苏州市高一数学下学期3月月考试卷解析Word格式.doc
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16.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.
(1)求证:
{an﹣}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
17.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,也可成等比数列,已知这三个数的和等于6,求此三个数.
18.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列.
(1)若•=,b=,求a+c的值;
(2)求2sinA﹣sinC的取值范围.
19.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=(n≥2)
为等差数列,并求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在实数λ,使得数列成等差数列?
若存在,求出λ的值和该数列前n项的和;
若不存在,请说明理由.
20.△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,,sin(B﹣A)=cosC.
(1)求A,C;
(2)若S△ABC=,求a,c.
参考答案与试题解析
,,则= 2 .
【考点】HP:
正弦定理.
【分析】首先根据正弦定理得出2r==2,然后利用正弦定理将所求的式子转化成即可求出结果.
【解答】解:
由正弦定理可得2r===2,(r为外接圆半径);
则==2r=2,
故答案为2.
2.在△ABC中,已知a2+b2+,则角C= 135°
.
【考点】HR:
余弦定理.
【分析】利用余弦定理表示出cosC,把已知的等式变形后代入求出cosC的值,由C的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数.
由a2+b2+,得到a2+b2﹣c2=﹣ab,
则根据余弦定理得:
cosC===﹣,
又C∈(0,π),
则角C的大小为135°
.
故答案为:
135°
8,则∠B的大小是 .
余弦定理;
GR:
两角和与差的正切函数.
【分析】根据sinA:
8,利用正弦定理可求得a,b,c的关系,进而设a=5k,b=7k,c=8k,代入余弦定理中求得cosB的值,进而求得B.
sinA:
8
∴a:
b:
c=5:
设a=5k,b=7k,c=8k,
由余弦定理可得cosB==;
∴∠B=.
故答案为.
4.公差不为零的等差数列{an}中,a12+a72=a32+a92,记{an}的前n项和为Sn,其中S8=8,则{an}的通项公式为an= 10﹣2n .
【考点】85:
等差数列的前n项和;
84:
等差数列的通项公式.
【分析】设公差为d≠0,由,可得,化为a1+4d=0,又S8=8,利用等差数列的前n项和公式可得,化为2a1+7d=2.联立即可解得a1与d,再利用等差数列的通项公式即可得出.
设公差为d≠0,由,可得,化为a1+4d=0,
又S8=8=,化为2a1+7d=2.
联立,解得.
∴an=a1+(n﹣1)d=8﹣2(n﹣1)=10﹣2n.
故答案为10﹣2n.
5.数列的前n项和是 .
【考点】8E:
数列的求和.
【分析】结合数列通项的特点,考虑利用分组求和,先将分离成两部分,再根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可得到答案.
=
6.等差数列{an}中,s30=930,d=2,则a3+a6+…+a30= 330 .
【考点】84:
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.
∵s30=930,d=2,
∴30a1+=930,解得a1=2.
∴a3=2+2×
2=6,数列{a3n}的公差=3d=6.
则a3+a6+…+a30=10×
6+=330.
330.
,则c= 2或 .
【分析】利用余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA,将a,b及cosA的值代入,得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的长.
∵a=,b=,A=30°
,
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得:
5=15+c2﹣3c,
即c2﹣3c+10=0,
解得:
c=2或c=,
则c=2或.
2或
8.一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为 14 .
【考点】8F:
等差数列的性质.
【分析】由题意可得a1+a2+a3+a4=40,an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80,两式相加,且由等差数列的性质可求(a1+an)的值,代入等差数列的前n项和公式,结合已知条件可求n的值.
由题意可得:
前4项之和为a1+a2+a3+a4=40①,
后4项之和为an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80②,
根据等差数列的性质①+②可得:
4(a1+an)=120⇒(a1+an)=30,
由等差数列的前n项和公式可得:
=210,
所以n=14.
14
9.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,的值是 .
【分析】利用等差数列的性质,及求和公式,可得===,利用条件,即可求得结论.
∵===,,
∴==
an=,且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 (2,3) .
【考点】82:
数列的函数特性.
【分析】首先,根据数列{an}是递增数列,得到,求解实数a的取值范围即可.
∵an=,且数列{an}是递增数列,则,
∴2<a<3,
∴a∈(2,3),
∴实数a的取值范围是(2,3).
(2,3).
11.已知数列{an}的前n项和Sn,且满足Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0(n≥2),a1=,则Sn= .
【考点】8H:
数列递推式.
【分析】Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0(n≥2),a1=,可得﹣=2,=2.利用等差数列的通项公式即可得出.
Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0(n≥2),a1=,
∴﹣=2,=2.
∴数列{}是等差数列,公差为2,首项为2.
则=2+2(n﹣1)=2n,解得Sn=.
,若这样的三角形有两个,则a的取值范围是 (2,2) .
【考点】HQ:
正弦定理的应用.
【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系,利用B求得A+C;
要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°
,则和A互补的角大于135°
进而推断出A+B>180°
与三角形内角和矛盾;
进而可推断出45°
<A<135°
若A=90,这样补角也是90°
,一解不符合题意进而可推断出sinA的范围,利用sinA和a的关系求得a的范围.
==2
∴a=2sinA
A+C=180°
﹣45°
=135°
A有两个值,则这两个值互补
若A≤45°
则三角形只有一解,不成立;
∴45°
又若A=90°
,这样补角也是90°
,一解
所以<sinA<1
a=2sinA
所以2<a<2
(2,2)
13.在△ABC中,若1+=,则角A的大小为 .
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,诱导公式可得=,由正弦定理可得=,可求cosA=,结合范围A∈(0,π),即可得解A的值.
∵1+====,
∴由正弦定理可得:
==,
∴cosA=,
∵A∈(0,π),
∴A=.
14.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式an= 2×
3n﹣1﹣1 .
【分析】由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),从而可判断{an}是以2为首项、3为公比的等比数列,进而可求得an+1.
由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),
又a1=1,所以{an+1}是以2为首项、3为公比的等比数列,
∴,﹣1.
2×
3n﹣1﹣1.
8H:
【分析】
(1)由数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣3n+1,利用,能求出{an}的通项.
(2)利用等差数列通项公式列出方程,求出公差d=2,由此能求出前n项和Sn的最小值.
(1)∵数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣3n+1,
∴a1=S1=2×
12﹣3×
1+1=0,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n2﹣3n+1)﹣[2(n﹣1)2﹣3(n﹣1)+1]=4n﹣5.
n=1时,4n﹣5=﹣1≠a1,
∴{an}的通项an=.
(2)在等差数列{an}中,
∵a1=﹣3,11a5=5a8,
∴11(a1+4d)=5(a1+7d),
解得d=2,
前n项和Sn=﹣3n+=n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,
∴n=2时,前n项和Sn取最小值﹣4.
【考点】8D:
等比关系的确定;
88:
等比数列的通项公式;
(1)对an+1=an+进行变形处理得到:
an+1﹣=an﹣=(an﹣),根据等比数列的性质证得结论;
(2)根据{an﹣}是以为首项,为公比的等比数列来推知数列{an}的通项公式.
【解答】
(1)证明:
由已知得:
an+1﹣=an﹣=(an﹣),
因为a1=,
所以a1﹣=,
所以{an﹣}是以为首项,为公比的等比数列;
(2)解:
由
(1)知,{an﹣}是以为首项,为公比的等比数列,
所以an﹣=•()n﹣1,
所以an=•()n﹣1+.
等差数列的性质;
8G:
等比数列的性质.
【分析】根据互不相等的三数a,b,c成等差数列则2b=a+c,然后求出b的值,将a,b,c重新适当排序后,又能成等比数列,则a为中间项,或c为中间项,建立方程组,解之即可.
∵互不相等的三数a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
∵a+b+c=6,∴b=2.
∵将a,b,c重新适当排序后,又能成等比数列,则a为中间项,或c为中间项
∴a2=bc,解得a=﹣4,b=2,c=8,若c2=ab,解得a=8,b=2,c=﹣4
∴此三个数为a=﹣4,b=2,c=8,或a=8,b=2,c=﹣4
9R:
平面向量数量积的运算.
(1)由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C,又A+B+C=π,可得B.利用•=,可得accosB=,再利用余弦定理即可得出;
(2)由
(1)知:
2sinA﹣sinC==cosC,再利用C的范围即可得出.
(1)∵A,B,C成等差数列,
∴2B=A+C,又A+B+C=π,
∴B=.
∵•=,
∴accosB=,化为ac=3.
∵b=,b2=a2+c2﹣2accosB,
∴a2+c2﹣ac=3,即(a+c)2﹣3ac=3,(a+c)2=12,
∴a+c=2.
2sinA﹣sinC=
=﹣sinC
=cosC,
∵,
∴cosC∈.
∴2sinA﹣sinC的取值范围是.
(1)an=(n≥2),可得Sn﹣Sn﹣1=,根据∀n∈N*,an>0,可得Sn>0.可得﹣=1.即可证明,进而得出Sn,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.
(2)假设存在实数λ,使得数列成等差数列.可得=+,代入即可得出.
∵an=(n≥2),∴Sn﹣Sn﹣1=,∵∀n∈N*,an>0,∴Sn>0.
∴﹣=1.
∴为等差数列,公差为1,首项为1.
∴=1+(n﹣1)=n,可得Sn=n2.
∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣(n﹣1)2=2n﹣1.
n=1时上式也成立.
∴an=2n﹣1.
假设存在实数λ,使得数列成等差数列.
则=+,
∴=+,
化为:
λ2﹣2λ+1=0,解得λ=1,
∴存在实数λ=1,使得数列成等差数列.
∴==.
数列的前n项和为:
=.
【考点】HS:
余弦定理的应用;
GP:
两角和与差的余弦函数;
HQ:
(1)先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式,再由sin(B﹣A)=cosC可求出答案.
(2)先根据正弦定理得到a与c的关系,再利用三角形的面积公式可得答案.
(1)因为
所以左边切化弦对角相乘得到
sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB,
所以sin(C﹣A)=sin(B﹣C).
所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣(B﹣C)(不成立)
即2C=A+B,C=60°
所以A+B=120°
又因为sin(B﹣A)=cosC=,
所以B﹣A=30°
或B﹣A=150°
(舍),
所以A=45°
,C=60°
(2)由
(1)知A=45°
∴B=75°
∴sinB=
根据正弦定理可得即:
∴a=
S=acsinB==3+
∴c2=12∴c=2
∴a==2
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