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第五章线性方程组
4.1线性方程组形式
4.2线性方程组解性质
4.3线性方程组解状况鉴别
4.4齐次线性方程组基本解系线性方程组通解分析
第六章n阶矩阵特性向量和特性值
5.1特性向量和特性值
基本比较好考生可不必看这某些内容,或者只用本某些习题对自己进行一次测试.
1.矩阵
矩阵是描写事物形态数量形式发展.
由m⨯n个数排列成一种m行n列表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一种m⨯n型矩阵.这些数称为它元素,位于第i行第j列数称为(i,j)位元素.
元素全为0矩阵称为零矩阵,普通就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它行数相等,列数也相等(即它们类型相似),并且相应元素都相等.
(2)线性运算和转置
加(减)法:
两个m⨯n矩阵A和B可以相加(减),得到和(差)仍是m⨯n矩阵,记作
A+B(A-B),法则为相应元素相加(减).
数乘:
一种m⨯n矩阵A与应当数c可以相乘,乘积仍为m⨯n矩阵,记作cA,法则为A每个元素乘c.
这两种运算统称为先性运算,它们满足如下规律:
加法互换律:
A+B=B+A.
加法结合律:
(A+B)+C=A+(B+C).
加乘分派律:
c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.
数乘结合律:
c(d)A=(cd)A.
cA=0⇔c=0或A=0.
转置:
把一种m⨯n矩阵A行和列互换,得到n⨯m矩阵称为A转置,记作AT(或A'
).
有如下规律:
(AT)T=A.
(A+B)T=AT+BT.
(cA)T=(cA)T.
(3)n阶矩阵几种特殊矩阵
行数和列数相等矩阵称为方阵,行列数都为n矩阵也经常叫做n阶矩阵.
n阶矩阵A相应行列式记作|A|,称为A行列式.
把n阶矩阵从左上到右下对角线称为它主对角线.(其上运算行列号相等.)
下面列出几类惯用n阶矩阵,它们但是考试大纲中规定掌握.
对角矩阵:
主对角线外元素都为0n阶矩阵.
单位矩阵:
主对角线外元素都为1对角矩阵,记作E(或I).
数量矩阵:
主对角线外元素都等于一种常数c对角矩阵,它就是cE.
上(下)三角矩阵:
主对角线下(上)元素都为0n阶矩阵.
对称矩阵:
满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位元素和(j,i)位元素总是相等n阶矩阵.
反对称矩阵:
满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位元素和(j,i)位元素之和总等于0n阶矩阵.反对称矩阵对角线上元素一定都是0.
(4)矩阵初等变换和阶梯形矩阵
矩阵初等行变换有如下三种:
互换两行上下位置.
用一种非0常数乘某一行各元素.
把某一行倍数加到另一行上.
类似地,矩阵尚有三种初等列变换,人们可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.
阶梯形矩阵:
一种矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
如果它有零行,则都出当前下面.
每个非零行第一种非0元素所在列号自上而下严格单调递增.
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数各类计算题中频繁运用基本运算,必要十分纯熟.
向量是另一种描述事物形态数量形式.
由n个数构成有序数组称为一种n维向量,称这些数为它分量.
书写中可用矩阵形式来表达向量,例如分量依次是a1,a2,⋯,an向量可表达到
a1
(a1,a2,⋯,an)或a2,
┆
an
请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不同样(左边是1⨯n矩阵,右边n⨯1是矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵行向量和列向量区别.
一种m⨯n矩阵每一行是一种n维向量,称为它行向量;
每一列是一种m维向量,称为它列向量.常惯用矩阵列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A列向量组为α1,α2,⋯,αn时(它们都是表达为列形式!
)可记A=(α1,α2,⋯,αn).
矩阵许多概念也可对向量来规定,如向量相等,零向量等等.这里从略.
(2)线性运算和线性组合
向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全同样运算规律,这里也不来复述了.
向量组线性组合:
设α1,α2,⋯,αs是一组n维向量,c1,c2,⋯,cs是一组数,则称
c1α1+c2α2+⋯,+csαs为
α1,α2,⋯,αs(以c1,c2,⋯,cs为系数)线性组合.它也是n维向量.
(1)基本概念
线性方程组普通形式为:
a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,
⋯⋯⋯⋯
am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,
其中未知数个数n和方程式个数m不必相等.分别称矩阵
a11a12⋯a1na11a12⋯a1nb1
A=a21a22⋯a2n和(A|β)=a21a22⋯a2nb2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
am1am2⋯amnam1am2⋯amnbm
为方程组系数矩阵和增广矩阵.
如果b1=b2=⋯=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一种非齐次线性方程组每个方程常数项都换成0,所得到齐次线性方程组称为原方程组导出齐次线性方程组,简称导出组.
线性方程组解是一种n维向量(k1,k2,⋯,kn),它满足:
当每个方程中未知数xi都用ki代替时都成为等式.
线性方程组解状况有三种:
无解,唯一解,无穷多解.
n维零向量总是齐次线性方程组解,因而齐次线性方程组解状况只有两种:
唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
(2)同解变换与矩阵消元法
线性方程组同解变换有三种:
互换两个方程上下位置.
用一种非0常数乘某个方程.
把某方程倍数加到另一方程上.
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.
线性方程组基本求解办法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:
写出方程组增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表阶梯形方程组(它是原方程组同解方程组),用它求解.
1.形式和意义
形式:
用n2个数排列成一种n行n列表格,两边界以竖线,就成为一种n阶行列式.
如果行列式列向量组为α1,α2,⋯,αn,则此行列式可表达为|α1,α2,⋯,αn|.
意义:
是一种算式,把n2个元素按照一定法则进行运算,得到数值称为这个行列式值.
请注意行列式和矩阵在形式和意义上区别.
当两个行列式值相等时,就可以在它们之间写等号!
(不必形式同样,甚至阶数可不同.)
每个n阶矩阵A相应一种n阶行列式,记作|A|.
2.定义(完全展开式)
2阶和3阶行列式计算公式:
a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.
a11a12a13
a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32+a12a21a33.
a31a32a33
普通地,一种n阶行列式
a11a12⋯a1n
a21a22⋯a2n
⋯⋯⋯
an1an2⋯ann
值是许多项代数和,每一项都是取自不同行,不同列n个元素乘积,其普通形式为:
这里把相乘n个元素按照行标大小顺序排列,它们列标j1j2⋯jn构成1,2,⋯,n一种全排列(称为一种n元排列),一共有n!
个n元排列,每个n元排列相应一项,因而共有n!
个项..
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j1j2⋯jn)为全排列j1j2⋯jn逆序数(即小数排列在大数背面现象浮现个数,例如6元排列231645有4个逆序:
21,31,64,65,因
而τ(231645)=4),则所乘是
于是
a21a22⋯a2n=
an1an2⋯ann
这里
表达对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式完全展开式.
3.性质
行列式有如下性质:
把行列式转置值不变,即|AT|=|A|.
某一行(列)公因子可提出.
对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式该行(列)向量α换为β或γ所得到行列式.
把两个行(列)向量互换,行列式值变号.
如果一种行(列)向量是另一种行(列)向量倍数,则行列式值为0.
如果把一种行(列)向量倍数加到另一种行(列)向量上,则行列式值不变.
把n阶行列式第i行和第j列划去后所得到n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为aij代数余子式.
行列式可对某一行(列)展开,即行列式值等于该行(列)各元素与其代数余子式乘积之和.
某一行(列)各元素与另一行(列)相应元素代数余子式乘积之和=0.
如果A与B都是方阵(不必同阶),则
A*=AO=|A|+|B|.
OB*B
范德蒙行列式:
形如
111⋯1
a1a2a3⋯an
a12a22a32⋯an2
⋯⋯⋯
a1n-ia2n-ia3n-i⋯ann-i
行列式(或其转置).它由a1,a2,a3,⋯,an所决定,它值等于
因而范德蒙行列式不等于0⇔a1,a2,a3,⋯,an两两不同.
4.计算
行列式核心问题是值计算.
(1)用完全展开式求行列式值普通来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才也许用它作行列式计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式值就等于主对角线上元素乘积,由于其他项都为0.
(2)化零降阶法:
取定一行(列),先用性质
把这行(列)元素消到只有一种或很少几种不为0,再用
对这行(列)展开.例如设4阶行列式
1111
D=-2x31,
22x4
334x
取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到
1000x+253x-22
D=-2x+253=0x-22=(x+2)1x-3=(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4).
20x-2201x-3
301x-3
(3)运用性质简化计算,重要应用于元素有规律行列式,涉及n阶行列式.
5.克莱姆法则
克莱姆法则当线性方程组方程个数等于未知数个数n(即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D,D2/D,⋯,Dn/D),这里D是系数行列式值,Di是把系数行列式第i个列向量换成常数列向量所得到行列式值.
两点阐明:
按法则给公式来求解计算量太大,没有实用价值.因而法则重要意义在理论上.
(实际求解办法:
对增广矩阵(A|β)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时β变为解.)
法则改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解充分必要条件.
练习题一
1.计算行列式
(1)2aaaa
a2aaa
aa2aa
aaa2a
aaaa2.
(2)14916
491625
9162536
16253649.
2.
(1)a0⋯0b
(2)a10a20
000b10b2
00c10c20
c0⋯0d.0d10d2.
3.计算n阶行列式
(1)123…n-1n
-123…n-1n
-1–23…n-1n
…………
-1–2–3…1-nn.
(2)1-2-2…-2-2(3)123…n(4)1a10…00
22-2…-2-2212…n-1-11-a1a2…00
223…-2-2321…n-20-11-a2…00
……………………………
222…2n.nn-1n-2…1.000…-11-an.
4.设4阶矩阵A=(α,γ1,γ2,γ3),B=(β,γ1,γ2,γ3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.
5.一种三阶行列式值为8,它第二行元素是1,2,a,它们余子式依次为A21=2,A22=-1,A23=1,则a=().
6.x3-31-32x+2
多项式f(x)=-75-2x1,求f(x)次数,最高次项系数和常数项.
X+3-133x2-2
9x36-6
7.x-2x-1x-2x-3
求多项式f(x)=2x-22x-12x-22x-3次数.
3x-33x-24x-53x-5
4x4x-35x-74x-3
8.已知x-3a-14
f(x)=5x-80–2根为x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4.
1bx+11
221x
9.求行列式0100……0所有代数余子式和.
002-10……0
0003-1……0
…………
0000……(n-1)-1
n-1000……0
10.abcd
已知行列式x-1-yz+1代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
1-zx+3y
y-2x+10z+3
参照答案
1.
(1)把各列都加到第1列上,提出公因子.得(4a+2)(a-2)4.
(2)自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.
2.用换行(列)办法.得
(1)(ad-bc)|B|.(3)(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d1).
3.
(1)提示:
把第一行加到其他各行.得2n-1n!
.
(2)第3到n行各减第二行.得(n+2)!
/4.
(3)提示:
自下而上各行减去上行.得(-1)n-12n-2(n+1).
(4)提示:
从第2行起,自上而下各行加上行.得1.
4.得40.
5.得8.
6.最高次只出当前下面划线4个元素乘积一项中,常数项即f(0).得9,6,0.
7.2.
8.提示:
运用特性值性质.得10.
9.提示:
运用随着矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!
.
10.x=0,y=3,z=-1.
1.矩阵乘法定义和性质
定义2.1当矩阵A列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB行数和A相等,列数和B相等.AB(i,j)位元素等于A第i个行向量和B第j个列向量(维数相似)相应分量乘积之和.
矩阵乘法在规则上与数乘法有不同:
矩阵乘法有条件.
矩阵乘法无互换律.
矩阵乘法无消去律,即普通地
由AB=0推不出A=0或B=0.
由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)
由BA=CA和A=0推不出或B=C.(无右消去律)
把数乘法性质简朴地搬用到矩阵乘法中来,这是常用错误.
矩阵乘法适合如下法则:
加乘分派律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.
数乘性质(cA)B=c(AB).
结合律(AB)C=A(BC).
(AB)T=BTAT.
2.n阶矩阵方幂和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.
(1)行列式性质|AB|=|A||B|.
(2)如果AB=BA,则说A和B可互换.
(3)方幂设k是正整数,n阶矩阵Ak次方幂Ak即k个A连乘积.规定A0=E.
显然A任何两个方幂都是可互换,并且方幂运算符合指数法则:
AkAh=Ak+h.
(Ak)h=Akh.
但是普通地(AB)kAkBk.
(3)n阶矩阵多项式乘法公式
设f(x)=amxm+am-1xm-1+⋯+a1x+a0,对n阶矩阵A规定
f(A)=amAm+am-1Am-1+⋯+a1A+a0E.
称为A一种多项式.请特别注旨在常数项上加单位矩阵E.
普通地,由于互换性问题,乘法公式对于n阶矩阵多项式不再成立,如果所浮现n阶矩阵互相都是互换,则乘法公式成立.例如
(A±
B)2=A2±
2AB+B2⇔A和B可互换.
(A+B)(A-B)=A2-B2⇔A和B可互换.
A和B可互换⇒(不是⇔!
)有二项公式:
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