全国卷理科数学试题及答案Word格式.docx
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全国卷理科数学试题及答案Word格式.docx
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11.若是函数的极值点,则的极小值为()
A.B.C.D.1
12.已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是()
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则.
14.函数()的最大值是.
15.等差数列的前项和为,,,则.
16.已知是抛物线:
的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
的内角所对的边分别为,已知,
(1)求;
(2)若,的面积为2,求.
18.(12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)某频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
19.(12分)
如图,四棱锥中,侧面为等比三角形且垂直于底面,是的中点.
(1)证明:
直线平面PAB
(2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值
20.(12分)
设为坐标原点,动点在椭圆:
上,过做轴的垂线,垂足为,点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点在直线上,且.证明:
过点且垂直于的直线过的左焦点.
21.(12分)
已知函数,且。
(2)证明:
存在唯一的极大值点,且.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知,证明:
(1);
(2).
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
理科数学参考答案
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
13.1.96 14.1 15. 16.6
17.(12分)解:
(1)由题设及得,故
上式两边平方,整理得
解得
(2)由,故
又
由余弦定理及得
所以
解:
(1)记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50”,表示事件“新养殖法的箱产量不低于50”.
由题意知
旧养殖法的箱产量低于50的频率为
,
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50的频率为
故的估计值为0.66
因此,事件的概率估计值为
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
由于,故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于的直方图面积为
箱产量低于的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
(1)取的中点,连接,
因为是的中点,
所以,
由
得,
又,
四边形是平行四边形,,
又平面,平面,
故平面
(2)由已知得,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则
设,则
因为与底面所成的角为,而是底面的法向量,
即 ①
又在棱上,设,则
②
由①,②解得(舍去),
所以,从而
设是平面的法向量,则
即
所以可取,
于是
因此二面角的余弦值为
(1)设,,
则
由得
因为在上,所以
因此点的轨迹方程为
(2)由题意知
由得
又由
(1)知,故
所以,即.
又过点存在唯一直线垂直于,
所以过点且垂直于的直线过的左焦点.
(1)的定义域为
设,则等价于
因为,
故,
而,
得
若,则
当时,单调递减;
当时,单调递增
所以是的极小值点,故
综上,
(2)由
(1)知
当时,;
当时,.
所以在单调递减,在单调递增.
又,所以在有唯一零点,在有唯一零点1,且当时,;
因为,所以是的唯一极大值点.
由得,故.
由得.
因为是在的最大值点,由得
.
22.解:
(1)设的极坐标为,的极坐标为.
由题设知
由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
(2)设点的极坐标为.
由题设知,
于是面积
当时,取得最大值
所以面积的最大值为
11
23.解:
(1)
(2)因为
所以,因此.
12
2016年全国卷2理科数学试题及答案解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
第Ⅰ卷
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是
(A)(,)(B)(,)(C)(,)(D)(,)
(2)已知集合,,则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知向量,且,则
(A)(B)(C)(D)
(4)圆的圆心到直线的距离为1,则
(A)(B)(C)(D)
(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A)24
(B)18
(C)12
(D)9
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π(B)24π
(C)28π(D)32π
(7)若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为
(A)(B)
否
是
输入
输出
开始
结束
(C)(D)
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的为2,2,5,则输出的
(A)7(B)12(C)17(D)34
(9)若,则
(A)(B)(C)(D)
(10)以从区间随机抽取个数,构成个数对,其中两数的平方和小于1的数对共有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
(A)(B)(C)(D)
(11)已知是双曲线:
的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为
(A)(B)(C)(D)
(12)已知函数满足,若函数与图像的交点为,则
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题,每个试题都必须作答。
第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答。
本题共4小题,每小题5分。
(13)的内角的对边分别为,若,则.
(14)是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:
①如果,,,那么.
②如果,,那么.
③如果,,那么.
④如果,,,那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)
(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.
(16)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
为等差数列的前项和,且.记,其中表示不超过的最大整数,如,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求数列的前1000项和.
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
概率
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形的对角线与交于点,,,点分别在上,,交于点.将沿折到的位置,.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
(20)(本小题满分12分)
已知是椭圆:
的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,.
(Ⅰ)当,时,求的面积;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当时,;
(Ⅱ)证明:
当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
请考生在第(22)~(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在正方形中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作,垂足为.
四点共圆;
(Ⅱ)若,为的中点,求四边形的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数),与交于两点,,求的斜率.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数,为不等式的解集.
2016年全国卷Ⅱ高考数学(理科)答案
一.选择题:
(1)A
(2)C(3)D(4)A(5)B(6)C
(7)B(8)C(9)D(10)C(11)A(12)C
二、填空题
(13)(14)②③④(15)1和3(16)
三.解答题
(17)(本题满分12分)
(Ⅰ)设的公差为,据已知有,学.科.网解得
所以的通项公式为
(Ⅱ)因为
所以数列的前项和为
(18)(本题满分12分)
(Ⅰ)设表示事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1,故
(Ⅱ)设表示事件:
“一续保人本年度的保费比基本保费高出”,则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3,故
又,故
因此所求概率为
(Ⅲ)记续保人本年度的保费为,则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
(19)(本小题满分12分)
(I)由已知得,,又由得,故.
因此,从而.由,得.
由得.所以,.
于是,,
故.
又,而,
所以.
(II)如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.设是平面的法向量,则,即,所以可以取.于是,.因此二面角的正弦值是.
(20)(本小题满分12分)
(I)设,则由题意知,当时,的方程为,.
由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或,所以.
因此的面积.
(II)由题意,,.
将直线的方程代入得.
由题设,直线的方程为,故同理可得,
由得,即.
当时上式不成立,
因此.等价于,
即.由此得,或,解得.
因此的取值范围是.
(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)的定义域为.
且仅当时,,所以在单调递增,
因此当时,
(II)
由(I)知,单调递增,对任意
因此,存在唯一使得即,
当时,单调递增.
因此在处取得最小值,最小值为
于是,由单调递增
所以,由得
因为单调递增,对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上,当时,有,的值域是
(22)(本小题满分10分)
(I)因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
(II)由四点共圆,知,连结,
由为斜边的中点,知,故
因此四边形的面积是面积的2倍,即
(23)(本小题满分10分)
(I)由可得的极坐标方程
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
由得,
所以的斜率为或.
(24)(本小题满分10分)
(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;
(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,.
试题解析:
(I)
当时,由得解得;
当时,;
当时,由得解得.
所以的解集.
(II)由(I)知,当时,,从而
因此
36
2015年全国卷2理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=()
(A){--1,0}(B){0,1}(C){-1,0,1}(D){,0,,1,2}
(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()
(A)-1(B)0(C)1(D)2
(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:
万吨)柱形图。
以下结论不正确的是()
(A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
(B)2007年我国治理二氧化硫排放显现
(C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
(4)等比数列{an}满足a1=3,=21,则()
(A)21(B)42(C)63(D)84
(5)设函数,()
(A)3(B)6(C)9(D)12
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
(A)(B)(C)(D)
(7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=
(A)2(B)8
(C)4(D)10
(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=
A.0B.2C.4D.14
(9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为
A.36πB.64πC.144πD.256π
10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为
(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°
,则E的离心率为
(A)(B)2(C)(D)
(12)设函数f’(x)是奇函数的导函数,f(-1)=0,当时,,则使得成立的x的取值范围是
A. B.
C. D.
(13)设向量,不平行,向量与平行,则实数_________.
(14)若x,y满足约束条件,则的最大值为____________.
(15)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________.
(16)设是数列的前n项和,且,,则________.
三.解答题
(17)∆ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,∆ABD是∆ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若=1,=求和的长.
(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:
62738192958574645376
78869566977888827689
B地区:
73836251914653736482
93486581745654766579
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎
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