版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文北师大版文档格式.docx
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B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 綈p为真知p为假,可得p且q为假;
反之,若p且q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件,故选A.
3.(教材改编)下列命题中,为真命题的是( )
A.任意x∈R,-x2-1<
B.存在x0∈R,x
+x0=-1
C.任意x∈R,x2-x+
>
D.存在x0∈R,x
+2x0+2<
4.设命题p:
任意x∈R,x2+1>
0,则綈p为( )
A.存在x0∈R,x
+1>
+1≤0
C.存在x0∈R,x
+1<
D.任意x∈R,x2+1≤0
答案 B
解析 全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称量词换成存在量词,故命题p的否定为“存在x0∈R,x
+1≤0”,故选B.
5.(2015·
山东)若“任意x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,
∴ymax=tan
=1.
依题意,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>
0;
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p且qB.(綈p)且(綈q)
C.(綈p)且qD.p且(綈q)
(2)(2016·
聊城模拟)若命题“p或q”是真命题,“綈p为真命题”,则( )
A.p真,q真B.p假,q真
C.p真,q假D.p假,q假
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)∵p是真命题,q是假命题,
∴p且(綈q)是真命题.
(2)∵綈p为真命题,∴p为假命题,
又p或q为真命题,∴q为真命题.
思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.
已知命题p:
若x>
y,则-x<
-y;
命题q:
y,则x2>
y2.在命题①p且q;
②p或q;
③p且(綈q);
④(綈p)或q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案 C
解析 当x>
y时,-x<
-y,
故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>
y时,x2>
y2不一定成立,
故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知:
①p且q为假命题;
②p或q为真命题;
③p且(綈q)为真命题;
④(綈p)或q为假命题,
故选C.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例2
(1)(2016·
唐山模拟)命题p:
存在x0∈N,x
<
x
;
任意a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图像过点(2,0),则( )
A.p假q真B.p真q假
C.p假q假D.p真q真
(2)已知命题p:
任意x∈R,2x<
3x;
存在x0∈R,x
=1-x
,则下列命题中为真命题的是( )
A.p且qB.(綈p)且q
C.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q)
答案
(1)A
(2)B
解析
(1)∵x3<
x2,∴x2(x-1)<
0,
∴x<
0或0<
x<
1,
在这个范围内没有自然数,命题p为假命题.
∵f(x)的图像过点(2,0),∴loga1=0,
对任意a∈(0,1)∪(1,+∞)的值均成立.命题q为真命题.
(2)容易判断当x≤0时2x≥3x,命题p为假命题,分别作出函数y=x3,y=1-x2的图像,易知命题q为真命题.根据真值表易判断(綈p)且q为真命题.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
(1)命题“存在x0∈R,使得x
≥0”的否定为( )
A.任意x∈R,都有x2<
B.任意x∈R,都有x2≥0
C.存在x0∈R,使得x
≤0
D.存在x0∈R,使得x
(2)(2015·
浙江)命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n
B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n
C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0
D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0
答案
(1)A
(2)D
解析
(1)将“存在”改为“任意”,对结论中的“≥”进行否定,可知A正确.
(2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.
思维升华
(1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
(1)(2016·
皖南八校联考)下列命题中,真命题是( )
A.存在x0∈R,sin2
+cos2
=
B.任意x∈(0,π),sinx>
cosx
C.任意x∈(0,+∞),x2+1>
福州质检)已知命题p:
“存在x0∈R,
-x0-1≤0”,则綈p为( )
A.存在x0∈R,
-x0-1≥0
B.存在x0∈R,
-x0-1>
C.任意x∈R,ex-x-1>
D.任意x∈R,ex-x-1≥0
答案
(1)C
(2)C
解析
(1)C选项中,当x>
0时,x2+1-x=(x-
)2+
0,即x2+1>
x恒成立,∴C正确.
(2)根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“任意x∈R,ex-x-1>
0”,故选C.
题型三 含参数命题中参数的取值范围
例4
(1)已知命题p:
关于x的方程x2-ax+4=0有实根;
关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p且q是真命题,则实数a的取值范围是________________.
(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(
)x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( )
A.[
,+∞)B.(-∞,
]
C.[
,+∞)D.(-∞,-
答案
(1)[-12,-4]∪[4,+∞)
(2)A
解析
(1)若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,
即a≤-4或a≥4;
若命题q是真命题,
则-
≤3,即a≥-12.
∵p且q是真命题,∴p,q均为真,
∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).
(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,
g(x)min=g
(2)=
-m,由f(x)min≥g(x)min,
得0≥
-m,所以m≥
,故选A.
引申探究
本例
(2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________.
答案 [
,+∞)
解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g
(1)=
-m,
由f(x)min≥g(x)max,得0≥
∴m≥
.
思维升华
(1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围;
(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.
(1)已知命题p:
“任意x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“存在x0∈R,x
+4x0+a=0”.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.[1,4]
C.[e,4]D.(-∞,-1)
(2)已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的x1,x2∈[1,4]有f(x1)>
g(x2)恒成立,则实数m的取值范围是________________.
答案
(1)C
(2)(-∞,0)
解析
(1)由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
(2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
当x∈[1,4]时,f(x)min=f
(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则f(x)min>
g(x)max,即2>
2+m,解得m<
0,故实数m的取值范围是(-∞,0).
1.常用逻辑用语
考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题,几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.
一、命题的真假判断
典例1
(1)已知命题p:
2x0;
若mx2-mx-1<
0恒成立,则-4<
m<
0,那么( )
A.綈p为假命题
B.q为真命题
C.p或q为假命题
D.p且q为真命题
(2)下列命题中错误的个数为( )
①若p或q为真命题,则p且q为真命题;
②“x>
5”是“x2-4x-5>
0”的充分不必要条件;
③命题p:
+x0-1<
0,则綈p:
任意x∈R,x2+x-1≥0;
④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”.
A.1B.2C.3D.4
解析
(1)由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即x2+1≥2x,所以p为假命题;
对于命题q,当m=0时,-1<
0恒成立,
所以命题q为假命题.
综上可知,綈p为真命题,
p且q为假命题,p或q为假命题,故选C.
(2)对于①,若p或q为真命题,则p,q至少有一个为真,即可能有一个为假,所以p且q不一定为真命题,所以①错误;
对于②,由x2-4x-5>
0可得x>
5或x<
-1,所以“x>
0”的充分不必要条件,所以②正确;
对于③,根据特称命题的否定为全称命题,可知③正确;
对于④,命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为2,故选B.
答案
(1)C
(2)B
二、求参数的取值范围
典例2
(1)已知p:
x≥k,q:
<
1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.[1,+∞)D.(-∞,-1]
郑州一模)已知函数f(x)=x+
,g(x)=2x+a,若任意x1∈[
,3],存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是( )
A.a≤1B.a≥1
C.a≤0D.a≥0
解析
(1)由
1,得
-1=
即(x-2)(x+1)>
解得x<
-1或x>
2,由p是q的充分不必要条件,知k>
2,故选B.
(2)∵x∈[
,3],∴f(x)≥2
=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)min=22+a=4+a,依题意f(x)min≥g(x)min,∴a≤0,故选C.
答案
(1)B
(2)C
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例3
(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:
中国非第一名,也非第二名;
乙:
中国非第一名,而是第三名;
丙:
中国非第三名,而是第一名.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.
解析
(1)由题意可推断:
甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过的城市为A.
(2)由题意可知:
甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
答案
(1)A
(2)一
1.命题p:
若sinx>
siny,则x>
y;
x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A.p或qB.p且qC.qD.綈p
解析 命题p假,q真,故命题p且q为假命题.
2.下列命题中,真命题是( )
A.任意x∈R,x2>
B.任意x∈R,-1<
sinx<
1
C.存在x0∈R,
D.存在x0∈R,tanx0=2
答案 D
解析 任意x∈R,x2≥0,故A错;
任意x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;
由y=2x的图像可知任意x∈R,2x>
0,故C错,D正确.
3.(2016·
西安质检)已知命题p:
存在x0∈R,log2(3x0+1)≤0,则( )
A.p是假命题;
綈p:
任意x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题;
任意x∈R,log2(3x+1)>
C.p是真命题;
D.p是真命题;
解析 ∵3x>
0,∴3x+1>
1,则log2(3x+1)>
0,∴p是假命题;
0,故选B.
4.(2016·
河北邯郸收官考试)已知p:
任意x∈R,x2-x+1>
0,q:
存在x0∈(0,+∞),sinx0>
1,则下列命题为真命题的是( )
A.p或(綈q)B.(綈p)或q
C.p且qD.(綈p)且(綈q)
解析 因为x2-x+1=(x-
0恒成立,所以命题p是真命题;
任意x∈R,sinx≤1,所以命题q是假命题,所以p或(綈q)是真命题,故选A.
5.(2016·
江西高安中学等九校联考)下列判断错误的是( )
A.若p且q为假命题,则p,q至少之一为假命题
B.命题“任意x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2-1>
0”
C.“若a∥c且b∥c,则a∥b”是真命题
D.“若am2<
bm2,则a<
b”的否命题是假命题
解析 选项A,B中的命题显然正确;
选项D中命题的否命题为:
若am2≥bm2,则a≥b,显然当m=0时,命题是假命题,所以选项D中命题正确;
对于选项C中的命题,当c=0时,命题是假命题,即选项C中的判断错误,故选C.
6.(2016·
唐山检测)已知命题p:
任意x∈R,x3<
x4;
存在x0∈R,sinx0-cosx0=-
解析 若x3<
x4,则x<
0或x>
1,∴命题p为假命题;
若sinx-cosx=
sin(x-
)=-
,
则x-
+2kπ(k∈Z),即x=
+2kπ(k∈Z),
∴命题q为真命题,∴(綈p)且q为真命题.
7.已知命题“存在x0∈R,使2x
+(a-1)x0+
≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-1,3)
C.(-3,+∞)D.(-3,1)
解析 依题意可知“任意x∈R,2x2+(a-1)x+
0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×
2×
0,即(a+1)(a-3)<
0,解得-1<
a<
3,故选B.
8.(2016·
湖南师大附中月考)函数f(x)=lnx-
(a>
0),若存在x0∈R,使得任意x1∈[1,2]都有f(x1)<
f(x0),则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,+∞)D.(0,1)∪(2,+∞)
解析 由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=
-
0),当x∈(0,a)时,
f′(x)>
0,f(x)单调递增;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)<
0,f(x)单调递减;
故f(x)max=f(a),存在x0∈R,使得任意x1∈[1,2]都有f(x1)<
f(x0),即f(a)>
f(x1)对任意x1∈[1,2]恒成立,故a∉[1,2],所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞),选D.
9.以下四个命题:
①任意x∈R,x2-3x+2>
0恒成立;
②存在x
∈Q,x
=2;
③存在x0∈R,x
+1=0;
④任意x∈R,4x2>
2x-1+3x2.其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.4
解析 ∵x2-3x+2>
0,Δ=(-3)2-4×
2>
∴当x>
2或x<
1时,x2-3x+2>
0才成立,
∴①为假命题;
当且仅当x=±
时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题;
对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
10.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:
任意x∈A,2x∈B,则綈p为______________.
答案 存在x0∈A,2x0∉B
解析 命题p:
任意x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定应为特称命题,
∴綈p:
存在x0∈A,2x0∉B.
11.(2016·
北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“任意x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (
,1)∪(1,+∞)
解析 ∵函数f(x)=a2x-2a+1,
命题“任意x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,
∴原命题的否定是:
“存在x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,
∴f
(1)f(0)<
0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<
∴(a-1)2(2a-1)>
0,解得a>
,且a≠1,
∴实数a的取值范围是(
,1)∪(1,+∞).
12.已知命题p:
x2+2x-3>
>
1,若“(綈q)且p”为真,则x的取值范围是________________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“(綈q)且p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
0,即2<
3,所以q为假命题时,有x≥3或x≤2;
p为真命题时,由x2+2x-3>
0,解得x>
1或x<
-3,由
得x≥3或1<x≤2或x<
-3,
所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.
13.(2016·
江西五校联考)已知命题p:
存在x0∈R,(m+1)·
(x
+1)≤0,命题q:
任意x∈R,x2+mx+1>
0恒成立.若p且q为假命题,则实数m的取值范围为______________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
解析 由命题p:
存在x0∈R,(m+1)(x
+1)≤0可得m≤-1,由命题q:
0恒成立,可得-2<
2,因为p且q为假命题,所以m≤-2或m>
-1.
14.已知命题p:
“任意x∈R,存在m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,1]
解析 若綈p是假命题,则p是真命题,
即关于x的方程4x-2·
2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·
2x)=-(2x-1)2+1≤1,
∴m≤1.
15.已知函数f(x)=
(x≥2),g(x)=ax(a>
1,x≥2).
(1)若存在x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为________________;
(2)若任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为________________.
答案
(1)[3,+∞)
(2)(1,
解析
(1)因为f(x)=
=x+
=x-1+
+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以若存在x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)因为当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则
解得a∈(1,
].
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