椭圆周长和面积计算公式Word文档格式.docx
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(二)椭圆周长公式推导
长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆,却忽视了椭圆a与b的关系。
椭圆向心率为f,f=b/a。
根据椭圆第一定义,椭圆向心率f,有0<
f<
1的范围。
K1+f<
K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。
T=K1+f,将此等式代入等式
(2)则有:
L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f)
=2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)
椭圆周长计算公式:
L=2πb+4(a-b)
(三)椭圆面积公式推导
椭圆面积的取值范围:
0<
S<
πa2
(5)
(由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂。
如:
上式中πa2为π乘a的二次方。
)
椭圆面积猜想:
S=πa2T
(6)
T是猜想的椭圆面积率。
将(5)等式与(6)等式合并,得:
πa2T<
(7)
根据不等式基本性质,将不等式(7)同除πa2,则有:
1。
可得:
S=πa2T=πa2(K+f)
(8)
在等式(8)中K=0,f=b/a,代入等式中:
S=πa2b/a=πab
椭圆面积计算公式:
S=πab
关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题
易亚苏
《椭圆定理》一文中有:
“定义1:
K1=2/(π-2),K1为椭圆第一常数。
定义2:
f=b/a,f为椭圆向心率(a>
0)。
定义3:
T=K1+f,T为椭圆周率”。
有聪明的网友提出“定义:
T=k1+f没有依据”,现就此问题作出如下分析说明。
(一)
在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中,有“T是猜想的椭圆周率”,并“定义:
T=K1+f”(《椭圆定理》中也有此定义,见上)。
《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:
π/(π-2)。
K2=π/(π-2)。
这样定义理当无可非议。
那么,K1<
K2,因为k2=k1+1,也可以说T是k1到k1+1之间的数,数学表达式为:
k1<
k1+1。
对于具体椭圆而言k1<
k1+f,f为椭圆向心率,f=b/a,0<
(a>
0)(参见《椭圆定理》)。
因为0<
1,所以k1<
k1+1与T=K1+f有同样的代数内含。
所谓“同样的代数内含”是思维数学。
由椭圆定义,a>
0,因为f=b/a,即0<
当b接近0时,椭圆接近双直线,其长度近似于4a;
当b接近a时,椭圆接近圆,其周长近似于2πa。
当b在0与a之间变化时,形状为椭圆,其周长为L=2πb+4(a-b)。
以下作简要分析,如果把椭圆的a作为椭圆单位,那么f=B(椭圆单位),B=b/a(椭圆单位),其中0<
B<
1,也即0<
T=k1+f,k1<
k1+1或k1<
k2,即是2/(π-2)<
注:
椭圆单位的概念很重要,切记并体会其内含!
在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念,“定义:
任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位,用A表示,称为椭圆单位”。
其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来,也是基于“椭圆单位”的思考而来。
(二)
研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数:
K2=2.75193839388411……
这两个奇特的数里包含了π,π是圆周率,f=b/a是0到1之间的小数,那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了π的特定数,所以定义T为“椭圆周率”。
椭圆周率与圆周率不同,圆周率是固定的值π,椭圆周率是变化的值T=k1+f,它随椭圆b与a的比值变化而变化。
从某种意义上说圆是椭圆的范围,由于椭圆定义了a>
0,所以只能称“圆是椭圆的范围”,而不能称圆是特殊的椭圆。
但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考,所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形,只能发出“圆完美的和谐,椭圆和谐的完美”这样的感叹。
(三)
笔者认为任何科学研究的方法都基于:
1、发现特殊现象;
2、提出假设或猜想;
3、利用假设或猜想做出结论;
4、对结论进行检验。
《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。
笔者认为论文不在长短,而在其价值。
当今的椭圆理论是不完整的(比如只有近似的椭圆周长计算公式,缺少标准的椭圆周长计算公式),那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。
任何科学的原始依据从哪里来?
从发现来。
对特殊现象的发现加以总结,通过检验就可以成为理论;
理论升华就是科学,科学也是理论依据的源泉。
(四)
椭圆周长无疑在4a<
2πa范围变化,并与f=b/a值存在某种对应的关系,其核心就是T=k1+f。
椭圆里的B(B=b/a椭圆单位)从0到1的平滑变化,必然导致其椭圆周长的平滑变化。
椭圆是平滑的闭合曲线,其周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。
所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率,f=b/a,(a>
如果引用椭圆单位,则4<
2π(椭圆单位)。
在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”,可惜网上尚未能表示出“验算公式表”,相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”,并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)进行序列的直观检验。
椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)中虽然没有出现椭圆周率T,但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体,公式为用。
(五)
当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一,现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值,这也是科学的遗憾之一,所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。
笔者认为一个公式的对与错,既有意义也没有意义,因为科学是发展的,科学是循序渐进的过程。
科学探索的过程是寂寞而愉快的,但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确,如果没有这样的观念,科学也就难于进步。
10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义,然而10的负50次方对现代人而言可以代表0,也可以不代表0。
随着科学技术的提高,10的负N次方的意义也在发生变化。
宇宙之浩大,用椭圆周长的近似公式去研究宇宙,今天不出问题,明天必定要出大问题。
人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的,科学发展到今天,我们更要具有科学发展观。
任一部分椭圆面积
椭圆周长
(一)椭圆周长计算公式
L=2πb+4(a-b)
(二)椭圆面积计算公式
S=πab
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
近似L=√(4abπ^2+15(a-b)^2)(1+MN)(M=4/√15-1、N=((a-b)/a)^9)近似L=πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+MN)(Q=a+b、H=((a-b)/(a+b))^2、M=22/7π-1、M=((a-b)/a)^33.697、)
标准L=Qπ(1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…)(h=(a-b)/(a+b),Q=a+b,)
几何图形及计算公式查询
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C=4a
S=a2
长方形
a和b-边长
C=2(a+b)
S=ab
三角形
a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=(a+b+c)/2
S=ah/2
=ab/2·
sinC
=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
=a2sinBsinC/(2sinA)
四边形
d,D-对角线长
α-对角线夹角
S=dD/2·
sinα
平行四边形
a,b-边长
h-a边的高
α-两边夹角
S=ah
=absinα
菱形
a-边长
α-夹角
D-长对角线长
d-短对角线长
S=Dd/2
=a2sinα
梯形
a和b-上、下底长
h-高
m-中位线长
S=(a+b)h/2
=mh
圆
r-半径
d-直径
C=πd=2πr
S=πr2
=πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C=2r+2πr×
(a/360)
S=πr2×
弓形
l-弧长
b-弦长
h-矢高
α-圆心角的度数
S=r2/2·
(πα/180-sinα)
=r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2
=παr2/360-b/2·
[r2-(b/2)2]1/2
=r(l-b)/2+bh/2
≈2bh/3
圆环
R-外圆半径
r-内圆半径
D-外圆直径
d-内圆直径
S=π(R2-r2)
=π(D2-d2)/4
椭圆
D-长轴
d-短轴
S=πDd/4
立方图形
面积S和体积V
正方体
S=6a2
V=a3
长方体
a-长
b-宽
c-高
S=2(ab+ac+bc)
V=abc
棱柱
S-底面积
V=Sh
棱锥
V=Sh/3
棱台
S1和S2-上、下底面积
V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体
S1-上底面积
S2-下底面积
S0-中截面积
V=h(S1+S2+4S0)/6
圆柱
r-底半径
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C=2πr
S底=πr2
S侧=Ch
S表=Ch+2S底
V=S底h
=πr2h
空心圆柱
V=πh(R2-r2)
直圆锥
V=πr2h/3
圆台
r-上底半径
R-下底半径
V=πh(R2+Rr+r2)/3
球
V=4/3πr3=πd2/6
球缺
h-球缺高
r-球半径
a-球缺底半径
V=πh(3a2+h2)/6
=πh2(3r-h)/3
a2=h(2r-h)
球台
r1和r2-球台上、下底半径
V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
圆环体
R-环体半径
D-环体直径
r-环体截面半径
d-环体截面直径
V=2π2Rr2
=π2Dd2/4
桶状体
D-桶腹直径
d-桶底直径
h-桶高
V=πh(2D2+d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
1.几何体的表面积体积计算公式
圆柱体:
表面积:
2πRr+2πRh体积:
πRRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)
圆锥体:
πRR+πR[(hh+RR)的平方根]体积:
πRRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,
2平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C=4aS=a2
长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab
三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中
s=(a+b+c)/2S=ah/2=ab/2·
sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)
四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·
sinα
平行四边形a,b-边长h-a边的高α-两边夹角S=ah=absinα
菱形a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sinα
梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2=mh
圆r-半径d-直径C=πd=2πrS=πr2=πd2/4
扇形r—扇形半径a—圆心角度数C=2r+2πr×
(a/360)S=πr2×
(a/360)
弓形l-弧长S=r2/2·
(πα/180-sinα)
b-弦长=r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2
h-矢高=παr2/360-b/2·
[r2-(b/2)2]1/2
r-半径=r(l-b)/2+bh/2
α-圆心角的度数≈2bh/3
圆环R-外圆半径S=π(R2-r2)
r-内圆半径=π(D2-d2)/4
D-外圆直径
d-内圆直径
椭圆D-长轴S=πDd/4
d-短轴
3补充版
平面图形
名称符号
周长C和面积S
正方形a—边长C=4a
S=a^2
长方形
a和b-边长C=2(a+b)
S=ab
三角形
a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=(a+b+c)/2S=ah/2
=ab/2·
=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
=a^2sinBsinC/(2sinA)
四边形
d,D-对角线长
α-对角线夹角S=dD/2·
平行四边形
a,b-边长
h-a边的高
α-两边夹角S=ah
=absinα
菱形
a-边长
α-夹角
D-长对角线长
d-短对角线长S=Dd/2
=a^2sinα
梯形
a和b-上、下底长
h-高
m-中位线长S=(a+b)h/2
=mh
圆
r-半径
d-直径C=πd=2πr
S=πr^2
=πd^2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C=2r+2πr×
S=πr^2×
弓形
l-弧长
b-弦长
h-矢高
r-半径
α-圆心角的度数S=r^2/2·
=r^2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h^2)1/2
=παr^2/360-b/2·
[r^2-(b/2)^2]1/2
=r(l-b)/2+bh/2
≈2bh/3
圆环
R-外圆半径
r-内圆半径
D-外圆直径
d-内圆直径S=π(R^2-r^2)
=π(D^2-d^2)/4
椭圆
D-长轴
d-短轴S=πDd/4
立方图形
面积S和体积V
正方体a-边长S=6a^2
V=a^3
长方体
a-长
b-宽
c-高S=2(ab+ac+bc)
V=abc
棱柱
S-底面积
h-高V=Sh
棱锥
h-高V=Sh/3
棱台
S1和S2-上、下底面积
h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3
拟柱体
S1-上底面积
S2-下底面积
S0-中截面积
h-高V=h(S1+S2+4S0)/6
圆柱
r-底半径
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积C=2πr
S底=πr^2
S侧=Ch
S表=Ch+2S底
V=S底h
=πr^2h
空心圆柱
R-外圆半径
h-高V=πh(R^2-r^2)
直圆锥
r-底半径
h-高V=πr^2h/3
圆台
r-上底半径
R-下底半径
h-高V=πh(R^2+Rr+r^2)/3
球
d-直径V=4/3πr^3=πd^3/6
球缺
h-球缺高
r-球半径
a-球缺底半径V=πh(3a^2+h^2)/6
=πh^2(3r-h)/3
a2=h(2r-h)
球台
r1和r2-球台上、下底半径
h-高V=πh[3(r1^2+r2^2)+h^2]/6
圆环体
R-环体半径
D-环体直径
r-环体截面半径
d-环体截面直径V=2π2Rr^2
=π2Dd^2/4
桶状体
D-桶腹直径
d-桶底直径
h-桶高V=πh(2D^2+d^2)/12
V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15
(母线是抛物线形)参考资料:
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