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把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。
2、因式分解与整式乘法的关系
如果把整式乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;
如果把多项式的因式分解看成一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。
3、公因式的定义:
我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
4、确定公因式的方法:
确定公因式的一般步骤:
(1)如果多项式的第一项系数是负数,应把公因式的符
号取“—”;
(2)确定公因式的数字因数:
当各项系数都是整数时,取多项式各项系
数的最大公约数为公因式的系数;
(3)确定公因式的字母及其指数:
取多项式各项都
含有的相同字母(或因式),其指数取最低次。
5、提公因式法:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多
项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
提公因式法的依据是乘法的分配律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的
“逆用”。
6、公式法
(1)用平方差公式因式分解:
(2)用完全平方公式因式分解:
(3)因式分解的一般步骤:
步骤:
①有公因式先提公因式;
②没有公因式,可以尝试公式法因式分解;
③如果上述方法都不可以,可以先整理多项式,然后分解;
④必须分解到最后。
Ø
典例分析
一、因式分解的定义
例1、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是( )
A.(3﹣x)(3+x)=9﹣x2B.m2﹣n2=(m﹣n)(m+n)
C.(y+1)(y﹣3)=﹣(3﹣y)(y+1)D.4yz﹣2y2z+z=2y(2z﹣yz)+z
例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式,那么p+q的值等于 .
举一反三
1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是( )
A.m2﹣m﹣6=(m+2)(m﹣3)B.(m+2)(m﹣3)=m2﹣m﹣6
C.x2+8x﹣9=(x+3)(x﹣3)+8xD.x2+1=x(x+
)
2、已知多项式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可分解成x、y的两个一次因式,则实数m= .
3、先阅读第
(1)题的解答过程,然后再解第
(2)题.
(1)已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1,求m的值.
解法一:
设2x3﹣x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),
则:
2x3﹣x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b
比较系数得
,解得
,∴
解法二:
设2x3﹣x2+m=A•(2x+1)(A为整式)
由于上式为恒等式,为方便计算了取
,2×
=0,故
.
(2)已知x4+mx3+nx﹣16有因式(x﹣1)和(x﹣2),求m、n的值.
二、提公因式法
例1、计算a2(2a)3﹣a(3a+8a4)的结果是( )
A.3a2B.﹣3aC.﹣3a2D.16a5
例2、先化简,再求值:
(1)2(a2b﹣ab2)﹣3(a2b﹣1)+2ab2+1,其中a=1,b=2.
(2)2a(a+b)﹣(a+b)2,其中a=3,b=5.
1、把多项式3m(x﹣y)﹣2(y﹣x)2分解因式的结果是( )
A.(x﹣y)(3m﹣2x﹣2y)B.(x﹣y)(3m﹣2x+2y)
C.(x﹣y)(3m+2x﹣2y)D.(y﹣x)(3m+2x﹣2y)
2、已知a=3+2
,b=3﹣2
,则代数式ab2﹣a2b的值是 .
3、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3,则需用上述方法3次,结果是 .
(3)分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2…+x(x+1)n(n为正整数)结果是 .
三、公式法
例1、已知:
a=2014x+2015,b=2014x+2016,c=2014x+2017,则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是( )
A.0B.1C.2D.3
例2、若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6,则a2+b2= .
1、把多项式x2+ax+b分解因式,得(x﹣1)(x+3),则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3B.a=2,b=﹣3
C.a=﹣2,b=3D.a=﹣2,b=﹣3
2、分解因式:
(a+b)2﹣12(a+b)+36= .
3、阅读与思考:
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,
例如:
将式子x2+3x+2分解因式.
分析:
这个式子的常数项2=1×
2,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×
2.
解:
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
请仿照上面的方法,解答下列问题
(1)分解因式:
x2+7x﹣18=
启发应用
(2)利用因式分解法解方程:
x2﹣6x+8=0;
(3)填空:
若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是 .
课堂闯关
初出茅庐
建议用时:
10分钟
1、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )
A.(a+3)(a﹣3)=a2﹣9B.
C.a2﹣4a﹣5=a(a﹣4)﹣5D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
2、下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4B.x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
C.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3xD.x2+4=(x+2)2
3、将m2(a﹣2)+m(a﹣2)分解因式的结果是( )
A.(a﹣2)(m2﹣m)B.m(a﹣2)(m﹣1)
C.m(a﹣2)(m+1)D.m(2﹣a)(m﹣1)
4、多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是( )
A.2xyB.24x2y3C.﹣2xD.以上都不对
5、对下列各整式因式分解正确的是( )
A.2x2﹣x+1=x(2x﹣1)+1B.x2﹣2x﹣1=(x2﹣1)2
C.2x2﹣xy﹣x=2x(x﹣y﹣1)D.x2﹣x﹣6=(x+2)(x﹣3)
6、10名运动员参加乒乓球比赛,其中每两名恰好比赛一场,比赛中,没有平局,第一名胜x1局,负y1局;
第二名胜x2局,负y2局;
…;
第十名胜x10局,负y10局,若记M=x12+x22+…+x102,N=y12+y22+…+y102,则( )
A.M<NB.M>N
C.M=ND.M、N的大小关系不确定
7、由(x﹣2)(x﹣1)=x2﹣3x+2,则x2﹣3x+2分解因式为 .
8、若4a2+kab+9b2可以因式分解为(2a﹣3b)2,则k的值为 .
9、分解因式:
3a3﹣12a2b+12ab2= .
10、分解因式:
﹣2xy2+8xy﹣8x= .
优学学霸
15分钟
1、仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
设另一个因式为(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4,m=3n,解得:
n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.
问题:
(1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a),则a= ;
(2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5),则b= ;
(3)仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.
2、先化简,再求值:
(1)已知a+b=2,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值.
(2)求(2x﹣y)(2x+y)﹣(2y+x)(2y﹣x)的值,其中x=2,y=1.
3、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的关于x,y的二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1•a2,把y2项系数c分解成两个因数c1,c2的积,即c=c1•c2,并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:
ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y).
例:
分解因式:
x2﹣2xy﹣8y2.
如图1,其中1=1×
1,﹣8=(﹣4)×
2,而﹣2=1×
2+1×
(﹣4).
∴x2﹣2xy﹣8y2=(x﹣4y)(x+2y)
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解,如图2,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);
x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
如图3,其中1=1×
1,﹣3=(﹣1)×
3,2=1×
2;
而2=1×
3+1×
(﹣1),1=(﹣1)×
2+3×
1,3=1×
1;
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=(x﹣y+1)(x+3y+2)
请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:
①6x2﹣17xy+12y2=
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=
(2)若关于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积,求m的值.
考场直播
1、【2016春•深圳期末】仔细阅读下面例题,解答问题:
设另一个因式为(x+n),得
x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴
解得:
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
2、【2015•深圳】因式分解:
(1)6xy2﹣9x2y﹣y3
(2)(p﹣4)(p+1)+3p.
自我挑战
30分钟
1、下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.2a2﹣2a+1=2a(a﹣1)+1B.(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2
C.x2﹣6x+5=(x﹣5)(x﹣1)D.x2+y2=(x﹣y)2+2xy
2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.m(a+b)=ma+mbB.a2﹣a=2=a(a﹣1)﹣2
C.﹣4a2+9b2=(﹣2a+3b)(2a+3b)D.x2﹣
=(x﹣
)(x+
3、多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是( )
A.5mx2B.﹣5mx3C.mxD.﹣5mx
4、多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是( )
A.﹣6ab2B.﹣6ab2cC.﹣ab2D.﹣6a3b2c
5、下列因式分解正确的是( )
A.m2+n2=(m+n)(m﹣n)B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2
C.a2﹣a=a(a﹣1)D.a2+2a+1=a(a+2)+1
6、因式分解的结果是(x+y﹣z)(x﹣y+z)的多项式是( )
A.x2﹣(y+z)2B.(x﹣y)2﹣z2C.﹣(x﹣y)2+z2D.x2﹣(y﹣z)2
7、多项式xn﹣yn因式分解的结果是(x﹣y)(x+y)(x2+y2),则n= .
8、因式分解:
6x3y﹣12xy2+3xy= .
(3a﹣b)(a+b)﹣ab﹣b2= .
10、把下列各式分解因式:
(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3.
11、下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
设x2﹣4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?
.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
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- 初二 因式分解 提高 同步 讲义