数字信号处理(姚天任江太辉第三)课后测验完整答案文档格式.doc
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1用直接计算线性卷积的方法,求系统的单位阶跃响应。
2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。
证明
(1)交换律
X(n)*y(n)=
令k=n-t,所以t=n-k,又-<
k<
所以-<
t<
因此线性卷积公式变成
` x(n)*y(n)=
==y(n)*x(n)
交换律得证.
(2)结合律
[x(n)*y(n)]*z(n)
=[]*z(n)
=[]z(n-t)
=x(k)y(t-k)z(n-t)
=x(k)y(m)z(n-k-m)
=x(k)[y(n-k)*z(n-k)]
=x(n)*[y(n)*z(n)]
结合律得证.
(3)加法分配律
x(n)*[y(n)+z(n)]
=x(k)[y(n-k)+z(n-k)]
=x(k)y(n-k)+x(k)z(n-k)
=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)
加法分配律得证.
2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。
并加以证明
(1)y(n)=2x(n)+3
(2)y(n)=x(n)sin[n+]
(3)y(n)=(4)y(n)=
(5)y(n)=x(n)g(n)
解
(1)设y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于
y(n)=2[x(n)+x(n)]+3
≠y(n)+y(n)
=2[x(n)+x(n)]+6
故系统不是线性系统。
由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而
y(n-k)=T[x(n-k)]
故该系统是非移变系统。
设|x(n)|≤M,则有
|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<
∞
故该系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
(2)设y1(n)=ax1(n)sin[n+]
y2(n)=bx2(n)sin[n+]
由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=[ax1(n)+bx2(n)]sin[n+]
=ax1(n)sin[n+]+bx2(n)sin[n+]
=ay1(n)+by2(n)
故该系统是线性系统。
由于y(n-k)=x(n-k)sin[(n-k)+]
T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+]
因而有T[x(n-k)]≠y(n-k)
帮该系统是移变系统。
设|x(n)|≤M,则有
|y(n)|=|x(n)sin[(n-k)+]|
=|x(n)||sin[(n-k)+]|
≤M|sin[(n-k)+]|≤M
故系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
(3)设y1(n)=,y2(n)=,由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=
=a+b=ay1(n)+by2(n)
因y(n-k)==
=T[x(n-t)]
所以该系统是非移变系统。
设x(n)=M<
∞y(n)==∞,所以该系统是不稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
(4)设y1(n)=,y2(n)=,由于
=a+b=ay1(n)+by2(n)
因y(n-k)==
≠T[x(n-t)]=
所以该系统是移变系统。
设x(n)=M,则y(n)=(n-n)M=,所以该系统不是稳定系统。
显而易见,若n≥n。
则该系统是因果系统;
若n<
n。
则该因果系统是非因果系统。
(5)设y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于
y(n)=T[ax(n)+bx(n)]=(ax(n)+bx(n))g(n)
=ax(n)g(n)+b(n)=ay(n)+by(n)
故系统是线性系统。
因y(n-k)=x(n-k),而
T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k)
所以系统是移变系统。
设|x(n)|≤M<
则有
|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|
所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输入,故该系统是因果系统。
2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性
(1)h(n)=2u(-n)(4)h(n)=()u(n)
(2)h(n)=-au(-n-1)(5)h(n)=u(n)
(3)h(n)=(n+n),n≥0(6)h(n)=2Ru(n)
解
(1)因为在n<
0时,h(n)=2≠0,故该系统不是因果系统。
因为S=|h(n)|=|2|=1<
,故该系统是稳定系统。
(2)因为在n<
O时,h(n)≠0,故该系统不是因果系统。
因为S=|h(n)|=|a|=a,故该系统只有在|a|>
1时才是稳定系统。
(3)因为在n<
因为S=|h(n)|=|(n+n)|=1<
(4)因为在n<
O时,h(n)=0,故该系统是因果系统。
因为S=|h(n)|=|()|<
(5)因为在n<
O时,h(n)=u(n)=0,故该系统是因果系统。
因为S=|h(n)|=|u(n)|==,故该系统不是稳定系统。
(6)因为在n<
因为S=|h(n)|=|2|=2-1<
2.9已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y
(1)=1,求证y(n)=
证明题给齐次差分方程的特征方程为
-2cos·
+1=0
由特征方程求得特征根
=cos+jsin=e,=cos-jsin=e
齐次差分方程的通解为
y(n)=c+c=ce+ce
代入初始条件得
y(0)=c+c=0
y
(1)=ce+ce=1
由上两式得到
c==,c=-c=-
将c和c代入通解公式,最后得到
y(n)=ce+ce=(e-e)=
2.10已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y
(1)=3,y
(2)=6,y(3)=36,求y(n)
解首先由初始条件求出方程中得系数a和b
由
可求出 a=-1,b=-8
于是原方程为
y(n)-2y(n-1)-8y(n-2)=0
由特征方程-2-8=0求得特征根
=4,=-2
齐次差分方程得通解为
y(n)=c+c=c4+c(-2)
y(n)=c+c=4c-2c=3
由上二式得到
c=,c=-
y(n)=c+c=[4-(-2)]
2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程:
y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y
(1)=1
解由特征方程--1=0求得特征根
=,=
通解为y(n)=c+c=c()+c()
求出 c=,c=
最后得到通解
y(n)=c()+c()
=[()-()]
2.12一系统的框图如图P2.12所示,试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应
解由图可知
y(n)=x(n)+y(n-1)
为求单位取样响应,令x(n)=(n),于是有
h(n)=(n)+h(n-1)
由此得到
h(n)==u(n)
阶跃响应为
y(n)=h(n)*u(n)=y(k)u(n-k)
=u(n)
2.13设序列x(n)的傅立叶变换为X(e),求下列各序列的傅立叶变换
解
(1)F[ax(n)+bx(n)]=aX(e)+bX(e)
(2)F[x(n-k)]=eX(e)
(3)F[ex(n)]=X[e]
(4)F[x(-n)]=X(e)
(5)F[x(n)]=X(e)
(6)F[x(-n)]=X(e)
(7)
(8)jIm[x(n)]=[X(e)-X(e)]
(9)X(e)*X(e)
(10)j
2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-y(n-1)=x(n)+x(n-1)
(1)求该系统的单位取样响应h(n)
(2)用
(1)得到的结果求输入为x(n)=e时系统的响应
(3)求系统的频率响应
(4)求系统对输入x(n)=cos(n+)的响应
解
(1)令X(n)=δ(n),得到
h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+δ(n-1)/2
由于是因果的线性非移变系统,故由上式得出
h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+δ(n-1)/2,n≥0
递推计算出
h(-1)=0
h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1
h
(1)=h(0)/2+1/2=1
h
(2)=h
(1)/2=1/2
h(3)=h
(2)=()2
h(4)=h
(2)=()3
.
.
.
h(n)=δ(n)+()n-1u(n-1)
或h(n)=()n[u(n)-u(n-1)]
也可将差分方程用单位延迟算子表示成
(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)
h(n)=[(1+D)/(1-D)]δ(n)=[1+D+D2+()2D3+…+()k-1D3+…]δ(n)
=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)+...+()k-1δ(n-1)+…
=δ(n)+()nu(n-1)
2)将代入得到
(3)由
(2)得出
(4)由(3)可知
故:
2.15某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)
试确定能使系统成为全通系统的b值(b≠a),所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率无关的常数的系统。
令x(n)=(n),则
h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1)
或
h(n)=ah(n-1)+(n)-(n-1),n≥0
由于是线性的非移变系统,故对上式递推计算得出:
h(-1)=0
h(0)=1
h
(1)=ah(0)-b(0)=a-b
h
(2)=ah
(1)=-ab
h(3)=ah
(2)=-b
h(n)=ah(n-1)=-b,n≥0
h(n)=u(n)-bu(n-1)
或系统的频率特性为
H()=
=
=
振幅的特性平方
=
=
=
若选取a=或b=,则有|H(e)|=|b|,即幅度响应等于与频率响应无关的常数,故该系统为全通系统。
2.16
(1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数,且0<
1。
设输入为x(n)=
u(n),为实数,且0<
<
1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式
y(n)=(ka+k)u(n)
(2)分别计算x(n)、h(n)和
(1)中求得的y(n)的傅立叶变换X(e)、H(e)、Y(e),并证明
Y(e)=H(e)X(e)
解
(1)y(n)=
=
==
=-+,n≥0
y(n)=(-)u(n)
(2)X()==-
H(e)==
Y(e)=
=(-)
由于(-)
==X(e)H(e)
故得出Y(e)=H(e)X(e)
2.17令x(n)和X(e)分别表示一个序号及其傅立叶变换,证明:
此式是帕塞瓦尔(Parseval)定理的一种形式。
证明:
证法一
2.18当需要对带限模拟信号滤波时,经常采用数字滤波器,如图P2.18所示,图中T表示取样周期,假设T很小,足以防止混叠失真,把从x(t)到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。
(1)如果数字滤波器h(n)的截止频率等于rad,=10kHz,求整个系统的截止频率,并求出理想低通滤波器的截止频率
(2)对=20kHz,重复
(1)的计算
解理想低通滤波器的截止频率(弧度/秒)折合成数字域频率为(弧度),它比数字滤波器h(n)的截止频率(弧度)要大,故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率(弧度)来决定。
将其换算成实际频率,即将==10000Hz带入,便得到
=625Hz
理想低通滤波器的截止频率(弧度/秒)换算成实际频率使得到,即由=2,得到
===500Hz
2.19求下列序列的Z变换和收敛域
(1)(n-m)
(2)
(3)au(-n-1)
(4)
(5)cos()u(n)
(1)X(z)=n=z-nm
当m>
0时,x(n)是因果序列,收敛域为0<
|z|≤∞,无零点,极点为0(m阶);
当m<
0时,x(n)是逆因果序列,收敛域为0≤|z|≤∞,零点为0(m阶),无极点;
当m=0,X(z)=1,收敛域为0≤|z|≤∞,既无零点,也无极点
(2)X(z)=u(n)z-n==
X(n)是右边序列,它的Z变换的收敛域是半径为R的圆的外部区域,这里
R==
τ(n)还是因果序列,可以有|z|=∞,故收敛域为<
|z|≤∞。
零点为0,极点为。
X(n)还是因果序列,可以有|z|=∞,故收敛域为<
(3)x(z)==
====
X(n)是左边序列,它的Z变换的收敛域是半径围+的圆的内部区域,这里
+===
还是逆因果序列,可以有,故收敛域为零点为0,极点为。
(4)X(z)=z-n
=z-n=
X(n)是有限长序列,且它的Z变换只有负幂项,故收敛域为0<
|z|≤∞.零点为0和(10阶),极点为。
(5)
=+
=
是右边序列,它的Z变换的收敛域是半径为的圆的外部区域,这里
===1
还是因果序列,可以有,故收敛域为,零点为0和,极点为和。
2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图
(1)x(n)=a,0<
1
(2)x(n)=eu(n)
(3)x(n)=Arcos()u(n),0<
r<
(4)x(n)=u(n)
(5)x(n)=sin()u(n)
(1)X(z)==
=
X(n)是双边序列,可看成是由一个因果序列(收敛域)和一个因果序列(收敛域)相加组成,故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分,即圆环区域。
零点为0和∞,极点为和。
(2)
X(n)是右边序列,它的Z变换的收敛域是半径为的圆的外部区域,这里
X(n)还是右边序列,可以有,故收敛域为。
零点为0,极点为。
(3)
X(n)是右边序列,它的Z变换的收敛域是半径为-的圆的
外部区域,这里
还是因果序列,可以有,故收敛域为。
零点为0和,极点为和
(4)
X(n)还是因果序列,可以有,故收敛域为,无零点,极点为0。
(5)
X(z)=
是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为的圆的外部象区域,这里
还是因果序列,大故收敛域为.零点为0和.极点为
和.
2.21用三种方法求下列Z变化的逆变换
(1)X(Z)=,|Z|<
(2)X(Z)=,|Z|>
(3)X(Z)=,|Z|>
|a|
解
(1)采用幂级数法。
由收敛域课确定x(n)是左边序列。
又因为=1为有限值,所以x(n)是逆因果序列。
用长除法将X(z)展开成正幂级数,即
最后得到
x(n)=-2(-2),n=-1,-2,-3……
或 x(n)=
(2)采用部分分式展开法。
将X(z)展开陈部分分式
其中
由收敛域可确定X(n)式右边序列。
又因=1,所以X(n)还是因果序列。
用长除法分别将展开成负幂级数,即
=4[]
=-3[]
(3)采用留数定理法。
围线积分的被积函数为
当n>
0时,由给定的收敛域可知,被积函数在围线之内仅有一个极点,因此
当n=0时,被积函数在围线之内有两个极点和z=0,因此
当n<
0时,因为在围线之外无极点,且在z=处有1-n≥2阶极点,所以有=0,n<
最后解得
2.22求下列Z变换的逆变换
(1)X(z)=,1<
|z|<
2
(2)X(z)=,0.5<
(3)X(z)=,|z|>
(4)X(z)=,|a|<
|b|
解
采用部分分式法
根据收敛域和分别对应一个因果序列和逆因果序列。
将它们分别展开成的负幂级数和正幂级数,即
用留数定理法,被积函数
根据收敛域可知,对应的是一个双边序列.其中
对应于一个因果序列,即n<
0时,时,被积函数有1个极点0.5在围线内,故得
2对应于一个逆因果序列,即n0时,x(n)=0;
n<
0时,被积函数在围线外有1个极点2,且分母多项式的阶比分子多项式的阶高2-(n+1)=1-n2,故得
或
采用留数定理法,被积函数
根据收敛域可以知道,对应的序列是一个因果序列。
即n<
0时,在时,在时,被积函数在积分围线内有1个2阶极点,因此
由收敛域可知,对应的是一个双边序列。
将进行部分分式分解,即
其中
对于,收敛条件|Z|表明它对应于一个右边序列;
又因=1有限值,所以应于一个逆因果序列。
用长除法将展开成的正幂级数,即
对于,收敛条件|Z|<
b表明它对应于一个左边序列又因=0为有限值,所以对应于一个逆因果序列。
=
最后得到
2.23求X(Z)=,0<
的逆变换
解将展开成幂级数
2.24试确定X(z)=z是否代表某个序列得Z变换,请说明理由
解不能,因为,如果X(z)能代表某个序列得Z变换,则X(z)必须在收敛域内试解析函数。
但是,现在x(z)=u(x,y)+jv(x,y)=z=x-jy,显然有,即X(z)不满足柯西-黎曼!
方程,因此X(z)不是解析函数,故X(z)不能代表某个序列得Z变换。
2.25如果X(z)是x(n)得Z变换,证明:
(1)zX(z)是x(n-m)的Z变换
(2)X(az)是ax(n)的Z变换
(3)是nx(n)的Z变换
2.26证明
(1)
(3)(4)
2.27解
由于x(n)和y(n)都是因果序列,故w(n)亦是因果序列,因果序列,因而W(z)的收敛域为|z|>
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