高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版Word下载.doc
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(s为参数)和直线l2:
(t为参数)平行,则常数a的值为__________.
12.执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为__________.
13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为__________.
14.设F1,F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°
,则C的离心率为__________.
15.对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={,,…,},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如:
子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于__________;
(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;
E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为__________.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cosx·
.
(1)求的值;
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合.
17.(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.
(1)证明:
AD⊥C1E;
(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60°
时,求三棱锥C1-A1B1E的体积.
18.(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:
kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
频数
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.
19.(本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·
Sn,n∈N*.
(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.
20.(本小题满分13分)已知F1,F2分别是椭圆E:
+y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.
(1)求圆C的方程;
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b,当ab最大时,求直线l的方程.
21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
数 学(文史卷)
1.
答案:
B
解析:
z=i·
(1+i)=i-1=-1+i,故选B.
2.
A
∵“1<x<2”能推出“x<2”成立,但“x<2”不能推出“1<x<2”成立,故选A.
3.
D
抽样比为,所以甲抽取6件,乙抽取4件,丙抽取3件,∴n=13,故选D.
4.
∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-1)+g
(1)=2,即-f
(1)+g
(1)=2.①
f
(1)+g(-1)=4,即f
(1)+g
(1)=4.②
由①+②得g
(1)=3,故选B.
5.
∵2asinB=b,∴2sinAsinB=sinB.
∵sinB≠0,∴sinA=.
∵A∈,
∴A=.故选A.
6.
C
利用图象知,有两个交点.故选C.
7.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的俯视图为ABCD,侧视图为BB1D1D,此时满足其面积为,故该正方体的正视图应为AA1C1C.又因AC=,故其面积为.
8.
可利用特殊值法求解.可令a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).
由|c-a-b|=1,
得,
∴(x-1)2+(y-1)2=1.
|c|即为,可看成M上的点到原点的距离,∴|c|max=|OM|+1=.
故选C.
9.
如图,设AB=2x,AD=2y.
由于AB为最大边的概率是,则P在EF上运动满足条件,且DE=CF=x,即AB=EB或AB=FA.
∴,即4x2=4y2+x2,
即x2=4y2,∴.
∴.
又∵,故选D.
10.答案:
{6,8}
11.答案:
l1的普通方程为:
x=2y+1,l2的普通方程为:
x=a·
,即,∴a=4.
12.
9
输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;
a=3不满足a>8,故a=5;
a=5不满足a>8,故a=7;
a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9.
13.答案:
6
画出可行域,令z=x+y,易知z在A(4,2)处取得最大值6.
14.答案:
如图所示,
∵PF1⊥PF2,∠PF1F2=30°
,
可得|PF2|=c.
由双曲线定义知,
|PF1|=2a+c,
由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得
4c2=(2a+c)2+c2,即2c2-4ac-4a2=0,
即e2-2e-2=0,
∴,∴.
15.
(1)2
(2)17
(1){a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,∴前3项和为2.
(2)根据题意知,P的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,
则P={a1,a3,a5,…,a99}有50个元素,Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1,…,
则Q={a1,a4,a7,a10,…,a100}有34个元素,
∴P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},
共有1+=17个.
16.
解:
(1)
=
=.
(2)f(x)=cosx·
=cosx·
=cos2x+sinxcosx
=(1+cos2x)+sin2x
f(x)<等价于,
即.
于是2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z.
解得kπ+<x<kπ+,k∈Z.
故使f(x)<成立的x的取值集合为.
17.
因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,而AD平面ABC,所以AD⊥BB1.②
由①,②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以AD⊥C1E.
(2)解:
因为AC∥A1C1,所以∠A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角,由题设,∠A1C1E=60°
因为∠B1A1C1=∠BAC=90°
,所以A1C1⊥A1B1,又AA1⊥A1C1,从而
A1C1⊥平面A1ABB1,于是A1C1⊥A1E.
故C1E=,
又B1C1==2,
所以B1E==2,
从而=×
A1C1=.
18.
(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株.列表如下:
所种作物的平均年收获量为
==46.
(2)由
(1)知,
P(Y=51)=,P(Y=48)=.
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48kg的概率为
P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=.
19.
(1)令n=1,得2a1-a1=a12,即a1=a12.
因为a1≠0,所以a1=1.
令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.
解得a2=2.
当n≥2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1两式相减得2an-2an-1=an.
即an=2an-1.
于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.
因此,an=2n-1.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由
(1)知,nan=n·
2n-1.
记数列{n·
2n-1}的前n项和为Bn,于是
Bn=1+2×
2+3×
22+…+n×
2n-1,①
2Bn=1×
2+2×
22+3×
23+…+n×
2n.②
①-②得
-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·
2n
=2n-1-n·
2n.
从而Bn=1+(n-1)·
20.
(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.
设圆心的坐标为(x0,y0),由解得
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,则圆心到直线l的距离.
所以.
由得(m2+5)y2+4my-1=0.
设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
y1+y2=,y1y2=.
于是
从而ab=
≤.
当且仅当,即时等号成立.
故当m=±
时,ab最大,此时,直线l的方程为x=y+2或x=y+2,
即x-y-2=0,或x+y-2=0.
21.(2013湖南,文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)=ex.
(1)解:
函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).
f′(x)=ex+ex
当x<0时,f′(x)>0;
当x>0时,f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
当x<1时,由于>0,ex>0,
故f(x)>0;
同理,当x>1时,f(x)<0.
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,不妨设x1<x2,
由
(1)知x1∈(-∞,0),x2∈(0,1).
下面证明:
x∈(0,1),f(x)<f(-x),即证
此不等式等价于
(1-x)ex-<0.
令g(x)=(1-x)ex-,则
g′(x)=-xe-x(e2x-1).
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,从而g(x)<g(0)=0.即
所以x∈(0,1),f(x)<f(-x).
而x2∈(0,1),所以f(x2)<f(-x2),
从而f(x1)<f(-x2).
由于x1,-x2∈(-∞,0),f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x1<-x2,即
x1+x2<0.
2013湖南文科数学第8页
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