普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷一Word下载.docx
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b>
0),点A是椭圆C的右顶点,点B为
椭圆C的上顶点,点F(-c,0)是椭圆C的左焦点,椭圆的长轴长为
4,且BF⊥AB,则c=
A.-1
B.
C.2
-2
D.
+1
5.设a,b是非零向量.“a·
b=|a||b|”是“a∥b”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.函数f(x)=Asin(
ωx+φ)(A>
0,
ω>
0,|)的部φ分|<
图象如图所示
则
1
A.f(x)=sin(2x-)B.f(x)=sin(x-)
C.f(x)=sin(2x+)D.f(x)=sin(x+)
7.正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16,则的最小值等于
A.1B.C.D.
8.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SA⊥平面ABCD,SA=,BC=1,M为线段SB的中点,动点P,Q分别在线段SC,CD上,则2MP+PQ的最小值是
A.1
C.
9.已知函数f(x)=
若f(2-a2
)>
f(|a|),则实数a的取值范围是
A.(-1,1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(-2,2)
|x-1|
2
的大致图象为
10.函数f(x)=e-e(x-1)
A.B.
C.D.
11.在锐角三角形
ABC中,内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,bcosAcosC=accosB,则角B的取
值范围为
A.(,)
B.[,)
C.[,)
D.(,]
12.已知过原点O的直线交双曲线
-=1(a>
0,b>
0)的左、右两支分别于
A,B两点,F为双曲
线的左焦点,若4|AF|·
|BF|=|AB|2
+2b
则此双曲线的离心率为
A.
二、填空题:
共
4题每题5分共20分
13.已知函数f(x)=x2f'
(2)+3x,则f'
(2)=
.
14.已知在等差数列{an}中,{an}的前n项和为Sn,a1=1,S13=91,若
=6,则正整数k=
15.已知函数f(x)=x(ex-e-x)-cosx的定义域为[-3,3],则不等式f(x2+1)>
f(-2)的解集为
16.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且
点M在边AC上,
且cos∠AMB=-
ABM
的面积等于
BM=则△
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明/证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个考生都必须做答。
第22、23为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题(60分)
17
.已知公比不为
n
6
243成等差数列.
1的等比数列{a
}的前n项和为S,满足S=
且a,a,a
(1)求等比数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,AB⊥BC,B1C⊥BC,B1A⊥AB,B1C=2.
(1)求证:
BB1⊥AC;
(2)求直线AB1和平面ABC所成角的大小.
19.2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:
年龄段
人数(单位:
18018016080
人)
约定:
此单位45岁59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?
(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷
关心民生大事.完成下列2×
2列联表,并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?
热衷关心民生大不热衷关心民生总计
事大事
青年12
3
中年5
总计30
(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任的2人能胜任才艺表演的概率是多少?
附参考数据与参考公式:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20.设椭圆
的右焦点为
过的直线与交于
两点,点
的坐标为.
(1)当与轴垂直时,求直线
的方程;
(2)设为坐标原点,求的值.
21.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<
0时,证明f(x)-≤-2.
(二)选考题(10分)请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)
若C上的点到l距离的最大值为
求a.
23.已知f(x)=|x+1|+|2x-1|.
(1)
画出f(x)的图像并解不等式f(x)
≥3;
(2)若不等式f(x)≥-a||x恒成立,求a的取值范围.
4
文科数学模拟卷
(一)参考答案
1.C
【解析】本题主要考查集合的并、补运算,指数函数的性质,考查的数学核心素养是数学运算.
先根据指数函数的单调性求出集合Q,再利用集合的并、补运算求P∪(?
RQ).
∵2x≤2,
x≤1,Q={x|x≤1},R
Q={x|x>
1},
所以P∪(?
RQ)={x|x≥1}.
∴
∴?
故选
2.B
【解析】本题考查复数的基本运算以及复数相等的概念,考查考生对基础知识的掌握情况.将
等号两边同时乘以i,然后利用复数相等列出方程组求解即可;
也可直接利用复数的除法运算
化简,然后利用复数相等列出方程组求解即可.
解法一
由已知可得
a+2i=(b+i)i,即a+2i=bi-1.
由复数相等可得
所以a+b=1.
解法二
=2-ai=b+i,由复数相等可得
解得
3.B
4.A
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质
考查考生的运算求解能力
.由BF⊥AB及
OB⊥AF,得到|BO|2=|OF||OA|,·
结合a2=b2+c2得到的值,从而根据a=2得到c的值.
由题意得A(a,0),B(0,b),由BF⊥AB及OB⊥AF,得|BO|=|OF|
|OA|,·
即b=ac,又a=b+c,所以
ac=a2-c2,即e2+e-1=0,解得e=
或e=-
(舍去),又a=2,
所以c=-1.
5.A
【解析】本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算,意在考查考生分析问题、解决
问题的能力.解题思路为按充分、必要条件的定义解题.
若a·
b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·
b=|a||b|,或a·
b=-|a||b|,所以“a·
b=|a||b|”
是“a∥b”的充分而不必要条件,选A.
6.C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的读图与识图能力、综合分析问题
和解决问题的能力.
由题中图象可知
A=
又
所以函数f(x)的最小正周期T=4×
=π,ω=
=2,结合题中
图象可知f()=
sin(+φ)=0,所以
+φ=kπ∈(kZ),因为|φ|<
所以φ=,即f(x)=
sin(2x+).
【备注】【解题思路】首先根据题中图象可以得到
然后由T=4×
(
)求出函数f(x)
的最小正周期
T,进而可得ω,最后结合特殊点可求
φ,即可求出f(x).
7.B
【解析】先由通项公式列式求公比
再代入已知条件确定
n,m的大小关系式,最后用基本不等
式求最小值.设{an}的公比为q(q>
0),
∵a2014q2=a2014q+2a2014,∴q2-q-2=0,∴q=2或q=-1(舍去),
5
又a1qm-1·
a1qn-1=16,∴qm+n-2=16,∴m+n-2=4,m+n=6,∴=()·
(5+
)≥(5+2)=,当且仅当m=4,n=2时等号成立,故选B.
8.D
【解析】本题主要考查立体几何中的动点问题,考查考生的空间想象能力、运算求解能力、
推理论证能力.先根据题意证明CD⊥平面SAD,BC⊥平面SAB,得到对于给定的点P,PQ达到
最短的条件,然后可以利用函数的有关知识求最值,也可以通过线面位置关系的有关证明及平
面几何的有关知识求最值.
因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD,
又SA⊥平面ABCD,CD?
平面ABCD,所以CD⊥SA,又SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD,同理
BC⊥平面SAB.
易知对于给定的点P,当且仅当PQ⊥CD时,PQ达到最短.
设SP=t,t∈[0,
],cos∠BSC=
则PM=
≥,
又
?
PQ=1-
t,
记2y=2(MP+
PQ)?
y=
+1-t,
移项平方得(y-1+t)2=1+t2-t,
化简可得t2-
(1+y)t+2y-y2=0,
由方程有解可得=[(1+y)]2-4×
×
(2y-y2)≥0?
5y2-6y+1≥0
解得y≥1或y≤(舍去),故2MP+PQ=2y≥2,故选D.
解法二如图,将四棱锥S-ABCD补成长方体STUV-ABCD,
对于给定的点P,当且仅当PQ⊥CD时,PQ达到最短.过点P作PH⊥平面CDVU,连接HQ,由SA=,BC=1,得SD=2,
则cos∠SDA=cos∠HPQ=,
则PH=PQ·
cos∠HPQ=PQ,
则2MP+PQ=2(MP+PQ)=2(MP+PH),
当且仅当M,P,H三点共线时MP+PH的值达到最小,易知此时MP+PH=1,即(2MP+PQ)min=2.9.A
【解析】本题是函数与不等式的综合题,考查函数的单调性,考查运算求解能力、分类讨论思想、数形结合思想.根据分段函数的单调性,数形结合求解.
由题意知,f(x)=作出函数f(x)的大致图象如图所示,由函数f(x)的图象可
知,函数f(x)在R上单调递增,由f(2-a2)>
f(|a|),得2-a2>
|a|.当a≥0时,有2-a2>
a,即(a+2)(a-1)<
0,解得-2<
a<
1,所以0≤a<
1;
当a<
0时,有2-a2>
-a,即(a-2)(a+1)<
0,解得-1<
2,所以-1<
0.综上所述,
实数a的取值范围是(-1,1).故选A.
10.B
【解析】先根据函数图象的平移变换可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,再利用特殊值,排除错误选项.
设函数g(x)=e|x|-ex2,则g(-x)=e|x|-ex2=g(x),所以g(x)为偶函数,易知f(x)的图象可以看作是由g(x)
的图象向右平移
1个单位长度得到的,故f(x)的图象关于直线
x=1
对称,排除A,D,又
=1,排除C,故选B.
f
(1)=e-e
(1-1)
11.B
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、
两角和的正切公式、正弦定理和余弦定理
在解三角形中的应用等知识
考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力
考查数
学运算、逻辑推理的核心素养
利用正弦定理、同角三角函数的基本关系、
两角和的正切公式以及一元二次方程根
的判别式进行求解;
利用余弦定理进行求解.
由b2cosAcosC=accos2B及正弦定理,得sin2BcosAcosC=sinAsinCcos
2B,即
tan2B=tanAtanC,所以tan2B=-tanAtan(A+B),即tan2B=-tanA
·
整理得
tanA-(tanB-tanB)tanA+tan
B=0,则关于tanA的一元二次方程根的判别式
=(tanB-tan
B)2-4tan2B≥0,又△ABC为锐角三角形,所以得(tan2B-3)(tan2B+1)≥0,得tanB
≥,所以≤B<
=ac·
由bcosAcosC=accosB及余弦定理,得b·
),即
(b2+c2-a2)·
(b2+a2-c2)=(c2+a2-b2)2,即b4-(a2-c2)2=b4+(c2+a2)2-2b2(c2+a2),化简得a4+c4=b2(c2+a2),则
cosB=≤,当且仅当a=c时等号成立,又△ABC为锐角三角
形,所以≤B<
12.B
【解析】本题考查双曲线的定义和几何性质,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想,
考查数学运算的核心素养.
先根据双曲线的对称性,构造平行四边形AF1BF,再根据平行四边形的性质,得到
|AB|2+|FF1|2=2(|AF|2+|AF1|2),最后根据双曲线的定义即可求解.根据双曲线的对称性,将△ABF补形为平行四边形AF1BF(如图),
7
则F1为双曲线的右焦点,根据平行四边形的性质,得|AB|2+|FF1|2=2(|AF|2+|AF1|2).
根据双曲线的定义
得|AF|-|AF1|=2a,两边平方得,|AF|2+|AF1|2-2|AF||AF·
1|=4a2,即
|AB|
+|FF1|=2(4a+2|AF||AF·
1|),
又|AF1|=|BF|,∴|AB|2+(2c)2=2(4a2+2|AF||BF|)·
∵4|AF|·
|BF|=|AB|2+2b2,∴4c2=8a2+2b2,又b2=c2-a2,∴c2=3a2,
∴双曲线的离心率e=.
13.-1
【解析】函数
f(x)=x2f'
(x)=2xf'
(2)+3,所以f'
(2)=4f'
(2)+3,解得f'
(2)=-1.
14.11
【解析】本题考查等差数列的性质及前n项和,考查考生的运算能力.由a1=1,S13=91,得出通
项公式
an,然后求出Sk,从而可求出正整数k的值.
设等差数列{an}的公差为d,则由S13=91,得13a1+
d=91,根据a1=1,得d=1,所以
an=n,所以Sk=
由
=6,得k=11.
设等差数列{an}的公差为d,在等差数列{an}中,由S13=91及等差数列的性质
可得
13a7=91,所以a7=7,由a1=1,a7=7,可得公差d=1,所以an=n,所以Sk=
=6,得k=11.
15.[-
-1)∪(1,
]
【解析】本题主要考查函数的定义域、函数的单调性、一元二次不等式的求解等
考查化归
与转化思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力
.先判断出函数
f(x)的奇
偶性,然后判断出函数
f(x)在[0,3]上的单调性,最后将不等式转化为一元二次不等式进行求解.
因为f(-x)=-x(e-x-ex)-cos(-x)=x(e
x-e-x)-cosx=f(x),所以函数f(x)为偶函数,易知函数y=x(ex-)在
[0,3]上为增函数,函数y=-cosx
在[0,3]上为增函数,故函数f(x)=x(ex-e-x)-cosx在
[0,3]
上为增函
数.由f(x
f(x
+1)>
f(-2)
f
(2),
可得
2<
x+1≤3,解得-≤x<
-1或1<
x≤,
故不等式
f(x2+1)>
f(-2)的解集为[-
-1)∪(1,
].
16.
【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形
考查综合分析问题、解决问题的能力
考
查运算求解能力和应用意识.
首先根据正弦定理
结合
求出角A,然后求出AB的长,利用余弦定理求出
AM
的
长,最后结合三角形的面积公式求解即可
8
在△ABC中,,则由正弦定理得,,∴
∴,又sin(A+C)=sinB≠0,
∴cosA=,∵0<
A<
π,∴A=,
由cos∠AMB=-
得sin∠AMB=
在△AMB中,
即
∴AB=4.
设AM=x,
在△AMB中,AB2=AM2+BM2-2AM·
BMcos∠AMB,
∴x2+7-2x×
×
(-)=16,即x2+2x-9=0,解得x=或x=-3(舍去),
∴S△AMB=AM·
AB·
sinA=
4sin
17.
(1)设数列{an}的首项为
a1,公比为q(q≠1),
由题意得
n-1
从而an=a1q
=3(-).
(2)由
(1)得bn=3n(-)n-1,
由Tn=3×
(-)0+3×
2×
(-)+3×
3×
(-)2+⋯+3n×
(-)n-1,①
-Tn=3×
(-)2+3×
(-)3+⋯+3n×
(-)n,②
由①-②得Tn=3×
(-)+3
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