考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤Word文档下载推荐.docx
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3、
(1)A=(A-B)È
A;
(2)(A-B)Ç
A=A-B;
(3)A+B=(A-B)È
ABÈ
(B-A)。
4、
(1)A+A=Ù
;
(2)AÇ
A=f。
二、概率的定义与性质
(一)概率的定义—设随机试验的样本空间为Ù
,满足如下条件的随机事件的函数P(·
)称为所对应事件的概率:
18
1、对事件A,有P(A)³
0(非负性)。
2、P(Ù
)=1(归一性)。
¥
3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件,则有P(UAn)=å
P(An)(可列可加性)。
n=1 n=1
(二)概率的基本性质
1、P(f)=0。
å
n n
2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列,则P(UAk)= P(Ak)。
k=1 k=1
3、P(A)=1-P(A)。
4、(减法公式)P(A-B)=P(A)-P(AB)。
(三)概率基本公式
1、加法公式
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
2、条件概率公式:
设A,B是两个事件,且P(A)>
0,则P(B|A)=P(AB)。
P(A)
3、乘法公式
(1)设P(A)>
0,则P(AB)=P(A)P(B|A)。
(2)P(A1A2LAn)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)LP(An|A1A2LAn-1)。
三、事件的独立性
1、两个事件的独立—设A,B是两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),称事件A,B相互独立。
⎧P(AB)=P(A)P(B);
⎪P(AC)=P(A)P(C);
2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件,若⎨
⎪P(BC)=P(B)P(C);
⎩P(ABC)=P(A)P(B)P(C),
,称事件A,B,C相互独立。
(1)A,B相互独立的充分必要条件是A,B、A,B、A,B任何一对相互独立。
(2)设P(A)=0或P(A)=1,则A与任何事件B独立。
(3)设P(A)>
0,P(B)>
0,若A,B独立,则A,B不互斥;
若A,B互斥,则A,B不独立。
四、全概率公式与Bayes公式
1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足:
(1)AiAj=f(i,j=1,2,L,n,i¹
j);
n
(2)UAi=Ù
,则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。
i=1
2、全概率公式:
设A1,A2,L,An是一个完备事件组,且P(Ai)>
0(i=1,2,L,n),B为事件,则
P(B)=å
P(Ai)P(B|Ai)。
3、贝叶斯公式:
设A1,A2,L,An为一个完备事件组,且P(Ai)>
0(i=1,2,L,n),B为任一随机事件,P(B)>
0,则P(A|B)=P(Ai)P(B|Ai)。
i P(B)
例题选讲
一、填空题
1、设P(A)=0.4,P(AÈ
B)=0.7,
(1)若A,B不相容,则P(B)=;
(2)若A,B相互独立,则P(B)=。
2、设P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1
4 6
,则事件A,B,C全不发生的概率为
。
,且有 ,
3、设两两相互独立的事件A,B,C满足:
ABC=f,P(A)=P(B)=P(C)<
1 P(A+B+C)=9
2 16
则P(A)=。
4、设事件A,B满足P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=。
5、设A,B为两个相互独立的随机事件,且A,B都不发生的概率为1,A发生B不发生的概率与A不发生B
9
发生的概率相等,则P(A)=。
二、选择题:
1、设A,B是两个随机事件,且0<
P(A)<
1,P(B)>
0,P(B|A)=P(B|A),则[ ]
(A)P(A|B)=P(A|B);
(B)P(A|B)¹
P(A|B);
(C)P(AB)=P(A)P(B);
(D)P(AB)¹
P(A)P(B)。
2、设事件A,B满足0<
1,0<
P(B)<
1,且P(A|B)+P(A|B)=1,则[ ]
(A)事件A,B对立;
(B)事件A,B相互独立;
(C)事件A,B不相互独立;
(D)事件A,B不相容。
三、解答题
1、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取2次,每次抽取一个,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的的概率。
2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%,现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是A生产的概率。
,求事件
3、设事件A在每次试验中的概率为p,三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19 A
27
发生的概率p。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次,命中率分别为50%和60%,已知目标被命中,求是甲命中的概率。
第二章 一维随机变量及其分布
一、基本概念
1、随机变量—设Ù
为随机试验E的样本空间,x为定义在Ù
上的函数,对任意的wÎ
Ù
,总存在唯一确定的x(w)与之对应,称x为随机变量,若x的可能取值为有限个或可列个,称x为离散型随机变量,若x在某可区间上连续取值,称x为连续型随机变量。
2、分布函数—设x为一个随机变量,称函数F(x)=P{x£
x}(-¥
<
x<
+¥
)为随机变量x的分布函数。
【注解1】分布函数的四个特征为
(1)0£
F(x)£
1。
(2)F(x)单调不减。
(3)F(x)右连续。
(4)F(-¥
)=0,F(+¥
)=1。
【注解2】分布函数的性质
(1)P{X<
a}=F(a-0)。
(2)P{X=a}=F(a)-F(a-0)。
(3)P{a<
x£
b}=F(b)-F(a)。
(4)P{a<
X<
b}=F(b-0)-F(a)。
3、离散型随机变量的分布律—称P{X=xi}=pi(1£
i£
n)称为随机变量X的分布律。
(1)pi³
0(1£
n)。
(2)p1+p2+L+pn=1。
4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),使得
x
F(x)=ò
-¥
f(t)dt,称f(x)为X的密度函数。
+¥
(1)f(x)³
0。
(2)ò
f(x)dx=1。
二、常见随机变量及其分布
(一)离散型
1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=Ckpk(1-p)n-k(0£
k£
n),称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p)。
2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=lke-l(k=0,1,2,L),称随机变量X服从泊松分
k!
布,记为X~p(l)。
3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=p(1-p)k-1(k=1,2,L),称随机变量X服从几何分布,记为X~G(p)。
(二)连续型
⎧1,a£
b
⎨
1、均匀分布—若随机变量x的密度函数为f(x)=⎪b-a
⎩0,其他
,称随机变量x服从均匀分布,记为
⎧0,x<
0
x~U(a,b),其分布函数为F(x)=⎪⎪x-a,a£
b。
⎪b-a
⎩1,x³
2、正态分布—若随机变量x的密度函数为f(x)=
1
e
2ps
-(x-m)2
2s2(-¥
),称随机变量x服从正态
分布,记为x~N(m,s2),特别地,若m=0,s=1,称随机变量服从标准正态分布,记为x~N(0,1),其密度
为j(x)=
1 -x2
e2(-¥
),其分布函数为
2p
F(x)=ò
j(t)dt。
⎧le-lxx³
0
3、指数分布—若随机变量x的密度为f(x)=⎨
⎩0,x<
(l>
0),称随机变量x服从指数分布,记为
x~E(l),其分布函数为F(x)=⎨ 。
⎩1-e-lx,x³
(1)F(0)=1,F(-a)=1-F(a)。
2
(2)若x~N(m,s2),则P{x£
m}=P{x>
m}=1。
(3)若x~N(m,s2),则
x-m
s
2
~N(0,1)。
b-m
a-m
(4)若x~N(m,s
),则P{a<
b}=F(b)-F(a)=F(
)-F( )。
s s
一、选择题
1、设X1,X2的密度为f1(x),f2(x),分布函数为F1(x),F2(x),下列结论正确的是[ ]
(A))F1(x)+F2(x)为某随机变量的分布函数;
(B)f1(x)+f2(x)为某随机变量的密度函数;
(C)F1(x)F2(x)为某随机变量的分布函数;
(D)f1(x)f2(x)为某随机变量的密度函数。
2、设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数,其分布函数为F(x),则 [ ]
(A)F(x)为偶函数;
(B)F(-a)=2F(a)-1;
a 1 a
(C)F(-a)=1-ò
f(x)dx;
(D)F(-a)=-ò
2 0
f(x)dx。
3、设X~N(m,42),Y~N(m,52),令p=P{X£
m-4},q=P{Y³
m+5},则 [ ]
(A)对任意实数m都有p=q;
(B)对任意实数m都有p<
q;
(C)对个别m,才有p=q;
(D)对任意实数m,都有p>
q。
4、设X~N(m,s2),则随s的增大,概率P{|X-m|<
s} [ ]
(A)单调增大;
(B)单调减少;
`(C)保持不变;
(D)增减不确定。
二、填空题
1、设X~N(m,s2),方程y2+4y+X=0无实根的概率为1,则m=。
2、设X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X³
1}=5,则P{Y³
1}=。
1、有3个盒子,第1个盒子有4个红球1个黑球,第2个盒子有3个红球2个黑球,第3个盒子有2个红球3个黑球,若任取一个盒子,从中任取3个求,以X表示红球个数。
(1)写处X的分布律;
(2)求红球个数不少于2个的概率。
-1
⎪0.3,-1£
1
2、设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨
⎪0.7,1£
2
,求X的分布律。
⎧Aex,x<
3、设X的分布函数为F(x)=⎪B,0£
1 ,
⎩
⎪1-Ae-(x-1),x³
1
(1)求A,B;
(2)求密度函数f(x);
(3)求P{X>
}。
3
4、设X~U(0,2),求随机变量Y=X2的概率密度。
5、设X~N(0,1),且Y=X2,求随机变量Y的概率密度。
第三章 二维随机变量及其分布
1、联合分布函数—设(X,Y)为二维随机变量,称F(x,y)=P{X£
x,Y£
y}为(X,Y)的联合分布函数。
2、二维离散型随机变量的联合分布律—设(X,Y)为二维离散型随机变量,称
P{X=xi,Y=yj}=pij(i=1,2,L,m,j=1,2,L,n)
为(X,Y)的联合分布律,称
n m
P{X=xi}=å
pij=pi×
(i=1,2,L,m),P{Y=yj}=å
pij=p×
j(j=1,2,L,n)
j=1 i=1
分别为随机变量X,Y的边际分布律。
3、连续型随机变量的联合密度函数—设(X,Y)为二维连续型随机变量,若存在f(x,y)³
0,使得
x y
F(x,y)=P{X£
y}=ò
duò
f(u,v)dv,称f(x,y)为随机变量(X,Y)的联合密度函数,称
-¥
+¥
fX(x)=ò
f(x,y)dy,fY(y)=ò
f(x,y)dx
分别为随机变量X,Y的边际密度函数。
【注解】联合分布函数的特征有
F(x,y)£
(2)F(x,y)关于x,y为单调不减函数。
(3)F(x,y)关于x或者y都是右连续。
(4)F(-¥
-¥
)=0,F(-¥
+¥
二、常见的二维连续型随机变量
1、均匀分布—设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为
⎧1,(x,y)Î
D
f(x,y)=⎪A ,其中A为区域D的面积,称(X,Y)在区域D上服从均匀分布。
⎩0,(x,y)Ï
2、正态分布—设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为
f(x,y)=1 exp{-1 [(x-m1)2-2r(x-m1)(y-m2)+(y-m2)2]}则称(X,Y)服
2pss
1-r2 2(1-r2) s ss s
12 1
12 2
从二维正态分布,记为(X,Y)~N(m,m,s2,s2,r),其中s>
0,s>
1 2 1 2 1 2
【注解】若(X,Y)~N(m,m,s2,s2,r),则X~N(m,s2),Y~N(m,s2)。
1 2 1 2 1 1 2 2
二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性
(一)二维离散型随机变量的条件分布
1、设P{Y=yj}>
0,在事件{Y=yj}发生的情况下,事件{X=xi}发生的条件概率为
P{X=xi
|Y=y
}=pij(i=1,2,L);
j
p×
j
2、设P{X=xi}>
0,在事件{X=xi}发生的情况下,事件{Y=yj}发生的条件概率为
P{Y=yj
(二)二维连续型随机变量的条件密度
|X=xi}=
pij(j=1,2,L)。
pi×
f(x,y)
1、设fY(y)>
0,则在“Y=y”的条件下,X的条件概率密度为fX|Y(x|y)= 。
fY(y)
2、设fX(x)>
0,则在“X=x”的条件下,Y的条件概率密度为fY|X(y|x)= 。
fX(x)
(三)随机变量的独立性
1、定义—设(X,Y)为二维随机变量,若对任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y),称随机变量X,Y相互独立。
2、独立的充分必要条件
(1)离散型随机变量—设(X,Y)为二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是
pij=pi.´
p.j(i=1,2,L;
j=1,2,L。
(2)连续型随机变量—设(X,Y)为二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是
f(x,y)=fX(x)fY(y)(可以除去有限个点)。
【注解】若(X,Y)为二维连续型随机变量,求(X,Y)的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数
f(x,y),一般有如下三种情况:
(1)题中直接给出f(x,y)(若其中含参数,用归一性求出)。
(2)X,Y服从的分布已知且X,Y独立,则f(x,y)=fX(x)fY(y)。
(3)X的边缘分布已知,且Y的条件密度已知,则f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)。
三、随机变量函数的分布
已知(X,Y)的分布,Z=j(X,Y),关于Z的分布有以下几种情形:
情形一:
设(X,Y)为离散型随机变量,Z=j(X,Y),则Z为离散型随机变量,求出其可能取值及对应的概率即可。
情形二:
(X,Y)为连续型随机变量,Z=j(X,Y),其中j为连续函数,则Z为连续型随机变量,可用分布函数定义求Z的分布。
情形三:
X,Y中一个为连续型随机变量,一个为离散型随机变量,求Z=j(X,Y)的分布
1、设相互独立的随机变量X,Y分别服从N(0,1)及N(1,1),则[ ]
(A)P{X+Y£
0}=1;
(B)P{X+Y£
1}=1;
(C)P{X-Y£
(D)P{X-Y£
1}=1。
1、设X,Y 为两个随机变量, 且P{X³
0,Y³
0}=3,P{X³
0}=P{Y³
0}=4,则
7 7
P{max(X,Y)³
0}=。
1、袋中有10个大小相同的球,其中6个红球4个白球,随机抽取2个,每次抽取1个,定义如下两个随机
⎧1,第1次抽到红球
⎧1,第2次抽到红球
变量:
X=⎨
,第1次抽到白球,Y=⎨
,第2次抽到白球,
⎩0 ⎩0
就下列两种情况,求(X,Y)的联合分布律:
(1)每次抽取后放回;
(2)每次抽取后不放回。
⎧Ae-(x+2y),x>
0,y>
2、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)=⎨ ,求
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