高考数学立体几何中的建系设点问题Word文档格式.docx
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两个平面垂直,则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④
直棱柱:
侧棱与底面垂直
(2)线线垂直(相交垂直):
正方形,矩形,直角梯形
等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一)
菱形的对角线相互垂直
勾股定理逆定理:
若
AB
2
+
AC
=
BC
,则
⊥
AC
(二)坐标的书写:
建系之后要能够快速准确的写出点的坐标,按照特点可以分为
3
类
1、能够直接写出坐标的点
(1)
坐标轴上的点,例如在正方体(长度为
1)中的
A,
C,
D
'
点,坐标特点如下:
轴:
(x,0,0
)y
(0,
y,0
)z
(0,0,z
)
规律:
在哪个轴上,那个位置就有坐标,其余均为
(2)底面上的点:
坐标均为
(x,
)
,即竖坐标
0
,由于底面在作立体图时往往失真,
所以要快速正确写出坐标,强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考:
以上图为例:
则可快速写出
I
点的坐标,位置关系清晰明了
⎛
1⎫⎛
1⎫
⎝
2⎭⎝
2⎭
2、空间中在底面投影为特殊位置的点:
如果
(x
在底面的投影为
0
,那么
1122
A
(即点与投影点的横纵坐标相同)
1212
由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的投影点,坐标是否好写。
如果可
以则直接确定了横纵坐标,而竖坐标为该点到底面的距离。
例如:
正方体中的
B
点,其投
影为
,而
(1,1,0)
所以
(1,1,z
),而其到底面的距离为1
,故坐标为
(1,1,1)
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点,但总还有一些特殊点,那么就要用到第三
个方法:
3、需要计算的点
中点坐标公式:
),
11122
2
⎭
图中的
F
等中点坐标均可计算
利用向量关系进行计算(先设再求):
向量坐标化后,向量的关系也可转化为坐标的关系,
进而可以求出一些位置不好的点的坐标,方法通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利
用向量关系解出变量的值,例如:
求
点的坐标,如果使用向量计算,则设
,
可直接写出
(1,0,0
(1,1,0),
(1,1,1)
,观察向量
(0,1,0)
⎧
-
1
0⎧
1
⎪⎪
⎩⎩
二、典型例题:
例
:
在
三
棱
锥
P
ABC
中
,
PA
平
面
∠BAC
90
D,
E,
分
别
是
棱
AB,
CD
的中点,
1,
,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐
标
P
解:
平面
∴
90∴
PA,
两两垂直
以
AP,
为轴建立直角坐标系
D
坐标轴上的点:
(0,0,0
C
(0,1,0),
(0,0,2
E
⎫
⎛1
⎝2⎭
1⎫⎛1⎫
2⎭⎝2⎭
小炼有话说:
本讲中为了体现某些点坐标的来历,在例题的过程中进行详细书写。
这些过程
在解答题中可以省略。
2:
在长方体
ABCD
中,E,
分别是棱
CC
上的点,CF
2CE
11111
:
AD
AA
1:
4
,建立适当的直角坐标系并写出点的坐标
思路:
建系方式显而易见,长方体
两两垂直,
A1
D1
本
题
所
给
的
线
段
比
如
果
设
a,
2a,
4a
等,则点的坐标都含有
a
,不
便于计算。
对待此类问题可以通过设单位长度,从而使得坐
标都为具体的数。
B1
C1
因为长方体
1111
AD,
为轴如图建系,设
为单位长度
2,
4,CF
1,CE
(1,2,0
(0,2,0
(1,0,4
(0,0,4
(1,2,4
(0,2,4
3⎫
3:
如图,在等腰梯形
中,AB∥CD
,AD
DC
CB
1,∠ABC
60
,CF
⊥
,且
CF
1,建立适当的直角坐标系并确定各点
坐标。
本题直接有一个线面垂直,所以只需在平面
找
过
的相互垂直的直线即可。
由题意,∠BCD
不是直角。
所
以可以以其中一条边为轴,在底面上作垂线即可构造出两两垂
直的条件,进而可以建立坐标系
方案一:
(选择
为轴),连结
可知
∠ADC
120∴
ADC
中
cos
3
由
=3,
可解得
∠ACB
90
BCCF
ABCD
∴CF
AC,
BCA
为坐标轴如图建系:
方案二(以
为轴)
作
的垂线
CMCF
ABCDA
CD,
CM
CM
(同方案一)计算可得:
=3
33⎫⎛
建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直(即
轴),对于
轴的选取,如
果没有已知线段,可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴,然后作这条轴的垂线来确定另一
条轴,本题中的两个方案就是选过垂足C
的直线为轴建立的坐标系。
4:
已知四边形
满足
AD∥BC,
BA
中点,将
BAE
翻
折
成B
AE
使
得
面
11
为
中点
AD
BECE
在处理翻折问题时,首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变,这些都是作
为已知条件使用的。
本题在翻折时,
是等边三角形,四边形
AECD
的菱形是
不变的,寻找线面垂直时,根据平面B'
,结合
是等边三角形,可
取
中点
M
,则可证
,再在四边形
找一组过
的垂线即可
建系
,连结
M
是等边三角形
AE
AECD
DM∴
ME
MDM
四边形
的菱形
ADE
为等边三角形E
DM
MD,
如图建系,设
1⎫⎛3⎫⎛3⎫⎛3
2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2
⎛33
中点∴
ç
0,,⎪
⎝44
5
图
已
知
四
底
菱
形
对
角
BD
交
于
点
O,OA
4,OB
3,OP
OP
,点
PC
的三等分点(靠近
建立适当的直角坐标系并求各点坐标
,可得
作为
轴,在底面上可利用菱形对角线相互垂直的
性质,选取
OB,OC
轴。
在所有点中只有
的坐标相对麻烦,对于三等分点可得
PM
=PC
,从而转化为向量关系即可求出
坐标
OP
∴OP
OB,OP
OC
菱形
ABCD∴OB
∴OP,OB,OC
OP,OB,OC
为坐标轴如图建系
可得:
(3,0,0
(0,4,0
A(0,
-4,0
(-3,0,0
=PC
33
4),
(0,4,
-4
⎧⎧
⎪
0⎪
⎪⎪8
=-z
=
(1)底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
(2)对于一条线段上的某点分线段成比例,可以利用向量关系将该点坐标计算出来
6:
如图所示的多面体中,已知正方形
与直角梯形
BDEF
所在的平面互相垂直,
EF∥BD,ED
BD,
=2,
EF
ED
,试建立适当的空间直角坐标系并确定各点
题目已知面面垂直,从而可以找到
DE
与底面垂直,再由底面是正方形,可选
DC
轴,图中
点坐标相对麻烦,可以用投影法和向量法计算得到
平面
EFBD
又因为直角梯形
BDEF∴
DB
正方形
ABCD∴
BD
ED,
DA,
DE,
(
2,0,0
2,0
(0,0,1)
底面上的点:
点两种确定方式:
22⎫⎛
22⎫
,1⎪
22⎭⎝
22⎭
设
)∴
1),
DB
2,
⎧2
⎪
12⎛
⎪⎝⎭
⎩
综上所述:
(0,0,1),
2,0
1⎪
7:
如图,在三棱柱
中,H
是正方形
的中心,
1111111
=5
,建立适当的坐标系并确
111
定各点坐标
,从而C
可作
轴,只
H
需在平面
找到过
的两条垂线即可建系(两A
种方案),对于坐标只有
坐标相对麻烦,但由
可以利用向量进行计算。
(利用正方形相邻边垂直关系建系)
如图建系:
则
(-
(0,0,
)A
-2
(-
-2
方案二:
(利用正方形对角线相互垂直建系)
计算可得
(2,0,0
-2,0
(-2,0,0
0,0,
5
(-2,
-2⎧
⎩
0⎩
-2,
本题虽然两种建系方法均可以,但从坐标上可以发现,用方案二写出的坐标相
(
对简单,尤其是底面上的坐标不仅在轴上,而且数比较整齐。
相信所给的
目的
也倾向使用方案二建系)因为在解决立体几何解答题时,建系写坐标是基础,坐标是否整齐
会决定计算过程是否更为简便。
所以若题目中建系有多种选择时,不妨观察所给线段长度的
特点,选择合适的方法建系,为后面的计算打好基础
8:
如图,在四棱柱
中,侧棱
底面ABCD
=1
且点
和
N
分别为
C和D
的中点。
建立合适的空间
直角坐标系并写出各点坐标
可得
两两垂直,进而以它们为轴建
立坐标系,本题中
均可通过投影到底面得到横纵坐标,图中
点坐标相对麻烦,
可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。
侧棱
底面ABCD
∴A
AC∴
(0,1,0
可得ADC
为等腰三角形,若P
为AB
中点,则
DP
DP
=AD
AP
(1,-2,0
)C
可投影到底面上的点:
(0,1,2
(2,0,2
(1,
-2,2
因为
的中点
9:
如图:
已知
PO
上,且
EA∥PO
,四边形
为直
角梯形,
BO
EA
AO
坐标系并求出各点坐标
思
路
条
件
可
D,
而
,EA∥PO
可得到
,从而
EA,
为轴建系。
难点在于求底面梯形中
AB,OD
的长度。
可作出平面图利用平面几何知识处
理。
EA∥PO
∴EA
,建立适当的
AD
AB∴
AB
AE,
两两垂直,如图建系:
Rt
AOB
中:
OB2
OA2
=⇒
∠AOB
60
BO2
AD∥BC∴∠
BOC
BO∴
为等边三角形
∴OC
CD∠OCB
∴∠
DOC
60∴
COD
∴OD
3,0,0
(0,3,0
3,2,0
在底面
投影为
且
2∴
(0,1,2)
10:
已知斜三棱柱
∠BCA
上的射影
恰为
的中点
,又知
,建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
本题建系方案比较简单,
,进而
轴,再过
引
垂线
即可。
难点有二:
一是三棱柱的高未知,进而无法写出上底面点的竖坐标;
二是
的投影
不易在图中作出(需要扩展平面ABC
),第一个问题可先将高设为h
,再利用条件
求解;
第二个问题可以考虑利用向量计算得到。
ABC
为轴建立直角坐标系A
-1,0
(2,1,0
),设高为
h
则
h
),设
∴C
(0,2,
-1,h
(0,3,
⇒
⋅
-3
h2
,解得
=3
2⎩
0,2,
(2,2,0
)且
AB∴⎨
2,2,
综上所述
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