第1讲学生4份 一元二次方程的概念及解法1直接开平方法Word文件下载.docx
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等号两边都是____,只含有____个未知数(一元),并且未知数的最高次数是____(二次)的方程,叫做一元二次方程.
点评:
(1)都只含一个未知数x;
(2)它们的最高次数都是2次的;
(3)都有等号,是方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项,____是二次项系数,____是一次项,____是一次项系数,____是常数项.
注意:
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.
二、练习
1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?
(1)x3-2x2+5=0;
(2)x2=1;
(3)5x2-2x-
=x2-2x+
;
(4)2(x+1)2=3(x+1);
(5)x2-2x=x2+1;
(6)ax2+bx+c=0.
2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
例题精讲
例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2、若方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。
例3.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
合作探究:
1.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.
2、.方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?
在什么条件下此方程为一元一次方程?
3.当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程
例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
练习:
关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
例3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
跟踪练习
1.判断下列方程是否为一元二次方程.
(1)1-x2=0;
(2)2(x2-1)=3y;
(3)2x2-3x-1=0;
(4)
-
=0;
(5)(x+3)2=(x-3)2;
(6)9x2=5-4x.
2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.
3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.
总结.
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.
3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.
对应训练
1.若x=2是方程x2+ax-8=0的解,则a=
2、写出一个根为2,另一个根为5的一元二次方程。
二、一元二次方程的解法---
(1)直接开平方法
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)²
=n(n≥0)的方程,其解为x=±
√n+m.
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为____dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:
由此可得,
根据平方根的意义,得x=,
即x1=____,x2=____.
可以验证____和都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为____dm.
对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?
方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变
为,即将方程变为和两个一元一次方程,从而得
到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=,x2=.
在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+___)2=4,进行降次,得到,方程的根为x1=____,x2=____.
在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±
或mx+n=±
.
例4、解下列方程:
(1)2y2=8;
(2)2(x-8)2=50;
(3)(2x-1)2+4=0;
(4)4x2-4x+1=0.
方法点拨:
观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.
例5、如图,在△ABC中,∠B=90°
,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
例6.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
小结:
1.解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:
把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
2.用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±
,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)(3x+1)2=7;
(2)y2+2y+1=24;
(3)9n2-24n+16=11.
运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.
2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.
跟踪练习:
用直接开平方法解下列方程:
(1)3(x-1)2-6=0;
(2)x2-4x+4=5;
(3)9x2+6x+1=4;
(4)36x2-1=0;
(5)4x2=81;
(6)(x+5)2=25;
(7)x2+2x+1=4.
1.用直接开平方法解一元二次方程.
2.理解“降次”思想.
3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?
对应训练
一、填空题
1、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零,该方程可以是_____________。
2.方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,
常数项是______.
3.关于x的方程mx
-3x=x
-mx+2是一元二次方程,则m___________.
4、关于
的一元二次方程
有一个根为0,则
.
5.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
t(t+3)=28
2x
+3=7x
x(3x+2)=6(3x+2)
(3–t)
+t
=9
二.选择题:
1.在下列各式中
①x
+3=x;
②2x
-3x=2x(x-1)–1;
③3x
-4x–5;
④x
=-
+2
2.是一元二次方程的共有()
A0个B1个C2个D3个
3.一元二次方程的一般形式是()
Ax
+bx+c=0Bax
+c=0(a≠0)
Cax
+bx+c=0Dax
+bx+c=0(a≠0)
4.方程6x
-5=0的一次项系数是()
A6B5C-5D0
二.一元二次方程的项与各项系数
把下列方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项:
(1)
(2)
(3)
(5)
三.应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
为何值时,关于
的方程
是一元二次方程?
四、用直接开平方法解下列方程:
(1)3x2-1=5;
(2)4(x-1)2-9=0;
(3)4x2+16x+16=9.
(4)
(5)
(6)(x+5)2=16
(7)x2=64(8)5x2-
=0(9)8(3-x)2–72=0
(10)
(11)
(12)
作业
一、选择题
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是().
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-
=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().
A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6
3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().
A.p=1B.p>
0C.p≠0D.p为任意实数
二、填空题
1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为_________.
2.一元二次方程的一般形式是__________.
3.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________.
三、解答题
1、(探究过程题)用直接开平方法解一元二次方程4(2x-1)2-25(x+1)2=0.
解:
移项,得
移项得4(2x-1)2=25(x+1)2,①
直接开平方得2(2x-1)=5(x+1),②
∴x=-7.③
上述解题过程,有无错误如有,错在第步,原因是,请写出正确的解答过程.
2、用直接开平方法解下列一元二次方程。
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
(6)
(7)
(8)
.
四、综合提高题
1.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=
x-(x+1)是一元二次方程?
2.关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
为什么?
3.一块矩形铁片,面积为1m2,长比宽多3m,求铁片的长,小明在做这道题时,是这样做的:
设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理得:
x2-3x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程:
第一步:
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
所以,________<
x<
__________
第二步:
x
3.1
3.2
3.3
3.4
-0.96
-0.36
(1)请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分;
(2)通过以上探索,估计出矩形铁片的整数部分为_______,十分位为______.
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