解直角三角形的应用Word文件下载.docx
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能够把实际问题抽象成数学问题并画出示意图,提高数学的应用意识和解决问题的能力。
5.教学对象分析:
(1).初三学生性格开朗活泼,对新鲜事物特别敏感,且较易接受,因此,教学过程中创设的问题情境应较生动活泼,直观形象,且贴近学生的生活,从而引起学生的有意注意。
(2).初三学生已有一定的概括能力,推理能力还有待不断发展,所以在教学时,可让学生充分观察、分析,帮助他们直观形象地感知。
(3).初三学生已经具备了一定的学习能力,所以本节课中,应多为学生创造自主学习、合作学习的机会,让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
6.教学策略及教法设计:
(1).课堂组织策略:
创设贴近学生生活,生动有趣的问题情境,开展活泼、主动、有效的数学活动,组织学生主动参与、勤于动手、积极思考,使他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握解直角三角形的有关内容。
(2).学生学习策略:
明确学习目标,了解所需掌握的知识,在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、猜测、探索与交流等数学活动,从而真正有效地理解和掌握知识。
(3).辅助策略:
借助教具、多媒体课件,使学生直观形象地进行观察和探索。
二、过程实录:
1.创设情境,激发兴趣:
师:
前面几节课我们同学已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系,会利用解直角三角形解决与直角三角形有关的实际问题。
我们知道解直角三角形,只有下面两种情况:
(1)已知两条边;
(2)已知一条边和一个锐角。
(多媒体演示)大家知道吗解直角三角形在航海、工程测量等问题中也有着广泛应用。
下面我们就来看一个例子(多媒体演示):
(08十堰) 海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东60°
方向上,航行12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东45°
方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?
请说明理由。
(设计意图:
体现“解直角三角形”作为一项重要的数学工具,运用化归思想指导解题,该题巧妙地渗透运用方程思想的解题意识,综合了代数与几何知识、方法与技能)
接下来就请同学们用锐角三角函数知识解决问题。
2.指导尝试,自主探究:
我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何规定的?
生:
应该是“上北下南,左西右东”。
请同学们根据题意在各自的练习本上画示意图,然后说明你是怎样画出来的。
我们请一位同学到黑板上画出示意图并说说你是怎么做的?
生1:
首先我们可将点A确定,点B在点A的正东方向12海里处,点P在A的在北偏东60°
方向和点B的北偏东45°
方向的交点处,示意图如图1所示。
很好。
渔船向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定?
生2:
根据题意,小岛P四周18海里内有暗礁,那么渔船继续向东航行的方向如果到P的最短距离大于18海里,则无触礁的危险,如果小于18海里则有触礁的危险。
那么如何确定小岛P与航线的最短距离呢?
生3:
过P作PD⊥BC,D为垂足,PD的长度即P到BC所在直线的最短距离。
我们需根据题意算出PD的长度,然后与18海里比较。
我们同学分析得都很好,能将实际问题清晰条理地转化成数学问题。
下面我们就来看如何求PD。
根据题意,有哪些已知条件呢?
已知AB=12海里,∠PAD=30°
,∠PBD=45°
。
在图1中,有两个直角三角形Rt△PDA和Rt△PDB,你能在哪个三角形中求出PD呢?
在Rt△PDB中只知道∠PBD=45°
,不能求出PD。
在Rt△PDA中知道∠PAD=30°
,虽然知道AB=12海里,但它不是Rt△PDA的边,也不能求出PD。
那该如何是好?
是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑?
我们发现这两个三角形有联系,PD是它们的公共直角边,而且AB是这两个直角三角形边AD与BD的差,即AB=AD-BD。
AD和BD的邻角是已知的,AD、BD和边PD都有联系。
有何联系呢?
在Rt△PDB中,tan45°
=PD/BD,BD=PD/tan45°
;
在Rt△PDA中,tan30°
=PD/AD,AD=PD/tan30°
利用AB=AD-BD就可以列出关于PD的一元一次方程,即PD/tan30°
-PD/tan45°
=12。
太好了!
没想到方程在这个地方帮了我们的忙。
其实,在解决数学问题时,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一。
(多媒体演示)解:
过P作PD⊥BC,D为垂足,得到Rt△PDA和Rt△PDB,从而BD=PD/tan30°
,AD=PD/tan30°
由AB=AD-BD,又AB=12海里,得PD/tan30°
解得:
PD≈16.4(海里)<
18海里,所以渔船有触礁的危险。
3.变式训练,形成能力:
接下来,我们再来研究一个问题。
还记得本章开头学生测量学校旗杆的高度的问题吗?
现在我们来看是怎样测的,多媒体演示:
(2010年河南省南阳市中考模拟数学试题)课外实践活动中,数学老师带领学生测量学校旗杆的高度.如图2,在
处用测角仪(离地高度为1.5米)测得旗杆顶端的仰角为
,朝旗杆方向前进23米到
处,再次测得旗杆顶端的仰角为
,求旗杆
的高度.
让学生体会中考考题可源自课本,正确理解仰角的意义是问题获得解答的关键。
)
我想请一位同学告诉我什么是仰角。
在图2中,15°
的仰角、30°
的仰角分别指哪两个角?
生4:
当从低处观测高处的目标时,视线与水平所成的锐角称为仰角,15°
的仰角指∠ECF,30°
的仰角指∠EBF。
很好!
请同学们独立思考解决这个问题的思路,然后回答。
(教师留给学生充分的思考时间,对有困难的学生可给予指导。
,
.
.所以DC=DE=23米.在Rt△EDF中,由sin∠EDF=EF/DE,得:
.又FG=CA=1.5米,因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13(米).答:
旗杆
的高度为13米
同学们的表现太棒了。
现在我手里有一个楼梯改造问题,想请同学们帮忙解决一下。
(多媒体演示):
某商场准备改善原来楼梯的安全性能,把倾角由40°
减至35°
,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?
楼梯多占多长一段地面?
(结果精确到0.01m)
体会数学在现实生活中的实用性,学生自画示意图,可帮助学生了解题意,将实际问题转化成数学问题,达到学以致用。
请同学们根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题。
(让学生先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法。
下面我们请一位同学根据前面所学的知识,来谈谈这道题的思路
生5:
在这个问题中,要注意调整前后的楼梯高度是一个不变量,根据题意可画出示意图(如图3),其中AB表示楼梯的高度,AC是原楼梯的长,BC是原楼梯的占地长度,DB是调整后楼梯的占地长度。
∠ACB是原楼梯的倾角,∠ADB是调整后楼梯的倾角。
转化为数学问题即为:
如图3,AB⊥DB,∠ACB=40°
,∠ADB=35°
,AC=4m,求AD-AC及DC的长度。
这位同学把这个楼梯调整问题转化成了数学问题。
大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式,我相信同学们一定能用计算器很快地解决它。
开始吧!
由条件可知,在Rt△ABC中,sin40°
=AB/AC,即AB=4sin40°
BC=4cos40°
在Rt△ABD中,sin35°
=AB/AD,则AD=ABsin35°
=4sin40°
sin35°
,DB=4sin40°
/tan35°
AD-AC=4sin40°
-4≈0.48(m),DC=DB-BC=4sin40°
-4cos40°
≈0.61(m)。
4.反馈矫正,拓展思维:
(1).(2009襄樊市)为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛
北偏西
并距该岛
海里的
处待命.位于该岛正西方向
处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东
的方向有我军护航舰(如图4所示),便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即沿
航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置
处?
(结果精确到个位.参考数据:
该题以打击索马里海盗为背景,将鲜活生活情境融于试题,增强学生的民族自豪感,体现数学生活化的课改理念,有创新!
由于该题的原配图形,没有添加辅助线部分,所以应“过B作BD⊥AC于点D”,可以将问题化归为解直角三角形问题,能敞开解题思路。
(2).(2009年中山)如图所示,
.
两城市相距
,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段
),经测量,森林保护中心
在
城市的北偏东
和
城市的北偏西
的方向上,已知森林保护区的范围在以
点为圆心,
为半径的圆形区域内,请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?
(参考数据:
“高速公路会不会穿越保护区”是第一道例题的延续和变式,这道练习的给出达到了前后呼应的效果,还可达到检验学生掌握情况的作用)
图5
5.讨论归纳,形成知识:
本节课同学们都有什么收获呢?
生6:
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题,提高了我们分析问题和解决实际问题的能力。
生7:
我们还知道,解决与直角三角形有关的实际问题的关键是构造直角三角形,将实际问题转化为数学问题。
然后列方程求解,并合理解释答案。
生8:
我们觉得学习数学太有用了,它能帮助我们解决实际生活中的问题,我们一定要学好数学知识,并把它用到实际生活中。
6.课后作业:
(1).看书本99页《阅读材料》;
(2).书本98页第4题;
(3).(2010年河南模拟)又到了一年的春游季节,某班学生利用周末到白塔去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的对话:
甲:
“我站在此处看到塔顶仰角为60°
.”
乙:
“我站在此处看到塔顶仰角为30°
“我们的身高都是1.5米.”
“我们相距20米.”
请你根据两位同学的对话,计算白塔的高度(精确到1米).
(4).课后小组讨论题:
某货船以20节的速度将一批重要物质由A处运往正西方向的B处,经16时的航行到达,到达后必须立即卸货。
此时,接到气象部门通知,一台风中心正以40节的速度由A处向北偏西60°
的方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受影响。
(1)B处是否会受到台风的影响?
(2)为避免受到台风的影响,该船应在多长时间内卸完货物?
三、感悟与反思:
本节课结合具体的教学内容,让学生亲身经历了知识的形成与应用过程,从而更好地理解了数学知识的意义,掌握了必要的基础知识与基本技能,发展了学生运用数学的意识和能力,增强了学生学好数学的愿望和信心。
1.教学素材来源于现实生活实际。
例如,船有触礁的危险吗、学生测旗杆的高度、怎样改造楼梯、打击索马里海盗、森林保护区等问题的设计,都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到数学知识就在身边,与现实世界密切联系。
把几个问题用适当的方式呈现给学生,从而激发了学生学习的热情和主动探究的精神,并激励学生与同伴合作交流。
2.教学素材来源于各地中考或模拟真题,让学生自行揭开中考神秘的面纱,发现同一知识点在中考可以用不同的载体呈现,建立了学生的学习信心及挑战中考的勇气。
3.内容设计有一定的层次性并富有弹性、科学性,易于操作。
在教学过程中,教师把一个知识对象用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯,符合学生认知规律和逻辑思维习惯,但总有一个重要的数学思想即转化思想贯穿始终。
在解决实际问题中,必须建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,便于学生发散思维,也容易激发学生的学习兴趣。
4.关注学生数学学习过程。
从教师对教学过程设计上看,对各个问题的解决都充满了观察、猜想、推理和互动交流等丰富多彩的数学活动,学生不仅获得了计算能力,而更重要的是获得了自己去探究数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力,亲身体验了如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”。
5.存在的问题:
(1).本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题。
对一部分学生来说,他们从作辅助线构建直角三角形,到利用方程解答题目,直至描述答案都显得轻松自如;
但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,不会合理构造直角三角形,也不能列出合理的方程进行解答。
(2).由于例题和练习多导致学生小组学习、讨论的时间少,影响了中下水平学生知识点的掌握。
6.应对策略:
发挥小组学习的优势,学生间互帮互助,教师上课时多到学生中走动,多了解学生的实际掌握情况,发现问题,并要当场指出,帮助理解。
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- 关 键 词:
- 直角三角形 应用