辽宁省高考数学试卷文科答案与解析Word下载.doc
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15.(5分)(2010•辽宁)已知﹣1<x+y<4且2<x﹣y<3,则z=2x﹣3y的取值范围是 .(答案用区间表示)
16.(5分)(2010•辽宁)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 .
三、解答题(共8小题,满分90分)
17.(12分)(2010•辽宁)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
18.(12分)(2010•辽宁)为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.
(Ⅰ)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率;
(Ⅱ)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.(疱疹面积单位:
mm2)
表1:
注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)
频数
30402010
表2:
注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)
1025203015
(ⅰ)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
完成下面2×
2列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3:
疱疹面积小于70mm2
疱疹面积不小于70mm2
合计
注射药物A
a=
b=
注射药物B
c=
d=
n=
附:
K2=.
19.(12分)(2010•辽宁)如图,棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B
(Ⅰ)证明:
平面AB1C⊥平面A1BC1;
(Ⅱ)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D:
DC1的值.
20.(12分)(2010•辽宁)设F1,F2分别为椭圆(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°
,F1到直线l的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的焦距;
(Ⅱ)如果,求椭圆C的方程.
21.(12分)(2010•辽宁)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a≤﹣2,证明:
对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|.
22.(10分)(2010•辽宁)如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明:
△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC的面积S=AD•AE,求∠BAC的大小.
23.(10分)(2010•辽宁)已知P为半圆C:
(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
24.(10分)(2010•辽宁)已知a,b,c均为正数,证明:
≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
参考答案与试题解析
【考点】补集及其运算.菁优网版权所有
【分析】从U中去掉A中的元素就可.
【解答】解:
从全集U中,去掉1,5,7,剩下的元素构成CUA.
故选D.
【点评】集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合.
【考点】复数相等的充要条件.菁优网版权所有
【分析】先化简,然后用复数相等的条件,列方程组求解.
由可得1+2i=(a﹣b)+(a+b)i,所以,解得,,
故选A.
【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算,考查计算能力.是基础题.
【考点】等比数列的通项公式.菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,两式相减得3a3=a4﹣a3,由此能求出公比q=4.
∵Sn为等比数列{an}的前n项和,3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,
两式相减得
3a3=a4﹣a3,
a4=4a3,
∴公比q=4.
故选:
B.
【点评】本题考查公比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
【考点】四种命题的真假关系.菁优网版权所有
【专题】简易逻辑.
【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴,由a>0可知二次函数有最小值.
∵x0满足关于x的方程2ax+b=0,∴
∵a>0,∴函数f(x)在x=x0处取到最小值是
等价于∀x∈R,f(x)≥f(x0),所以命题C错误.
答案:
C.
【点评】本题考查二次函数的最值问题,全称命题和特称命题真假的判断,注意对符号∃和∀的区分和理解.
【考点】循环结构.菁优网版权所有
【专题】阅读型.
【分析】讨论k从1开始取,分别求出p的值,直到不满足k<4,退出循环,从而求出p的值,解题的关键是弄清循环次数.
第一次:
k=1,p=1×
3=3;
第二次:
k=2,p=3×
4=12;
第三次:
k=3,p=12×
5=60;
第四次:
k=4,p=60×
6=360
此时不满足k<4.
所以p=360.
故选B
【点评】本题主要考查了直到形循环结构,循环结构有两种形式:
当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
【专题】计算题;
待定系数法.
【分析】求出图象平移后的函数表达式,与原函数对应,求出ω的最小值.
将y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后为
=,
所以有=2kπ,即,
又因为ω>0,所以k≥1,
故≥,
故选C
【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性,考查了同学们对知识灵活掌握的程度.
【考点】抛物线的简单性质;
抛物线的定义.菁优网版权所有
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标,进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程,然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标,得到点P的坐标,根据抛物线的性质:
抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案.
抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=﹣2,直线AF的方程为,
所以点、,从而|PF|=6+2=8
故选B.
【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系,考查了等价转化的思想.
【考点】向量在几何中的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用三角形的面积公式表示出面积;
再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦;
再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得.
=
=•
=;
故选C.
【点评】本题考查三角形的面积公式;
同角三角函数的平方关系,利用向量的数量积求向量的夹角.
【考点】双曲线的简单性质;
两条直线垂直的判定.菁优网版权所有
压轴题.
【分析】先设出双曲线方程,则F,B的坐标可得,根据直线FB与渐近线y=垂直,得出其斜率的乘积为﹣1,进而求得b和a,c的关系式,进而根据双曲线方程a,b和c的关系进而求得a和c的等式,则双曲线的离心率可得.
设双曲线方程为,
则F(c,0),B(0,b)
直线FB:
bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直,
所以,即b2=ac
所以c2﹣a2=ac,即e2﹣e﹣1=0,
所以或(舍去)
【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想.
【考点】指数式与对数式的互化;
对数的运算性质.菁优网版权所有
【分析】直接化简,用m代替方程中的a、b,然后求解即可.
,∴m2=10,又∵m>0,∴.
故选A
【点评】本题考查指数式和对数式的互化,对数的运算性质,是基础题.
【考点】直线与平面垂直的性质;
球的体积和表面积.菁优网版权所有
【专题】压轴题.
【分析】先寻找球心,根据S,A,B,C是球O表面上的点,则OA=OB=OC=OS,根据直角三角形的性质可知O为SC的中点,则SC即为直径,根据球的面积公式求解即可.
∵已知S,A,B,C是球O表面上的点
∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,,
∴球O的直径为2R=SC=2,R=1,
∴表面积为4πR2=4π.
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及球的表面积等有关知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
【考点】导数的几何意义.菁优网版权所有
【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率,再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围.
因为y′===,
∵,
∴ex+e﹣x+2≥4,
∴y′∈[﹣1,0)
即tanα∈[﹣1,0),
∵0≤α<π
∴≤α<π
D.
【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值.
13.(5分)(2010•辽宁)三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为 .
【考点】排列及排列数公式.菁优网版权所有
【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行,而满足条件的只有一种,根据概率公式得到结果.
由题意知本题是一个古典概型,
∵试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行,
共有三种情况:
BEE,EBE,EEB,
而满足条件的只有一种,
∴概率为:
.
故答案为:
【点评】字母排列问题是概率中经常出现的题目,一般可以列举出要求的事件,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示.
14.(5分)(2010•辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= 15 .
【考点】等差数列的前n项和.菁优网版权所有
【分析】利用等差数列的前n项和公式求出前3项、前6项和列出方程求出首项和公差;
利用等差数列的通项公式求出第9项.
,
解得,
∴a9=a1+8d=15.
故答案为15
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式.
15.(5分)(2010•辽宁)已知﹣1<x+y<4且2<x﹣y<3,则z=2x﹣3y的取值范围是 (3,8) .(答案用区间表示)
【考点】简单线性规划的应用.菁优网版权所有
压轴题;
数形结合.
【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值和最小值,再根据最值给出目标函数的取值范围.
画出不等式组表示的可行域如下图示:
在可行域内平移直线z=2x﹣3y,
当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A(3,1)时,
目标函数有最小值z=2×
3﹣3×
1=3;
当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B(1,﹣2)时,
目标函数有最大值z=2×
1+3×
2=8.
z=2x﹣3y的取值范围是(3,8).
(3,8).
【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.
16.(5分)(2010•辽宁)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 .
【考点】简单空间图形的三视图;
棱锥的结构特征.菁优网版权所有
作图题;
【分析】结合题意及图形,可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥,还原几何体,求解即可.
由三视图可知,
此多面体是一个底面边长为2的正方形,
且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥,
所以最长棱长为.
【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题,考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.
【考点】解三角形;
三角函数的化简求值.菁优网版权所有
【分析】
(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边,求得a,b和c关系式,代入余弦定理中求得cosA的值,进而求得A.
(Ⅱ)把(Ⅰ)中a,b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦,与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值,进而根据C,B的范围推断出B=C,可知△ABC是等腰的钝角三角形.
(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c
即a2=b2+c2+bc
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA
故
(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.
变形得=(sinB+sinC)2﹣sinBsinC
又sinB+sinC=1,得sinBsinC=
上述两式联立得
因为0°
<B<60°
,0°
<C<60°
故B=C=30°
所以△ABC是等腰的钝角三角形.
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角,角化边达到解题的目的.
【考点】独立性检验的应用.菁优网版权所有
【专题】应用题;
图表型.
(1)利用组合数找出所有事件的个数n,基本事件的个数m,代入古典概率计算公式p=
(2)由频数分布表中的频数求出每组的,画出频率分布直方图,完成2×
2列联表,代入计算随机变量值后与临界点比较判断两变量的相关性的大小.
(Ⅰ)从200选100的组合数C200100,记:
“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A,则事件A包含的情况有2C19899∴(4分)
(Ⅱ)(i)
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数.(8分)
(ii)表3:
a=70
b=30
100
c=35
d=65
105
95
n=200
由于K2>10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.(12分)
【点评】本题考查的内容为:
利用组合数求古典概率,由频数分布表画频率分布直方图及2×
2列联表,考查独立性检验的计算公式与临界值比较以判断两个变量的关联性.要注意频率分布直方图的纵轴是
【考点】平面与平面垂直的判定;
直线与平面平行的性质.菁优网版权所有
【专题】作图题;
证明题;
综合题.
(Ⅰ)证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1,内的两条相交直线A1B,BC1,即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1;
(Ⅱ)D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,BC1交B1C于点E,连接DE,E是BC1的中点,推出D为A1C1的中点,可得A1D:
【解答】
因为
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