届高三数学一轮复习导学案教师讲义第9章第5讲 椭 圆文档格式.docx
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a,b,c
的关系
c2=a2-b2
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)平面内两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(4)方程mx2+ny2=1(m>
0,n>
0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(5)+=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( )
(6)+=1(a>
b>
0)与+=1(a>
0)的焦距相等.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
(4)√ (5)×
(6)√
已知椭圆+=1(m>
0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2 B.3
C.4D.9
解析:
选B.依题意有25-m2=16,因为m>
0,所以m=3.选B.
(教材习题改编)椭圆C的一个焦点为F1(0,1),并且经过点P(,1)的椭圆的标准方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
选D.由题意可设椭圆C的标准方程为+=1(a>
0),且另一个焦点为F2(0,-1),
所以2a=|PF1|+|PF2|=+=4.
所以a=2,又c=1,所以b2=a2-c2=3.
故所求的椭圆方程为+=1,故选D.
(教材习题改编)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍,则C的离心率为( )
A.B.
C.D.
选D.不妨设椭圆C的方程为+=1(a>
0),则2a=2b×
3,即a=3b.所以a2=9b2=9(a2-c2).
即=,所以e==,故选D.
若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
由已知得解得3<
k<
5且k≠4.
(3,4)∪(4,5)
(教材习题改编)椭圆C:
+=1的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,则△F1AB的周长为________.
△F1AB的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|
=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.
在椭圆+=1中,a2=25,a=5,
所以△F1AB的周长为4a=20.
20
椭圆的定义及应用(高频考点)
[学生用书P156]
椭圆的定义是每年高考的重点,题型既有选择、填空题,也有时出现在解答题的已知条件中.主要命题角度有:
(1)利用定义求轨迹方程;
(2)利用定义解决“焦点三角形”问题.
[典例引领]
角度一 利用定义求轨迹方程
(1)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线D.圆
(2)已知两圆C1:
(x-4)2+y2=169,C2:
(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.-=1B.+=1
C.-=1D.+=1
【解析】
(1)连接QA.由已知得|QA|=|QP|.
所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.
又因为点A在圆内,所以|OA|<
|OP|,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.故选A.
(2)设圆M的半径为r,
则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>
8=|C1C2|,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,
且2a=16,2c=8,
故所求的轨迹方程为+=1.
【答案】
(1)A
(2)D
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F1、F2是椭圆C:
+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且1⊥2,若△PF1F2的面积为9,则b=________.
【解析】 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则
所以2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2,
又因为S△PF1F2=r1r2=b2=9,所以b=3.
【答案】 3
1.在本例中增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.
解:
由原题得b2=a2-c2=9,
又2a+2c=18,所以a-c=1,解得a=5,
故椭圆的方程为+=1.
2.在本例中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2=60°
”“S△PF1F2=3”,结果如何?
|PF1|+|PF2|=2a,又∠F1PF2=60°
,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°
=|F1F2|2,
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2,
所以3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
所以|PF1||PF2|=b2,
又因为S△PF1F2=|PF1||PF2|·
sin60°
=×
b2×
=b2=3,
所以b=3.
椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:
一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆;
二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
(2)椭圆的定义式必须满足2a>
|F1F2|.
[通关练习]
1.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:
(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值和最大值分别为( )
A.9,12 B.8,11
C.8,12D.10,12
选C.如图,
由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;
连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.
2.已知椭圆C:
+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1B.+y2=1
选A.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,
又==,所以c=1,所以b2=2,
所以C的方程为+=1,选A.
椭圆的标准方程[学生用书P157]
(1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( )
A.+y2=1B.+=1
C.+y2=1或+=1D.以上答案都不对
(2)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( )
【解析】
(1)直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,
所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,b=2,c=1,
所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2·
2c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.
【答案】
(1)C
(2)A
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a、b;
若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
1.已知F1,F2分别是椭圆E:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,点在椭圆上,且点(-1,0)到直线PF2的距离为,其中点P(-1,-4),则椭圆E的标准方程为( )
A.x2+=1B.+y2=1
C.x2+=1D.+y2=1
选D.设F2的坐标为(c,0)(c>0),则kPF2=,故直线PF2的方程为y=(x-c),即x-y-=0,点(-1,0)到直线PF2的距离d===,即=4,
解得c=1或c=-3(舍去),所以a2-b2=1.①
又点在椭圆E上,所以+=1,②
由①②可得所以椭圆E的标准方程为+y2=1.故选D.
2.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则该椭圆的方程为________.
设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>
0,且m≠n).
因为椭圆经过P1,P2两点,
所以P1,P2点坐标适合椭圆方程,
①②两式联立,解得
所以所求椭圆方程为+=1.
+=1
椭圆的几何性质(高频考点)
[学生用书P157]
椭圆的几何性质是每年高考的热点,主要涉及椭圆的离心率问题,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度中等及以上.主要命题角度有:
(1)求椭圆的离心率问题;
(2)椭圆中的范围问题.
角度一 求椭圆的离心率问题
(1)(2017·
高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C:
0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B.
(2)设A1、A2分别为椭圆+=1(a>
0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得kPA1·
kPA2>
-,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0,)B.(0,)
C.(,1)D.(,1)
【解析】
(1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx-ay+2ab=0的距离d==a,得a2=3b2,所以C的离心率e==.
(2)椭圆+=1(a>
0)的左、右顶点分别为A1(-a,0)、A2(a,0),设P(x0,y0),根据题意,kPA1·
kPA2=>
-,而+=1,所以a2-x=,于是<
,即<
,1-e2<
,所以e>
,又e<
1,故<
e<
1,选C.
【答案】
(1)A
(2)C
角度二 椭圆中的范围问题
(2017·
高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C:
+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°
,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)
【解析】 依题意得,或
,所以
或,解得0<
m≤1或m≥9.故选A.
【答案】 A
(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系.
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.
1.(2016·
高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
选A.设E(0,m),则直线AE的方程为-+=1,由题意可知M,和B(a,0)三点共线,则=,化简得a=3c,则C的离心率e==.
2.如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·
的最大值为________.
设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,
因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.
故所求椭圆方程为+=1.
所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.
因为F(-1,0),A(2,0),
=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),
所以·
=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,·
取得最大值4.
4
直线与椭圆的位置关系
[学生用书P158]
已知椭圆C:
0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)是否存在斜率为2的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y=上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足=?
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,说明理由.
【解】
(1)设椭圆C的焦距为2c,则c=1,
因为A在椭圆C上,
所以+=1,又a2=b2+c2,
所以a=,b=c=1.
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=2x+t,
设M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),
MN的中点为D(x0,y0),
由消去x,得9y2-2ty+t2-8=0,
所以y1+y2=且Δ=4t2-36(t2-8)>
0,
故y0==且-3<
t<
3,
由=,知四边形PMQN为平行四边形,
而D为线段MN的中点,因此D为线段PQ的中点,
所以y0==,可得y4=,
又-3<
3,可得-<
y4<
-1,
因此点Q不在椭圆上,故不存在满足题意的直线l.
解决直线与椭圆位置关系问题的方法
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
=(k为直线斜率).
[注意] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
已知椭圆C:
0)的焦距为4,且经过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l经过M(0,1),与C交于A,B两点,=-,求直线l的方程.
(1)依题意,2c=4,则椭圆C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=+=6,
即有a=3,则b2=a2-c2=5,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)若l与x轴垂直,则l的方程为x=0,
A,B为椭圆短轴的两个端点,不符合题意.
若l与x轴不垂直,设l的方程为y=kx+1,
由得(9k2+5)x2+18kx-36=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·
x2=-,易知Δ>
由=-,得(x1,y1-1)=-(x2,y2-1)
即有x1=-x2,
可得x2=-,-x=-,
即有=,
解得k=±
,故直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
椭圆标准方程的求法
求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标轴上,确定标准方程形式;
再“定量”,就是根据已知条件,通过解方程(组)等手段,确定a2,b2的值,代入所设的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置,这时的方程常可设为mx2+ny2=1(m>
0且m≠n).
求离心率常用的两种方法
(1)求得a,c的值,代入公式e=即可;
(2)列出a,b,c的方程或不等式,根据b2=a2-c2将b消掉,转化为含有a和c的关系式,最后转化为关于e的方程或不等式.
椭圆焦点三角形的常见性质
以椭圆+=1(a>
0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1|+|PF2|=2a;
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·
cosθ;
(3)S△PF1F2=|PF1||PF2|·
sinθ,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值bc;
(4)焦点三角形的周长为2(a+c);
(5)当P为短轴端点时,θ最大;
(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I,延长PI交F1F2于点Q,则==,所以===(e为离心率).
解决椭圆的方程及性质问题应注意三点
(1)判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程中x2和y2的分母大小.
(2)关于离心率的范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为0<
1.
(3)注意椭圆的范围,在设椭圆+=1(a>
0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
[学生用书P317(单独成册)]
1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值是( )
A.6或9 B.5
C.1或9D.3或5
选D.由题意,得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;
当椭圆的点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3,所以m的值是3或5,故选D.
0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为( )
选C.由题意知e==,所以e2===,即a2=b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1,故选C.
3.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( )
A.3B.3或
C.D.6或3
选C.由已知a=2,b=,c=1,则点P为短轴顶点(0,)时,∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2)为直角顶点,此时|PF1|==,S△PF1F2=·
·
2c==.故选C.
4.已知F是椭圆+=1(a>
0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴,|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是( )
选B.由题可知点P的横坐标是-c,代入椭圆方程,有+=1,得y=±
.又|PF|=|AF|,即=(a+c),化简得4c2+ac-3a2=0,即4e2+e-3=0,解得e=或e=-1(舍去).
5.如图,椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°
,则a的值为( )
A.2B.3
C.4D.5
选B.b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos120°
==-,化简得8a=24,即a=3,故选B.
6.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是________.
因为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则由得故k的取值范围为(1,2).
(1,2)
7.若n是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是________.
由n2=2×
8,得n=±
4,当n=4时,曲线为椭圆,其离心率为e==;
当n=-4时,曲线为双曲线,其离心率为e==.
或
8.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是_________________________________.
设椭圆C的方程为+=1(a>
0).
由题意知
所以椭圆C的方程为+=1.
9.已知椭圆C:
x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1.
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e==.
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·
=0,
即tx0+2y0=0,
解得t=-.又x+2y=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2
=x+y++4=x+++4=++4(0<
x≤4).
因为+≥4(0<
x≤4),
当且仅当x=4时等号成立,
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
10.(2018·
陕西质量检测)已知椭圆与抛物线y2=4x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.
(1)依题意,设椭圆的标准方程为+=1(a>
0),
由题意可得c=,又e==,所以a=2.
所以b2=a2-c2=2,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由=2,得
验证易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,所以x1+x2=,x1·
x2=.
将x1=-2x2代入上式可得,()2=,
解得k2=.
所以△AOB的面积S=|OP|·
|x1-x2|==·
=.
1.(2018·
广州综合测试
(一))已知F1,F2分别是椭圆C:
0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使得∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(,1)B.(,1)
C.(0,)D.(0,)
选A.法一:
设P(x0,y0),由题
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