高考数学理科模拟试卷三Word下载.doc
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江西南昌统考]已知a=2,b=,c=sinxdx,则实数a,b,c的大小关系是( )
A.a>
c>
bB.b>
a>
cC.a>
b>
cD.c>
a
7.[2016·
江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(modm),例如10=4(mod6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的n等于( )
A.17
B.16
C.15
D.13
8.[2017·
湖北武汉调研]已知x,y满足如果目标函数z=的取值范围为[0,2),则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.(-∞,0]
9.[2017·
衡水四调]中国古代数学名著《九章算术》中记载:
“今有羡除”.刘徽注:
“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距离为3,CD与AB间的距离为10,则这个羡除的体积是( )
A.110B.116C.118D.120
10.[2017·
山西太原质检]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
11.[2017·
河南郑州检测]已知点F2、P分别为双曲线-=1(a>
0,b>
0)的右焦点与右支上的一点,O为坐标原点,若=(+),2=2,且2·
=a2+b2,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
12.[2017·
山西联考]已知函数f(x)=(3x+1)ex+1+mx(m≥-4e),若有且仅有两个整数使得f(x)≤0,则实数m的取值范围是( )
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.[2017·
济宁检测]已知(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11,则a1+a2+…+a11的值为________.
14.[2017·
惠州一调]已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,n∈N*,则b2017=________.
15.[2017·
河北正定统考]已知点A(0,1),抛物线C:
y2=ax(a>
0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶3,则实数a的值为________.
16.[2016·
成都第二次诊断]已知函数f(x)=x+sin2x.给出以下四个命题:
①∀x>
0,不等式f(x)<
2x恒成立;
②∃k∈R,使方程f(x)=k有四个不相等的实数根;
③函数f(x)的图象存在无数个对称中心;
④若数列{an}为等差数列,f(a1)+f(a2)+f(a3)=3π,则a2=π.
其中正确的命题有________.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2016·
武汉调研](本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,a+=4cosC,b=1.
(1)若A=90°
,求△ABC的面积;
(2)若△ABC的面积为,求a,c.
18.[2016·
广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:
产假安排(单位:
周)
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数
4
8
20
26
(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?
(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;
②如果用ξ表示两种方案休假周数和,求随机变量ξ的分布列及期望.
19.[2017·
吉林模拟](本小题满分12分)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,D为棱A1B1上的点.
(1)证明DF⊥AE;
(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?
若存在,说明点D的位置;
若不存在,说明理由.
20.[2016·
兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F1(-1,0)、F2(1,0),过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点,且|BD|=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N,且满足·
=?
若存在,求出直线l1的方程;
若不存在,请说明理由.
21.[2017·
广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(x+1)-x+x2,g(x)=(x+1)ln(x+1)-x+(a-1)x2+x3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[2017·
河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,M(-2,0).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A(ρ,θ)为曲线C上一点,B,|BM|=1.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求|OA|2+|MA|2的取值范围.
23.[2016·
大连高三模拟](本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
若∃x0∈R,使关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立,设满足条件的实数t构成的集合为T.
(1)求集合T;
(2)若m>
1,n>
1且对于∀t∈T,不等式log3m·
log3n≥t恒成立,求m+n的最小值.
参考答案(三)
答案 D
解析 集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞).
解析 因为-=-1+i=-1+i=1-i-1+i=0,故选D.
答案 B
解析 因为sin=sinx+cosx=,所以cosx+cos=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx==,故选B.
答案 C
解析 由题意得,an=a1qn-1(a1>
0),a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q).若q<
0,因为1+q的符号不确定,所以无法判断a2n-1+a2n的符号;
反之,若a2n-1+a2n<
0,即a1q2n-2(1+q)<
0,可得q<
-1<
0.故“q<
0”的必要而不充分条件,选C.
解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;
七月的平均温差约为10℃,而一月的平均温差约为5℃,故B正确;
三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右,基本相同,C正确;
平均最高气温高于20℃的月份只有3个,D错误.
解析 因为a=2==,b==3-==,所以a>
b,排除B、D;
c=sinxdx=-cosx=-(cosπ-cos0)==,所以b>
c,所以a>
c,选C.
答案 A
解析 当n>
10时,被3除余2,被5除也余2的最小整数n=17,故选A.
解析 由约束条件,作出可行域如图中阴影部分所示,而目标函数z=的几何意义为可行域内的点(x,y)与A(m,-1)连线的斜率,由
得即B(2,-1).由题意知m=2不符合题意,故点A与点B不重合,因而当连接AB时,斜率取到最小值0.由y=-1与2x-y-2=0,得交点C,在点A由点C向左移动的过程中,可行域内的点与点A连线的斜率小于2,因而目标函数的取值范围满足z∈[0,2),则m<
,故选C.
解析 如图,过点A作AP⊥CD,AM⊥EF,过点B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分别为P,M,Q,N,连接PM,QN,将一侧的几何体补到另一侧,组成一个直三棱柱,底面积为×
10×
3=15.棱柱的高为8,体积V=15×
8=120.故选D.
解析 利用平面向量的线性运算法则求解.=+=+=+(-)=-+,故选A.
解析 设双曲线的左焦点为F1,依题意知,|PF2|=2c,因为=(+),所以点M为线段PF2的中点.因为2·
=a2+b2,所以·
=,所以c·
c·
cos∠PF2x=c2,所以cos∠PF2x=,所以∠PF2x=60°
,所以∠PF2F1=120°
,从而|PF1|=2c,根据双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a,所以2c-2c=2a,所以e===,故选A.
解析 由f(x)≤0,得(3x+1)·
ex+1+mx≤0,即mx≤-(3x+1)ex+1,设g(x)=mx,h(x)=-(3x+1)ex+1,则h′(x)=-[3ex+1+(3x+1)ex+1]=-(3x+4)ex+1,由h′(x)>
0,得-(3x+4)>
0,即x<
-,由h′(x)<
0,
得-(3x+4)<
0,即x>
-,故当x=-时,函数h(x)取得极大值.在同一平面直角坐标系中作出y=h(x),y=g(x)的大致图象如图所示,当m≥0时,满足g(x)≤h(x)的整数解超过两个,不满足条件;
当m<
0 时,要使g(x)≤h(x)的整数解只有两个,则需满足即
即即-≤m<
-,即实数m的取值范围是-,-,故选B.
答案 2
解析 令x=1,可得2×
(-1)=a0,即a0=-2;
令x=2,可得(22+1)×
0=a0+a1+a2+a3+…+a11,
即a0+a1+a2+a3+…+a11=0,
所以a1+a2+a3+…+a11=2.
答案
解析 ∵an+bn=1,a1=,∴b1=,∵bn+1=,∴bn+1==,∴-=-1,又b1=,∴=-2,∴数列是以-2为首项,-1为公差的等差数列,∴=-n-1,∴bn=.故b2017=.
解析 依题意得焦点F的坐标为,设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=2∶1,又kFN==,kFN=-=-2,所以=2,解得a=.
答案 ③④
解析 f′(x)=1+2cos2x,则f′(x)=0有无数个解,再结合f(x)是奇函数,且总体上呈上升趋势,可画出f(x)的大致图象为:
(1)令g(x)=2x-f(x)=x-sin2x,则g′(x)=1-2cos2x,令g′(x)=0,则x=+kπ(k∈Z),则g=-<
0,即存在x=>
0使得f(x)>
2x,故①错误;
(2)由图象知不存在y=k的直线和f(x)的图象有四个不同的交点,故②错误;
(3)f(a+x)+f(a-x)=2a+2sin2acos2x,令sin2a=0,则a=(k∈Z),即(a,a),其中a=(k∈Z)均是函数的对称中心,故③正确;
(4)f(a1)+f(a2)+f(a3)=3π,则a1+a2+a3+sin2a1+sin2a2+sin2a3=3π,
即3a2+sin(2a2-2d)+sin2a2+sin(2a2+2d)=3π,
∴3a2+sin2a2+2sin2a2cos2d=3π,
∴3a2+sin2a2(1+2cos2d)=3π,
∴sin2a2=-a2,
则问题转化为f(x)=sin2x与g(x)=-x的交点个数.
如果直线g(x)要与f(x)有除(π,0)之外的交点,则斜率的范围在,而直线的斜率-的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞),故不存在除(π,0)之外的交点,故a2=π,④正确.
解
(1)a+=4cosC=4×
=,
∵b=1,∴2c2=a2+1.(2分)
又∵A=90°
,∴a2=b2+c2=c2+1,
∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=,a=,(4分)
∴S△ABC=bcsinA=bc=×
1×
=.(6分)
(2)∵S△ABC=absinC=asinC=,则sinC=.
∵a+=4cosC,sinC=,
∴2+2=1,化简得(a2-7)2=0,
∴a=,从而cosC==,
∴c===2.(12分)
解
(1)由表中信息可知,当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1==;
(2分)
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2==.(4分)
(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A,由已知从5种不同安排方案中,随机地抽取2种方案选法共有C=10(种),(5分)
其和不低于32周的选法有(14,18),(15,17),(15,18),(16,17),(16,18),(17,18),共6种,
由古典概型概率计算公式得P(A)==.(7分)
②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.
P(ξ=29)==0.1,P(ξ=30)==0.1,P(ξ=31)==0.2,P(ξ=32)==0.2,P(ξ=33)==0.2,P(ξ=34)==0.1,P(ξ=35)==0.1,
因而ξ的分布列为
ξ
29
30
31
32
33
34
35
P
0.1
0.2
(10分)
所以E(ξ)=29×
0.1+30×
0.1+31×
0.2+32×
0.2+33×
0.2+34×
0.1+35×
0.1=32.(12分)
解
(1)证明:
因为AE⊥A1B1,A1B1∥AB,所以AE⊥AB.
因为AA1⊥AB,AA1∩AE=A,所以AB⊥平面A1ACC1.
因为AC⊂平面A1ACC1,所以AB⊥AC.以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则有A(0,0,0),E,F,A1(0,0,1),B1(1,0,1).(4分)
设D(x1,y1,z1),=λ且λ∈[0,1],即(x1,y1,z1-1)=λ(1,0,0),则D(λ,0,1),所以=.
因为=,所以·
=-=0,所以DF⊥AE.(6分)
(2)假设存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.
由题意可知平面ABC的一个法向量为=(0,0,1).(8分)
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则
因为=,=,
所以即
令z=2(1-λ),则n=(3,1+2λ,2(1-λ))是平面DEF的一个法向量.(10分)
因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,所以|cos〈,n〉|==,
即=,解得λ=或λ=(舍去),所以当D为A1B1的中点时满足要求.
故存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,此时D为A1B1的中点.(12分)
解
(1)设椭圆的方程是+=1(a>
0),则c=1,
∵|BD|=3,∴=3,
又a2-b2=1,∴a=2,b=,
∴椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k
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