届高考理科数学第二轮复习综合能力训练1Word文件下载.docx
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C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.设函数y=xcosx-sinx的图象上的点(x0,y0)处的切线的斜率为k,若k=g(x0),则函数k=g(x0)的图象为( )
8.已知X的分布列如表:
X
-1
1
2
P
a
b
c
且b2=ac,a=,则E(X)=( )
9.在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为( )
10.已知△ABC的面积为8,cosA=,D为BC上一点,,过点D作AB,AC的垂线,垂足分别为E,F,则=( )
AB.-CD.-
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均属章》有如下问题:
“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?
”其意思是:
“已知A,B,C,D,E五人分5钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?
”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,E得 钱.
12.若复数z=4+3i,其中i是虚数单位,则复数z的模为 ,的值为 .
13.(2018浙江镇海中学5月模拟)(x2+1)的展开式所有项系数和为 ,常数项为 .
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,b=,C=30°
则c= ,△ABC的面积S= .
15.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则CP·
CD= ,= .
16.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有 种.
17.已知函数f(x)=|xex|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个不同的实数根,则t的取值范围为 .
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量
(1)若x=,求点Q的坐标;
(2)已知函数f(x)=,令g(x)=f(x)·
f,求函数g(x)的值域.
19.(本小题满分15分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°
AC=2.
(1)求证:
AB1⊥CC1;
(2)若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.
20.(本小题满分15分)已知f(x)=2xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x∈(0,+∞),使f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
21.(本小题满分15分)已知M(-,0),N(,0)是平面上的两个定点,动点P满足|PM|+|PN|=2
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与
(1)中的轨迹交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,求|OQ|长度的取值范围.
22.(本小题满分15分)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*),令bn=an+1.
{bn}是等比数列;
(2)记数列{nbn}的前n项和为Tn,求Tn;
(3)求证:
+…+
参考答案
1.C 解析由全集U=R,A={x|-2≤x≤1},
得到∁UA={x|x<
1},
又B={x|-1≤x≤3},根据题意画出图形,如图所示:
则B∪(∁UA)={x|x<
-2,或x≥-1}.
故选C.
2.D 解析双曲线的渐近线方程是y=±
x,所以,即a=,b=1,c2=a2+b2=4,即c=2,e=,故选D.
3.A 解析
由三视图知,如图,原几何体是一个三棱锥S-ABC,底面是等腰直角三角形,且面积为×
2×
1=1,高为SD=,其体积为×
1×
.
4.B 解析由不等式组得到可行域如图,目标函数变形为y=x-z,当此直线经过图中的点B时z最小,所以最小值为z=0-2=-2.
故选B.
5.D 解析函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:
①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,
∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.
②当0<
a≤1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,
∴f(x)max=f(a)=a2-a+1.
由a2-a+1=2,解得a=或a=.
∵0<
a≤1,∴两个值都不满足,舍去.
③当a>
1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,
∴f(x)max=f
(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
6.B 解析∵Sn的最小值仅为S6,∴a6<
0,a7>
0,
∴<
4,故“3<
5”是<
4的必要不充分条件,故选B.
7.C 解析由题意,得y'
=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,即g(x0)=-x0sinx0,其为偶函数,图象关于y轴对称,故排除A,D;
由x0>
0且接近0时,g(x0)=-x0sinx0<
0,故排除B,故选C.
8.A 解析由概率的性质及已知b2=ac,a=可知a+b+c+=1,即+b+2b2+=1⇒18b2+9b-2=0,解之,得b=或-(舍去),故c=2b2=,E(X)=-a+c+2×
=-+2,故选A.
9.A 解析在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,
沿AD折成二面角B-AD-C,由定义知,∠BDC为所求二面角B-AD-C的平面角,又BC=BD=DC=a,∴△BDC为等边三角形.∴∠BDC=.
∴二面角B-AD-C的大小为.
10.B 解析如图所示,
在△ABC中,∵cosA=,∴sinA=.
∴S△ABC=|·
||sinA=|·
||·
=8,即||·
||=20.
设=λ,λ∈(0,1),
则+λ()=(1-λ)+λ,
又,∴λ=.
∴=3.
∴S△ABD=|·
||=×
8=6,
∴||·
||=12.
又S△ACD=|·
||=2,
||=4.
||=48.
||=,∴=||·
∠EDF==-.
11. 解析设A,B,C,D,E每人所得依次为a1,a2,a3,a4,a5,由题设a1+a2+a3+a4+a5=5,且a1+a2=a3+a4+a5,即
故a5=a1+4d=.
12.5 i 解析|z|==5,
i.
故答案为5,i.
13.-2 -42 解析令x=1可得所有项系数和为-2,
又由于的通项为·
(-2)r,
故(x2+1)的展开式的常数项是·
(-2)+(-2)5=-42.
14.1 解析由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=1+3-2×
=1,
∴c=1,S△ABC=absinC=×
15. -1 解析以BC,BA为邻边作矩形ABCE,
则,故P是BE的中点,
从而可知PD=AB=1,
CP=AC=,CD=,
CP·
CD=.
cos∠CPD==-,
=||·
||cos∠CPD
=1×
=-1.
16.150 解析5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.
当5名学生分成2,2,1时,共有=90种方法;
当5名学生分成3,1,1时,共有=60种方法.由分类加法计数原理知共有90+60=150种保送方法.
17. 解析∵f(x)=|xex|=
当x≥0时,f'
(x)=ex+xex≥0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数;
当x<
0时,f'
(x)=-ex-xex=-ex(x+1),由f'
(x)=0,得x=-1,当x∈(-∞,-1)时,f'
(x)=-ex(x+1)>
0,f(x)为增函数,当x∈(-1,0)时,f'
(x)=-ex(x+1)<
0,f(x)为减函数,所以函数f(x)=|xex|在(-∞,0)上有一个最大值为f(-1)=-(-1)e-1=,要使方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,令f(x)=m,则方程m2+tm+1=0应有两个不等根,且一个根在内,一个根在内,再令g(m)=m2+tm+1,因为g(0)=1>
0,则只需g<
0,即t+1<
0,解得t<
-,所以,使得函数f(x)=|xex|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根的t的取值范围是.
18.解
(1)由已知得xQ=cos=coscos-sinsin,
yQ=sin=sincos+cossin,所以点Q的坐标为.
(2)函数f(x)=cossin
=cosx-sinx+cosx+sinx=cosx,于是,g(x)=cosx·
cossin2x=sin.因-1≤sin≤1,故g(x)的值域为.
19.
(1)证明连接AC1,CB1,则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.取CC1中点O,连接OA,OB1,则CC1⊥OA,CC1⊥OB1,所以CC1⊥平面OAB1.所以CC1⊥AB1.
(2)解由
(1)知,OA=OB1=,又AB1=,
所以OA⊥OB1.如图所示,分别以OB1,OC1,OA为正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,-1,0),B1(,0,0),A(0,0,),
设平面CAB1的法向量为m=(x1,y1,z1),
因为=(,0,-),=(0,-1,-),
所以
令z1=1,则m=(1,-,1).
设平面A1AB1的法向量为n=(x2,y2,z2),
因为=(,0,-),=(0,2,0),
令z2=1,则n=(1,0,1).
则cos<
m,n>
=,
因为二面角C-AB1-A1为钝角,
所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-.
20.解
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'
(x)=2(lnx+1),
令f'
(x)=0,得x=,当x∈时,f'
(x)<
0,当x∈时,f'
(x)>
所以f(x)在上单调递减;
在上单调递增.
(2)存在x∈(0,+∞),使f(x)≤g(x)成立,
即2xlnx≤-x2+ax-3在x∈(0,+∞)上能成立,
等价于a≥2lnx+x+在x∈(0,+∞)上能成立,
等价于a≥.
记h(x)=2lnx+x+,x∈(0,+∞),
则h'
(x)=+1-.
当x∈(0,1)时,h'
当x∈(1,+∞)时,h'
所以当x=1时,h(x)取最小值为4,故a≥4.
21.解
(1)由题意知,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=,c=,b=,
所以动点P的轨迹方程为=1.
(2)若直线AB斜率不存在,则直线AB的方程为x=±
此时,|OQ|=.
若直线AB斜率存在,设直线AB方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立
得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=.
故点Q的坐标为.
因为直线AB与圆O相切,所以,即b2=2(1+k2),
所以|OQ|2=
=2.
当k=0时,|OQ|=,
当k≠0时,|OQ|2=2.
当且仅当4k2=时,等号成立,
所以|OQ|∈.
22.
(1)证明a1=2,a2=2×
(2+2)=8,
an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*),
an=2(Sn-1+n)(n≥2),
两式相减,得an+1=3an+2(n≥2),
经检验,当n=1时上式也成立,即an+1=3an+2(n≥1).
有an+1+1=3(an+1),即bn+1=3bn,且b1=3,
故{bn}是等比数列.
(2)解由
(1)得bn=3n,
Tn=1×
3+2×
32+3×
33+…+n·
3n,
3Tn=1×
32+2×
33+3×
34+…+n·
3n+1,
两式相减,得-2Tn=3+32+33+…+3n-n·
3n+1=-n·
化简得Tn=·
3n+.
(3)证明由,
得+…++…+,
又,
有+…+
<
故+…+.
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