国庆作业Word文件下载.docx
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解:
(1)∵原方程有两个实数根,
∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0
∴1-4k≥0,
∴k≤
4
∴当k≤
时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴x1+x2=2k+1,x1•x2=k2+2k.
由x1•x2−x12−x22≥0,
得3x1•x2−(x1+x2)2≥0.
∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:
-(k-1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
又∵由
(1)知k≤
,
∴不存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立.
(2013•泰安)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
.(2013•乐山)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°
,请直接写出∠DCA的度数.
考点:
垂径定理;
含30度角的直角三角形;
圆周角定理;
翻折变换(折叠问题).
分析:
(1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得AE=
AC,再根据翻折的性质可得OE=
r,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解;
(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到
ADC
所对的圆周角,然后根据∠ACD等于
所对的圆周角减去
CD
所对的圆周角,计算即可得解.
解答:
(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,
则AE=
AC=
×
2=1,
∵翻折后点D与圆心O重合,
∴OE=
r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,
即r2=12+(
r)2,
解得r=
3
;
(2)连接BC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=25°
∴∠B=90°
-∠BAC=90°
-25°
=65°
根据翻折的性质,
AC
所对的圆周角等于
所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B-∠A=65°
=40°
点评:
本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理,
(1)作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键,
(2)根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键.
(2013•贵阳)已知:
如图,AB是⊙O的弦,⊙O的半径为10,OE、OF分别交AB于点E、F,OF的延长线交⊙O于点D,且AE=BF,∠EOF=60°
△OEF是等边三角形;
(2)当AE=OE时,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
等边三角形的判定与性质;
扇形面积的计算.
(1)作OC⊥AB于点C,由OC⊥AB可知AC=BC,再根据AE=BF可知EC=FC,因为OC⊥EF,所以OE=OF,再由∠EOF=60°
即可得出结论;
(2)在等边△OEF中,因为∠OEF=∠EOF=60°
,AE=OE,所以∠A=∠AOE=30°
,故∠AOF=90°
,再由AO=10可求出OF的长,根据S阴影=S扇形AOD-S△AOF即可得出结论.
(1)证明:
作OC⊥AB于点C,
∵OC⊥AB,
∴AC=BC,
∵AE=BF,
∴EC=FC,
∵OC⊥EF,
∴OE=OF,
∵∠EOF=60°
∴△OEF是等边三角形;
(2)解:
∵在等边△OEF中,∠OEF=∠EOF=60°
,AE=OE,
∴∠A=∠AOE=30°
∴∠AOF=90°
∵AO=10,
∴OF=
10
∴S△AOF=
10=
50
,S扇形AOD=
90π
360
102=25π,
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-
本题考查的是垂径定理,涉及到等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形的面积等知识,难度适中.
(2013•温州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
等腰三角形的判定与性质;
勾股定理.
(1)由AB为⊙O的直径,易证得AC⊥BD,又由DC=CB,根据线段垂直平分线的性质,可证得AD=AB,即可得:
(2)首先设BC=x,则AC=x-2,由在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,可得方程:
(x-2)2+x2=42,解此方程即可求得CB的长,继而求得CE的长.
∵AB为⊙O的直径,
∴AC⊥BC,
∵DC=CB,
∴AD=AB,
∴∠B=∠D;
设BC=x,则AC=x-2,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴(x-2)2+x2=42,
解得:
x1=1+
7
,x2=1-
(舍去),
∵∠B=∠E,∠B=∠D,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE,
∵CD=CB,
∴CE=CB=1+
此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
显示解析试题篮
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几何变换综合题.
专题:
压轴题.
(1)在Rt△ADE中,解直角三角形即可;
(2)在△AED向右平移的过程中:
(I)当0≤t≤1.5时,如答图1所示,此时重叠部分为一个三角形;
(II)当1.5<t≤4.5时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形;
(III)当4.5<t≤6时,如答图3所示,此时重叠部分为一个五边形.
(3)根据旋转和等腰三角形的性质进行探究,结论是:
存在α(30°
和75°
),使△BPQ为等腰三角形.如答图4、答图5所示.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6.
在Rt△ADE中,AD=6,∠EAD=30°
∴AE=AD•cos30°
=3
,DE=AD•sin30°
=3,
∴△AED的周长为:
6+3
+3=9+3
(I)当0≤t≤1.5时,如答图1所示,此时重叠部分为△D0NK.
∵DD0=2t,∴ND0=DD0•sin30°
=t,NK=ND0•tan30°
=
t,
∴S=S△D0NK=
ND0•NK=
t•
t=
t2;
(II)当1.5<t≤4.5时,如答图2所示,此时重叠部分为四边形D0E0KN.
∵AA0=2t,∴A0B=AB-AA0=12-2t,
∴A0N=
A0B=6-t,NK=A0N•tan30°
(6-t).
∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=
3×
-
(6-t)×
(6-t)=−
6
t2+2
t-
(III)当4.5<t≤6时,如答图3所示,此时重叠部分为五边形D0IJKN.
∵AA0=2t,∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C,
A0B=6-t,D0N=6-(6-t)=t,BN=A0B•cos30°
(6-t);
易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t,∴BI=BC-CI=2t-6,
S=S梯形BND0I-S△BKJ=
[t+(2t-6)]•
(6-t)-
•(12-2t)•
(12-2t)=−
13
t2+20
t-42
综上所述,S与t之间的函数关系式为:
S=
t2(0≤t≤1.5)
−
t−
(1.5<t≤4.5)
t−42
(4.5<t≤6)
(3)存在α,使△BPQ为等腰三角形.
理由如下:
经探究,得△BPQ∽△B1QC,
故当△BPQ为等腰三角形时,△B1QC也为等腰三角形.
(I)当QB=QP时(如答图4),
则QB1=QC,∴∠B1CQ=∠B1=30°
即∠BCB1=30°
∴α=30°
(II)当BQ=BP时,则B1Q=B1C,
若点Q在线段B1E1的延长线上时(如答图5),
∵∠B1=30°
,∴∠B1CQ=∠B1QC=75°
即∠BCB1=75°
∴α=75°
若点Q在线段E1B1的延长线上时(如答图6),
,∴∠B1CQ=∠B1QC=15°
即∠BCB1=180°
-∠B1CQ=180°
-15°
=165°
∴α=165°
综上所述,存在α=30°
,75°
或165°
,使△BPQ为等腰三角形.
本题考查了运动型与几何变换综合题,难度较大.难点在于:
其一,第
(2)问的运动型问题中,分析三角形的运动过程,明确不同时段的重叠图形形状,是解题难点;
其二,第(3)问的存在型问题中,探究出符合题意的旋转角,并且做到不重不漏,是解题难点;
其三,本题第
(2)问中,计算量很大,容易失分.
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