由动能定理:
对C物体,由动能定理得
联立以上各式,再代入数据可得l=0.3m.
15.(2005年·
全国理综Ⅱ)质量为M的小物块A静止在离地面高h的水平桌面的边缘,质量为m的小物块B沿桌面向A运动并以速度v0与之发生正碰(碰撞时间极短).碰后A离开桌面,其落地点离出发点的水平距离为L.碰后B反向运动.求B后退的距离.已知B与桌面间的动摩擦因数为μ.重力加速度为g.
设t为A从离开桌面至落地经历的时间,V表示刚碰后A的速度,有
L=Vt ②
设v为刚碰后B的速度的大小,由动量守恒,mv0=MV-mv ③
设B后退的距离为l,由功能关系, ④
由以上各式得 ⑤
16.(2005年·
全国理综Ⅲ)如图所示,一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆,当摆到最低点B时,女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出,然后自己刚好能回到高处A.求男演员落地点C与O点的水平距离s.已知男演员质量m1和女演员质量m2之比,秋千的质量不计,秋千的摆长为R,C点比O点低5R.
【答案】8R
设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为vB,由机械能守恒定律,得
设刚分离时男演员速度的大小为v1,方向与v0相同;
女演员速度的大小为v2,方向与v0相反,由动量守恒:
(m1+m2)v0=m1v1-m2v2
分离后,男演员做平抛运动,设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t,根据题给条件,从运动学规律,
根据题给条件,女演员刚好回到A点,由机械能守恒定律得
已知m1=2m2,由以上各式可得s=8R
L
17.(2005年·
天津理综)如图所示,质量mA为4.0kg的木板A放在水平面C上,木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24,木板右端放着质量mB为1.0kg的小物块B(视为质点),它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的12N·
s的瞬时冲量I作用开始运动,当小物块滑离木板时,木板的动能EkA为8.0J,小物块的动能EkB为0.50J,重力加速度取10m/s2,求:
(1)瞬时冲量作用结束时木板的速度v0;
(2)木板的长度L.
【答案】0.50m
(1)设水平向右为正方向,有I=mAv0 ①
代入数据得v0=3.0m/s ②
(2)设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为FAB、FBA和FCA,B在A滑行的时间为t,B离开A时A和B的速度分别为vA和vB,有
-(FBA+FCA)t=mAvA-mAvA ③
FABt=mBvB ④
其中FAB=FBAFCA=μ(mA+mB)g ⑤
设A、B相对于C的位移大小分别为sA和sB,
有 ⑥
FABsB=EkB ⑦
动量与动能之间的关系为 ⑧
⑨
木板A的长度L=sA-sB ⑩
代入数据解得L=0.50m
18.(2005年·
北京春招)下雪天,卡车在笔直的高速公路上匀速行驶.司机突然发现前方停着一辆故障车,他将刹车踩到底,车轮被抱死,但卡车仍向前滑行,并撞上故障车,且推着它共同滑行了一段距离l后停下.事故发生后,经测量,卡车刹车时与故障车距离为L,撞车后共同滑行的距离.假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同.已知卡车质量M为故障车质量m的4倍.
(1)设卡车与故障车相撞前的速度为v1,两车相撞后的速度变为v2,求;
(2)卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施,事故就能免于发生.
(1)由碰撞过程动量守恒Mv1=(M+m)v2 ①
则
(2)设卡车刹车前速度为v0,轮胎与雪地之间的动摩擦因数为μ
两车相撞前卡车动能变化 ②
碰撞后两车共同向前滑动,动能变化 ③
由②式得v02-v12=2μgL
由③式得v22=2μgL
又因
如果卡车滑到故障车前就停止,由 ④
故
这意味着卡车司机在距故障车至少处紧急刹车,事故就能够免于发生.
19.(2004年·
广东)如图所示,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块B相连,B静止在水平导轨上,弹簧处在原长状态,另一质量与B相同的滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行,当A滑过距离L1时,与B相碰,碰撞时间极短,碰后A、B紧贴在一起运动,但互不粘连,已知最后A恰好返回出发点P并停止.滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ,运动过程中弹簧最大形变量为L2,求A从P出发时的初速度v0.
令A、B质量均为m,A刚接触B时速度为v1(碰前),由动能关系,有
A、B碰撞过程中动量守恒,令碰后A、B共同运动的速度为v2,有mv1=mv2
碰后A、B先一起向左运动,接着A、B一起被弹回,在弹簧恢复到原长时,设A、B的共同速度为v3,在这过程中,弹簧势能始末两态都为零.
此后A、B开始分离,A单独向右滑到P点停下,由功能关系有
由以上各式解得
20.(2004年·
全国理综Ⅱ)柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成,气缸与活塞间有柴油与空气的混合物.在重锤与桩碰撞的过程中,通过压缩使混合物燃烧,产生高温高压气体,从而使桩向下运动,锤向上运动.现把柴油打桩机和打桩过程简化如下:
(a)
(b)
柴油打桩机重锤的质量为m,锤在桩帽以上高度为h处如图(a)从静止开始沿竖直轨道自由落下,打在质量为M(包括桩帽)的钢筋混凝土桩子上.同时,柴油燃烧,产生猛烈推力,锤和桩分离,这一过程的时间极短.随后,桩在泥土中向下移动一距离l.已知锤反跳后到达最高点时,锤与已停下的桩帽之间的距离也为h如图(b).已知m1=1.0×
103kg,M=2.0×
103kg,h=2.0m,l=0.2m,重力加速度g=10m/s2,混合物的质量不计.设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力,求此力的大小.
【答案】2.1×
105N
考察锤m和桩M组成的系统,在碰撞过程中动量守恒(因碰撞时间极短,内力远大于外力),选取竖直向下为正方向,则mv1=Mv-mv2
其中
碰撞后,桩M以初速v向下运动,直到下移距离l时速度减为零,此过程中,根据动能定理,有
由上各式解得
代入数据解得F=2.1×
21.(2004年·
全国理综Ⅲ)如图所示,长木板ab的b端固定一挡板,木板连同档板的质量为M=4.0kg,a、b间距离s=2.0m.木板位于光滑水平面上.在木板a端有一小物块,其质量m=1.0kg,小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10,它们都处于静止状态.现令小物块以初速v0=4.0m/s沿木板向前滑动,直到和挡板相碰.碰撞后,小物块恰好回到a端而不脱离木板.求碰撞过程中损失的机械能.
【答案】2.4J
设木块和物块最后共同的速度为v,由动量守恒定律得
①
设全过程损失的机械能为E,则
②
用s1表示从物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移,W1表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功.用W2表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用s2表示从碰撞后瞬间到物块回到a端时木板的位移,W3表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功.用W4表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用W表示在全过程中摩擦力做的总功,则
W1= ③
W2= ④
W3= ⑤
W4= ⑥
W=W1+W2+W3+W4 ⑦
用E1表示在碰撞过程中损失的机械能,则
E1=E-W ⑧
由①~⑧式解得
⑨
代入数据得E1=2.4J ⑩
22.(2004年·
全国理综Ⅳ)如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C.重物A(视为质点)位于B的右端,A、B、C的质量相等.现A和B以同一速度滑向静止的C、B与C发生正碰.碰后B和C粘在一起运动,A在C上滑行,A与C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.试问:
从B、C发生正碰到A刚移到C右端期间,C所走过的距离是C板长度的多少倍.
设A、B、C的质量均为m.碰撞前,A与B的共同速度为v0,碰撞后B与C的共同速度为v1.对B、C,由动量守恒定律得
mv0=2mv1 ①
设A滑至C的右端时,三者的共同速度为v2.对A、B、C,由动量守恒定律得
2mv0=3mv2 ②
设A与C的动摩擦因数为μ,从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为s,对B、C由功能关系 ③
设C的长度为l,对A,由功能关系
④
由以上各式解得 ⑤
23.(2004年·
天津)质量m=1.5kg的物块(可视为质点)在水平恒力F作用下,从水平面上A点由静止开始运动,运动一段距离撤去该力,物块继续滑行t=2.0s停在B点,已知A、B两点间的距离s=5.0m,物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.20,求恒力F多大.(g=10m/s2).
【答案】15N
设撤去力F前物块的位移为s1,撤去力F时物块速度为v.
物块受到的滑动摩擦力F1=μmg
撤去力F后,由动量定理得-F1t=-mv
由运动学公式得s-s1=vt/2
全过程应用动能定理得Fs1-F1s=0
由以上各式得
代入数据得F=15N
24.(2003年·
江苏)如图(a)所示,为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳,下端拴一小物块A,上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连.已知有一质量为m0的子弹B沿水平方向以速度v0射入A内(未穿透),接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动.在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t变化关系如图(b)所示,已知子弹射入的时间极短,且图(b)中t=0为A、B开始以相同的速度运动的时刻.根据力学规律和题中(包括图)提供的信息,对反映悬挂系统本身性质的物理量(例如A的质量)及A、B一起运动过程中的守恒量,你能求得哪些定量的结果?
【答案】;
;
由图2可直接看出,A、B一起做周期性运动,运动的周期T=2t0 ①
令表示A的质量,表示绳长.表示B陷入A内时即时A、B的速度(即圆周运动最低点的速度),表示运动到最高点时的速度,F1表示运动到最低点时绳的拉力,F2表示运动到最高点时绳的拉力,根据动量守恒定律,得
在最低点和最高点处应用牛顿定律可得 ③
根据机械能守恒定律可得
⑤
由图2可知 ⑥ ⑦
由以上各式可解得,反映系统性质的物理量是
⑧ ⑨
A、B一起运动过程中的守恒量是机械能E,若以最低点为势能的零点,则
⑩由②⑧⑩式解得
25.(2003年·
江苏)
(1)如图(a),在光滑水平长直轨道上,放着一个静止的弹簧振子,它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成,两小球质量相等.现突然给左端小球一个向右的速度μ0,求弹簧第一次恢复到自然长度时,每个小球的速度.
(2)如图(b),将N个这样的振子放在该轨道上,最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定,静止在适当位置上,这时它的弹性势能为E0.其余各振子间都有一定的距离,现解除对振子1的锁定,任其自由运动,当它第一次恢复到自然长度时,刚好与振子2碰撞,此后,继续发生一系列碰撞,每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都发生后,每个振子弹性势能的最大值.已知本题中两球发生碰撞时,速度交换,即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.
(1)设每个小球质量为,以、分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度.由动量守恒和能量守恒定律有
(以向右为速度正方向)
,解得
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中,弹簧一直是压缩状态,弹性力使左端小球持续减速,使右端小球持续加速,因此应该取解:
(2)以v1、v1’分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度,规定向右为速度的正方向,由动量守恒和能量守恒定律,mv1+mv1’=0
,解得.
在这一过程中,弹簧一直是压缩状态,弹性力使左端小球向左加速,右端小球向右加速,故应取解:
振子1与振子2碰撞后,由于交换速度,振子1右端小球速度变为0,左端小球速度仍为,此后两小球都向左运动,当它们向左的速度相同时,弹簧被拉伸至最长,弹性势能最大,设此速度为,根据动量守恒定律,有
用E1表示最大弹性势能,由能量守恒有
26.(2003年·
全国理综)一传送带装置示意如图,其中传送带经过AB区域时是水平的,经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成,未画出),经过CD区域时是倾斜的,AB和CD都与BC相切.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上,放置时初速为零,经传送带运送到D处,D和A的高度差为h,稳定工作时传送带速度不变,CD段上各箱等距排列,相邻两箱的距离为L,每个箱子在A处投放后,在到达B之前已经相对于传送带静止,且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动).已知在一段相当长的时间T内,共运送小货箱的数目为N.这装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦.求电动机的平均输出功率.
【答案】[+gh]
以地面为参考系(下同),设传送带的运动速度为v0,在水平段运输的过程中,小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动,设这段路程为s,所用时间为t,加速度为a,则对小箱有
s=1/2at2 ①
v0=at ②
在这段时间内,传送带运动的路程为
s0=v0t ③
由以上可得
s0=2s ④
用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力,则传送带对小箱做功为
A=fs=1/2mv02 ⑤
传送带克服小箱对它的摩擦力做功
A0=fs0=2·
1/2mv02 ⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量
Q=1/2mv02 ⑦
可见,在小箱加速运动过程中,小箱获得的动能与发热量相等.
T时间内,电动机输出的功为
W=T ⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即
W=1/2Nmv02+Nmgh+NQ ⑨
已知相邻两小箱的距离为L,所以
v0T=NL ⑩
联立⑦⑧⑨⑩解得=[+gh]
27.(2000年·
全国)在原子核物理中,研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球A和B用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P,右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球,如图所示.C与B发生碰撞并立即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变.然后,A球与挡板P发生碰撞,碰后A、D都静止不动,A与P接触而不粘连.过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失).已知A、B、C三球的质量均为m.求:
(1)弹簧长度刚被锁定后A球的速度;
(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能.
(1)设C球与B球粘结成D时,D的速度为v1,由动量守恒,有
当弹簧压至最短时,D与A的速度相等,设此速度为v2,由动量守恒,有
②
由①②两式解得 ③
(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为Ep,由能量守恒,有
④
撞击P后,A与D的动能都为零,解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转变成D的动能,设D的速度为v3,则有
以后弹簧伸长,A球离开挡板P,并获得速度.当A、D的速度相等时,弹簧伸至最长.设此时的速度为v4,由动量守恒,有
⑥
当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为,由能量守恒,有
⑦
由以上各式解得 ⑧
28.(1998年·
全国)一段凹槽A倒扣在水平长木板C上,槽内有一小物块B,它到槽两侧的距离均为l/2,如图所示.木板位于光滑水平的桌面上,槽与木板间的摩擦不计,小物块与木板间的摩擦系数为μ.A、B、C三者质量相等,原来都静止.现使槽A以大小为v0的初速向右运动,已知当A和B发生碰撞时,两者速度互换.求:
(1)从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内,木板C运动的路程;
(2)在A、B刚要发生第四次碰撞时,A、B、C三者速度的大小.
(2),
(1)A与B刚发生第一次碰撞后,A停下不动,B以初速v0向右运动.由于摩擦,B向右作匀减速运动,而C向右作匀加速运动,两者速率逐渐接近.设B、C达到相同速度v1时B移动的路程为s1.设A、B、C质量皆为m,由动量守恒定律,得
Mv0=2mv1 ①
由功能关系,得
由①得
代入②式得
根据条件得 ③
可见,在B、C达到相同速度v1时,B尚未与A发生第二次碰撞.B与C一起将以v1向右匀速运动一段距离(l-s1)后才与A发生第二次碰撞.设C的速度从零变到v1的过程中,C的路程为s2.由功能关系,得
因此在第一次到第二次碰撞间C的路程为
(2)由上面讨论可知,在刚要发生第二次碰撞时,A静止,B、C的速度均为v1.刚碰撞后,B静止,A、C的速度均为v1.由于摩擦,B将加速,C将减速,直至达到相同速度v2.由动量守恒定律,得
Mv1=2mv2 ⑥
因A的速度v1大于B的速度v2,故第三次碰撞发生在A的左壁.刚碰撞后,A的速度变为v2,B的速度变为v1,C的速度仍为v2.由于摩擦,B减速,C加速,直至达到相同速度v3.由动量守恒定律,得
Mv1+mv2=2mv3 ⑦
故刚要发生第四次碰撞时,A、B、C的速度分别为
⑧
⑨
29.(1997年·
全国)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上.平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量也为m时,它们恰能回到O点.若物块质量为2m,仍从A处自由落下,则物块与钢板回到O点时,还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.
物块自由下落3x0的过程中,由机械能守恒定律得
物块与钢板碰撞,由动量守恒定律得
设刚碰完时弹性势能为,根据机械能守恒定律
③
设质量为2m的物块与钢板碰后一起向下运动的速度为v2,则
由机械能守恒定律得
以上两种情况下,弹簧的初始压缩量都为x0,故有
物体从O点再向上以初速v做竖直上抛运动.到达的最高点与O点的距离
⑦
30.(1996年·
全国)一质量为M的长木板静止
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