全国统一高考数学试卷新课标Ⅲ理科广西贵州云南文档格式.doc

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{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）（2015•新课标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　　　　　．

14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　　　　　个单位长度得到．

15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　　　　　　．

16．（5分）已知直线l：

mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　　　　　　．

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5=，求λ．

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：

亿吨）的折线图．

注：

年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：

yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．

参考公式：

r=，

回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（1）证明：

MN∥平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

20．（12分）已知抛物线C：

y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．

（Ⅰ）求f′（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明：

|f′（x）|≤2A．

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：

几何证明选讲]

22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：

OG⊥CD．

[选修4-4：

坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

[选修4-5：

不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

【考点】交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】集合思想；

定义法；

集合．

【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．

【解答】解：

由S中不等式解得：

x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），

∵T=（0，+∞），

∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），

故选：

D．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有

【专题】计算题；

规律型；

转化思想；

数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．

z=1+2i，则===i．

C．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有

向量法；

综合法；

平面向量及应用．

【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．

，；

∴；

又0≤∠ABC≤180°

；

∴∠ABC=30°

．

故选A．

【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．

【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有

【专题】数形结合；

数学模型法；

推理和证明．

【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．

A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确

B．七月的平均温差大约在10°

左右，一月的平均温差在5°

左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°

，正确

D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，

D

【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．

【考点】三角函数的化简求值．菁优网版权所有

转化法；

三角函数的求值．

【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．

∵tanα=，

∴cos2α+2sin2α====．

A．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；

指数函数的单调性与特殊点；

幂函数的实际应用．菁优网版权所有

【专题】转化思想；

函数的性质及应用．

【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．

∵a=2=，

b=3，

c=25=，

综上可得：

b＜a＜c，

故选A

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

【考点】程序框图．菁优网版权所有

图表型；

试验法；

算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．

模拟执行程序，可得

a=4，b=6，n=0，s=0

执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1

不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2

不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3

不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4

满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．

B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．

【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有

数形结合法；

解三角形．

【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．

设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，

∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，

∴BD=AD=a，CD=a，

在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，

∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×

﹣×

=﹣．

【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．

【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

空间位置关系与距离；

立体几何．

【分析】由已知中的三视图可得：

该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案．

由已知中的三视图可得：

该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，

其底面面积为：

3×

6=18，

前后侧面的面积为：

6×

2=36，

左右侧面的面积为：

×

2=18，

故棱柱的表面积为：

18+36+9=54+18．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．

∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，

∴AC=10．

故三角形ABC的内切圆半径r==2，

又由AA1=3，

故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，

此时V的最大值=，

B

【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．

【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有

【专题】方程思想；

分析法；

圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：

斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．

由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），

令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±

b=±

，

可得P（﹣c，），

设直线AE的方程为y=k（x+a），

令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），

设OE的中点为H，可得H（0，），

由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，

即为=，

化简可得=，即为a=3c，

可得e==．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：

斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

【考点】数列的应用．菁优网版权所有

【专题】压轴题；

新定义；

对应思想；

试验法．

【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．

由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：

0，0，0，0，1，1，1，1；

0，0，0，1，0，1，1，1；

0，0，0，1，1，0，1，1；

0，0，0，1，1，1，0，1；

0，0，1，0，0，1，1，1；

0，0，1，0，1，0，1，1；

0，0，1，0，1，1，0，1；

0，0，1，1，0，1，0，1；

0，0，1，1，0，0，1，1；

0，1，0，0，0，1，1，1；

0，1，0，0，1，0，1，1；

0，1，0，0，1，1，0，1；

0，1，0，1，0，0，1，1；

0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．

【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．

13．（5分）（2015•新课标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．

不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，

由得D（1，），

所以z=x+y的最大值为1+；

故答案为：

【点评】本题考查了简单线性规划；

一般步骤是：

①画出平面区域；

②分析目标函数，确定求最值的条件．

14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】函数思想；

三角函数的图像与性质．

【分析】令f（x）=sinx+cosx=2in（x+），则f（x﹣φ）=2in（x+﹣φ），依题意可得2in（x+﹣φ）=2in（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．

∵y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+），y=sinx﹣cosx=2in（x﹣），

∴f（x﹣φ）=2in（x+﹣φ）（φ＞0），

令2in（x+﹣φ）=2in（x﹣），

则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），

即φ=﹣2kπ（k∈Z），

当k=0时，正数φmin=，

【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．

15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　2x+y+1=0　．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

函数的性质及应用；

导数的概念及应用．

【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．

f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），

当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有

x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，

可得f

（1）=ln1﹣3=﹣3，f′

（1）=1﹣3=﹣2，

则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），

即为2x+y+1=0．

2x+y+1=0．

【点评】本题考查导数的运用：

求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．

mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　4　．

【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有

直线与圆．

【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°

，再利用三角函数求出|CD|即可．

由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，

∴=3，

∴m=﹣

∴直线l的倾斜角为30°

∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，

∴|CD|==4．

4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．

【考点】数列递推式；

等比关系的确定．菁优网版权所有

等差数列与等比数列．

【分析】

（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．

（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．

（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．

∴an≠0．

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，

即（λ﹣1）an=λan﹣1，

∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，

即=，（n≥2），

∴{an}是等比数列，公比q=，

当n=1时，S1=1+λa1=a1，

即a1=，

∴an=•（）n﹣1．

（2）若S5=，

则若S5=1+λ（•（）4=，

即（）5=﹣1=﹣，

则=﹣，得λ=﹣1．

【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．

【考点】线性回归方程．菁优网版权所有

概率与统计．

（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；

（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：

∵r==≈≈≈0.996，

∵0.996＞0.75，

故y与t之间存在较强的正相关关系；

（2）==≈≈0.10，

=﹣≈1.331﹣0.10×

4≈0.93，

∴y关于t的回归方程=0.103+0.93，

2016年对应的t值为9，

故=0.10×

9+0.93=1.83，

预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．

【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．

【考点】直线与平面所成的角；

直线与平面平行的判定．菁优网版权所