全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全文档格式.doc
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若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;
若角A为,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
11.如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点,点是点关于原点的对称点.
(1)设点分有向线段所成的比为,证明:
;
(2)设直线的方程是,过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线,求圆的方程.
12.已知动点P(p,-1),Q(p,),过Q作斜率为的直线l,PQ中点M的轨迹为曲线C.
(1)证明:
l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点;
(2)若
(1)中的其中一个公共点为A,证明:
AP是曲线C的切线;
(3)设直线AP的倾斜角为,AP与l的夹角为,证明:
或是定值.
13.在平面直角坐标系内有两个定点和动点P,坐标分别为、,动点满足,动点的轨迹为曲线,曲线关于直线的对称曲线为曲线,直线与曲线交于A、B两点,O是坐标原点,△ABO的面积为,
(1)求曲线C的方程;
(2)求的值。
14.已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.
(Ⅰ)若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程;
(Ⅱ)若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15.若F、F为双曲线的左右焦点,O为坐标原点,P在双曲线的左支上,点M在右准线上,且满足;
.
(1)求该双曲线的离心率;
(2)若该双曲线过N(2,),求双曲线的方程;
(3)若过N(2,)的双曲线的虚轴端点分别为B、B(B在y轴正半轴上),点A、B在双曲线上,且时,直线AB的方程.
16.以O为原点,所在直线为轴,建立如所示的坐标系。
设,点F的坐标为,,点G的坐标为。
(1)求关于的函数的表达式,判断函数的单调性,并证明你的判断;
(2)设ΔOFG的面积,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点G,求当取最小值时椭圆的方程;
(3)在
(2)的条件下,若点P的坐标为,C、D是椭圆上的两点,且,求实数的取值范围。
17.已知点C为圆的圆心,点A(1,0),P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且
(Ⅰ)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线与(Ⅰ)中所求点Q
的轨迹交于不同两点F,H,O是坐标原点,
且,求△FOH的面积的取值范围。
18.如图所示,O是线段AB的中点,|AB|=2c,以点A为圆心,2a为半径作一圆,其中。
O
(1)若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系,求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线;
(2)经过点O的直线l与直线AB成60°
角,当c=2,a=1时,动点P的轨迹记为E,设过点B的直线m交曲线E于M、N两点,且点M在直线AB的上方,求点M到直线l的距离d的取值范围。
19.设O为坐标原点,曲线上有两点P、Q满足关于直线对称,又以PQ为直径的圆过O点.
(1)求的值;
(2)求直线PQ的方程.
20.在平面直角坐标系中,若,且,
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知定点,若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点,且对于轨迹上任意一点,都存在,使得成立,试求出满足条件的实数的值。
21.已知双曲线(a>
0,b>
0)的右准线一条渐近线交于两点P、Q,F是双曲线的右焦点。
(I)求证:
PF⊥;
(II)若△PQF为等边三角形,且直线y=x+b交双曲线于A,B两点,且,求双曲线的方程;
(III)延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N,若M为PN的中点,求双曲线的离心率e。
22.已知又曲线在左右顶点分别是A,B,点P是其右准线上的一点,若点A关于点P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,且M、N都在此双曲线上。
(I)求此双曲线的方程;
(II)求直线MN的倾斜角。
23.如图,在直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)()。
设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ,若。
(I)求点P的轨迹G的方程;
(II)设过点C(0,-1)的直线与轨迹G交于不同两点M、N。
问在x轴上是否存在一点,使△MNE为正三角形。
若存在求出值;
若不存在说明理由。
24.设椭圆过点,且焦点为。
(1)求椭圆的方程;
(2)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时,在线段上取点,
满足,证明:
点总在某定直线上。
25.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足、
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
26.设,、分别为轴、轴上的点,且,动点满足:
(2)过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、,问在轴上是否存在一定点,使得直线、的倾斜角互补?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
27.如图,直角梯形ABCD中,∠,AD∥BC,AB=2,AD=,BC=
椭圆F以A、B为焦点,且经过点D,
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆F的方程;
C
(Ⅱ)是否存在直线与两点,且线段,若存在,求直线的方程;
若不存在,说明理由.
28.如图所示,B(–c,0),C(c,0),AH⊥BC,垂足为H,且.
(1)若=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率;
(2)D分有向线段的比为,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,
当―5≤≤时,求椭圆的离心率e的取值范围.
29.在直角坐标平面中,的两个顶点的坐标分别为,,平面内两点同时满足下列条件:
答案:
1.解:
(Ⅰ)以A点为坐标原点,l1为x轴,建立如图所示的坐标系,则D(1,0),B(4,0),设M(x,y),
则N(x,0).
∵|BN|=2|DM|,
∴|4-x|=2,
整理得3x2+4y2=12,
∴动点M的轨迹
方程为.
(Ⅱ)∵
∴A、D、G三点共线,即点G在x轴上;
又∵∴H点为线段EF的中点;
又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。
设l:
y=k(x-1)(k≠0),代入3x2+4y2=12得
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于l过点D(1,0)是椭圆的焦点,
∴l与椭圆必有两个交点,
设E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点H的坐标为(x0,y0),
∴x1+x2=,x1x2=,
x0==,y0=k(x0-1)=,
∴线段EF的垂直平分线为
y-y0=-(x-x0),令y=0得,
点G的横坐标xG=ky0+x0=+=
=-,
∵k≠0,∴k2>
0,∴3+4k2>
3,0<
<
,∴-<
-<
0,
∴xG=-(0,)
∴点G的横坐标的取值范围为(0,).
2.解:
∵,∴
由得
∴设椭圆的方程为()
即()
设是椭圆上任意一点,则
()
若即,则当时,
由已知有,得;
由已知有,得(舍去).
综上所述,,.
所以,椭圆的方程为.
3.解:
(I)由已知
∴椭圆的方程为,双曲线的方程.
又∴双曲线的离心率
(Ⅱ)由(Ⅰ)A(-5,0),B(5,0)设M得M为AP的中点
∴P点坐标为将M、p坐标代入c1、c2方程得
消去y0得解之得
由此可得P(10,
当P为(10,时PB:
即
代入
MN⊥x轴即
4.解:
(1)由题意可知所以椭圆方程为
设,将其代入椭圆方程相减,将
代入可化得
(2)若2<
3,则
5.解:
(1)直线AB方程为:
bx-ay-ab=0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
(2)假若存在这样的k值,由得
∴ ①
设,,,则 ②
而
要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时,则,即
∴ ③
将②式代入③整理解得经验证,,使①成立
综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E
6.解:
(1)设
,点在线段的中垂线上
由已知;
又∥,
又
,顶点的轨迹方程为.
(2)设直线方程为:
,,
由消去得:
①
,
而
由方程①知><
,<<,.
7.解:
解:
令
则即
即
又∵∴
所求轨迹方程为
(Ⅱ)解:
由条件
(2)可知OAB不共线,故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形,∴OA⊥OB
∴得
所求直线方程为…
8.解:
(I)由题意,抛物线顶点为(-n,0),又∵焦点为原点∴m>0
准线方程且有m=4n.
∵准线与直线交点在x轴上,交点为
又与x轴交于(-2,0),∴m=4,n=1
∴抛物线方程为y2=4(x+1)
(II)由
∴-1<k<1且k≠0
∴AB的中垂线方程为
得
∴p∈(2,+∞)
(III)∵抛物线焦点F(0,0),准线x=-2
∴x=-2是Q的左准线
设Q的中心为O′(x,0),则短轴端点为(±
x,y)
若F为左焦点,则c=x>0,b=|y|
∴a2=b2+c2=x2+y2
依左准线方程有即y2=2x(x>0)
若F为右焦点,则x<0,故c=-x,b=|y|
∴a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有
即化简得2x2+2x+y2=0
即(x<0,y≠0)
9.解:
建立如原题图所示的坐标系,则AB的方程为由于点P在AB上,可设P点的坐标为则长方形面积
化简得易知,当
(21)解:
设A(-c,0),A1(c,0),则(其中c为双曲线的半焦距,h为C、D到x轴的距离)即E点坐标为
设双曲线的方程为,将代入方程,得①
将代入①式,整理得
消去
由于
10.解:
1)设B(,),C(,),BC中点为(),F(2,0)
则有
两式作差有
(1)
F(2,0)为三角形重心,所以由,得
由得,
代入
(1)得
直线BC的方程为
2)由AB⊥AC得
(2)
设直线BC方程为,得
,
代入
(2)式得
,解得或
直线过定点(0,,设D(x,y)
则
即
所以所求点D的轨迹方程是。
11.解:
(1)依题意,可设直线的方程为代入抛物线方程得
①
设两点的坐标分别是、、是方程①的两根.
所以
由点分有向线段所成的比为,得
又点与点关于原点对称,故点的坐标是,从而.
所以
(2)由得点的坐标分别是(6,9)、(-4,4),
由得
所以抛物线在点处切线的斜率为,
设圆的圆心为,方程是
则解得
则圆的方程是(或)
12.解:
(1)直线l的方程是:
,即,经过定点(0,1);
又M(p,),设x=p,y=,消去p,得到的轨迹方程为:
由有,其中△=4p2+16,所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点.
(2)由,设A(),
则=,
又函数的导函数为,故A处的切线的斜率也是,从而AP是曲线C的切线.对于另一个解同样可证.
(3)当A()时,tan=,
tan==,
tantan=1,
又易知与都是锐角,所以=90°
;
当A()时,tan=,
tan==,tantan=-1,
又易知是钝角,都是锐角,所以=90°
.总之或是定值.
13.解:
(1)设P点坐标为,则
,化简得,
所以曲线C的方程为;
(2)曲线C是以为圆心,为半径的圆,曲线也应该是一个半径为的圆,点关于直线的对称点的坐标为,所以曲线的方程为
该圆的圆心到直线的距离为
,或,
所以,,或。
14.解:
(Ⅰ)(法一)由题意知,,,
(1分)
解得.由双曲线定义得:
所求双曲线的方程为:
(法二)因,由斜率之积为,可得解.
(Ⅱ)设,
(法一)设P的坐标为,由焦半径公式得,,,
的最大值为2,无最小值.此时,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设,.
(1)当时,,
此时.
(2)当,由余弦定理得:
,
,综上,的最大值为2,但无最小值.(以下法一)
15.解:
(1)由知四边形PF为平行四边形,∵
(∴OP平分∠,∴平行四边形PFOM为菱形,又∵
∴.
(2)∵∴∴双曲线的方程为∴所求双曲线的方程为
(3)依题意得∴、B、B共线,不妨设直线AB为:
y=kx-3,A(x则有,得,因为的渐进线为,当时,AB与双曲线只有一个交点,不合题意,当∴,
又,∴∴所求的直线AB的方程为.
16.解:
(1)由题意知,则
函数在是单调递增函数。
(证明略)(4分)
(2)由,
点G,
因在上是增函数,当时,取最小值,此时,
依题意椭圆的中心在原点,一个焦点F(3,0),设椭圆方程为,由G点坐标代入与焦点F(3,0),可得椭圆方程为:
(9分)
(3)设,则,
由,,
因点C、D在椭圆上,代入椭圆方程得,,消去,
得,又,
则实数的取值范围为。
17.解:
(1)由题意MQ是线段AP的垂直平分线,于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>
|CA|=2,于是点Q的轨迹是以点C,A为焦点,半焦距c=1,长半轴a=的椭圆,短半轴
点Q的轨迹E方程是:
.
(2)设F(x1,y1)H(x2,y2),则由,
消去y得
又点O到直线FH的距离d=1,
18.解:
(1)以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-c,0),B(c,0)
依题意:
∴点P的轨迹为以A、B为焦点,实半轴为a,虚半轴为的双曲线右支
∴轨迹方程为:
。
(2)法一:
设M(,),N(,)
依题意知曲线E的方程为
,l的方程为
设直线m的方程为
由方程组,消去y得
①
∴
∵直线与双曲线右支交于不同的两点
∴及,从而
由①得
解得且
当x=2时,直线m垂直于x轴,符合条件,∴
又设M到l的距离为d,则
∵
设,
由于函数与均为区间的增函数
∴在单调递减
∴的最大值=
又∵
而M的横坐标,∴
法二:
为一条渐近线
①m位于时,m在无穷远,此时
②m位于时,,d较大
由
点M
故
19.解:
(1)曲线表示以为圆心,以3为半径的圆,圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得
(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为
.
将直线与圆的方程联立得
由解得.
又以PQ为直径的圆过O点
解得
故所求直线方程为
20.解:
(1)∵,且,
∴动点到两个定点的距离的和为4,
∴轨迹是以为焦点的椭圆,方程为
(2)设,直线的方程为,代入,
消去得,
由得,且,
∴
设点,由可得
∵点在上,
∴,
又因为的任意性,∴,
∴,又,得,
代入检验,满足条件,故的值是。
21.解:
(1)不妨设.
F.(c,0)
设
k2=∴k1k2=-1.
即PF⊥.
(2)由题
.x2-bx-b2=0,
∴a=1,∴双曲线方程为
(3)y=-M(-
∴N(-).
又N在双曲线上。
∴e=
22.解:
(I)点A、B的坐标为A(-3,0),B(3,0),设点P、M、N的坐标依次为
则有
②4-①得,解得c=5
故所求方程是
(II)由②得,
所以,M、N的坐标为
所以MN的倾斜角是
23.解:
(I)由已知,当时,
当时,,也满足方程<
1>
∴所求轨迹G方程为
(II)假设存在点,使为正△
设直线方程:
得:
∴MN中点
在正△EMN中,
与矛盾
∴不存在这样的点使△MNE为正△
24.解:
(1)由题意:
,解得,
所求椭圆方程为
(2)解:
设过P的直线方程为:
设,,
∵,∴,即,
化简得:
去分母展开得:
,解得:
又∵Q在直线上,
∴,∴
即,
∴Q恒在直线上。
25.解:
(1)解:
即点C的轨迹方程为x+y=1
26.解:
(1)设,则、,
又,,即.
(2)设直线的方程为:
,、
假设存在点
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