等边三角形解答题Word文档下载推荐.docx
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△FGH是等边三角形.
(2)将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,△FGH还是等边三角形吗?
若是请给出证明;
若不是,请说明理由.
8.已知:
等边△ABC的边长为a.探究
(1):
如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:
△MNG是等边三角形且MN=探究
(2):
在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D、E、F.①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):
结论1.OD+OE+OF=a;
结论2.AD+BE+CF=a;
②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?
如果成立,请给予证明;
如果不成立,请说明理由.
9.如图1,△ABC为等边三角形,面积为S.D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点,且AD1=BE1=CF1=1/2AB,连接D1E1、E1F1、F1D1,可得△D1E1F1是等边三角形,此时△AD1F1的面积S1=1/4S,△D1E1F1的面积S1=1/4S.
(1)当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点,且AD2=BE2=CF2=1/3AB时如图2,①求证:
△D2E2F2是等边三角形;
②若用S表示△AD2F2的面积S2,则S2=2/9SS;
若用S表示△D2E2F2的面积S2′,则S2′=1/3S.
(2)按照上述思路探索下去,并填空:
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点,ADn=BEn=CFn=1/n+1AB时,(n为正整数)△DnEnFn是等边三角形;
若用S表示△ADnFn的面积Sn,则Sn=n/(n+1)2S;
若用S表示△DnEnFn的面积Sn′,则S′n=n2-n+1/n2+2n+1S.
10.如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点,
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?
试证明你的结论.
11.如图,已知AD和BC交于点O,且△OAB和△OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB,连接AC、AE和CE,CE和AD相交于点F.求证:
△ACE为等边三角形.
12.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE,DE.求证:
EC=ED.
13.如图,在等边△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC上.
(1)如果AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,求证:
△DEF是等边三角形;
(2)如果AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,△DEF仍是等边三角形吗?
(3)直接写出D、E、F三点满足什么条件时,△DEF是等边三角形
14.已知:
如图,AD、BE、CF是等边△ABC的角平分线.求证:
△DEF是等边三角形.
15.等边三角形ABC中,CE、BF分别为AB、AC的中线,CE和BF交于点N,M为BN的中点,求证:
△EMN为等边三角形.
16.如图所示,已知△ABC是等边三角形,∠B、∠C的平分线相交于O,OD∥AB,OE∥AC.试说明:
BD=DE=EC.
17.
(1)如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的三角形DEF,△DEF是等边三角形吗?
你还能找到其他的等边三角形吗?
点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点吗?
请证明你的结论.
(2)如果△DEF是等边三角形,点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点,那么△ABC是等边三角形吗?
请证明你的结论.
18.在等边△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,若OB,OC的垂直平分线交BC于点E,F,猜想EF与AB之间的数量关系,并加以证明.
19.如图,已知正六边形ABCDEF的面积为a,AB、CD、EF所在的直线围成△PQR,求△PQR的面积.
20.如图,P为等边△ABC内任一点,设PA=x,PB=y,PC=z,AB=a.求证:
x+y+z<2a.
21.如图所示,点D为等边△ABC的AC边上的一点,∠1=∠2,BD=CE.求证:
△DAE是等边三角形.
22.如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,∠EBC=∠BED=60°
,AD平分∠BAC,求证:
∠D=30°
.
23.等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°
、60°
的直角三角板60°
角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.
(1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;
(2)在
(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积;
(3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长.
24.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形:
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE吗?
若相等请证明,若不等于请说明理由;
(2)当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时,△AMN还是等边三角形吗?
若是请证明,若不是,请说明理由(可用第一问结论).
25.如图所示,已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A(-4,0),B(2,0).试求:
(1)C点的坐标;
(2)△ABC的面积.
26.等边三角形ABC中,AD是高,AD=3,∠ABC的平分线交AD于点O,E是AC边上的运动点,连结OE且以OE为边长的等边△OEF,当F点落在BC边上时,请你证明△CEF是等边三角形.
27.已知:
在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD.
(1)如图①,若∠AOB=∠COD=60°
,求证:
①AC=BD
②∠APB=60°
.
(2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为AC=BD,∠APB的大小为α(直接写出结果,不证明)
28.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°
,∠BCD=120°
,连接AC,BD交于点E.
(1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:
CM=1:
2,连接BM,求点C到BM的距离.
(2)证明:
BC+CD=AC.
29.如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论:
(1)AG=1/2AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
30.已知如图平行四边形ABCD,分别以AB,BC为边作等边△EAB与等边△FBC,连接EF,DF与DE,猜想△DEF的形状并加以证明.
31.如图1,图2,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC边上的两个动点(与点A、B、C不重合),始终保持BD=CE.
(1)当点D、E运动到如图1所示的位置时,求证:
CD=AE.
(2)把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°
到△ABF的位置(如图2),分别连接DF、EF.①找出图中所有的等边三角形(△ABC除外),并对其中一个给予证明;
②试判断四边形CDFE的形状,并说明理由.
32.图1、图2中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图1,线段AN与线段BM是否相等?
证明你的结论;
(2)如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
33.如图,等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ:
BC=1:
2,过P作PE⊥AC于E,连PQ交AC边于D,求DE的长?
34.已知,如图,等边三角形△ABC中,DG∥BC,点E在GD的延长线上,且DE=DC,连接AF、BD.
(1)求证:
△AGE≌△DAB;
(2)F是BC上的一点,连接AF、EF,如果△AEF是等边三角形,那么四边形BDEF是什么四边形?
并请说明理由.
35.如图:
已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:
DE=DF;
(2)若∠A=60°
,BE=1,求△ABC的周长.
36.如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图中有几个等腰三角形?
猜想:
EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由.
(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?
如果有,分别指出它们.在第
(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?
EF与BE、CF关系又如何?
说明你的理由.
37.数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论:
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE=DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)一般情况,证明结论:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你继续完成对以上问题
(1)中所填写结论的证明)
(3)拓展结论,设计新题:
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.
若△ABC的边长为1,AE=2,则CD的长为1或3(请直接写出结果).
38.如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD,求证:
△ADE为等边三角形.
39.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)如图1,连接EC,求证:
△EBC是等边三角形;
(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°
,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系;
(3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°
,NG交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由.
40.如图,在△ABC中,D,E在直线BC上.
(1)若AB=BC=AC=CE=BD,求∠EAC的度数;
(2)若AB=AC=CE=BD,∠DAE=100°
,求∠EAC的度数.
20.如图,已知△ABC中,∠BAC=120°
,P为△ABC内一点.求证:
PA+PB+PC>AB+AC.
21.如图:
△ABC是等边三角形,O是∠B、∠C两角平分线的交点,EO⊥BO,FO⊥CO.求证:
△AEF的周长等于BC的长.
41.已知△ABC是等边三角形,点P是AC上一点,PE⊥BC于点E,交AB于点F,在CB的延长线上截取BD=PA,PD交AB于点I,PA=nPC.
(1)如图1,若n=1,则EB/BD=3/2,FI/ED=1
(2)如图2,若∠EPD=60°
,试求n和FI/ED的值;
(3)如图3,若点P在AC边的延长线上,且n=3,其他条件不变,则EB/BD=5/6.(只写答案不写过程)
42.如图所示,某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°
方向,该船以每小时10海里的速度航行到C处,再观测海岛B在北偏东30°
方向,又以同样的速度继续航行到D处,再观测海岛在北偏西30°
方向,当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里,请你确定轮船到达C处和D处的时间.
43.如图,点B、C、E在一条直线上,△ABC、△DCE均为等边三角形,求证:
(1)BD=AE;
(2)△CFG为等边三角形.
44.说理填空题:
如图,EC=EB,∠CDA=120°
,DF∥BE,且DF平分∠CDA,试说明AD与BC平行的理由.
解:
∵DF平分∠CDA,∠CDA=120°
(已知)
∴∠FDC=1/2∠=60°
,
∵DF∥BE,(已知),
∴∠FDC=∠BEC=60°
两直线平行,同位角相等
两直线平行,同位角相等
又∵EC=EB,(已知)
∴△BCE为等边三角形.有一个角为60°
的等腰三角形是等边三角形
有一个角为60°
∴∠C=°
60°
∵∠CDA=120°
∴∠C+∠CDA=180°
∴AD∥BC同旁内角互补,两直线平行.
45.说理填空:
如图,点E是DC的中点,EC=EB,∠CDA=120°
,DF∥BE,且DF平分∠CDA,若△BCE的周长为18cm,求DC的长.
因为DF平分∠CDA,(已知)所以∠FDC=1/2∠ADC.(角平分线意义)
因为∠CDA=120°
,(已知)所以∠FDC=60°
因为DF∥BE,(已知)所以∠FDC=∠BEC=60°
.(两直线平行,同位角相等)
又因为EC=EB,(已知)所以△BCE为等边三角形.(有一个角是60°
等腰三角形是等边三角形)
因为△BCE的周长为18cm,(已知)
所以BE=EC=BC=6cm.
因为点E是DC的中点,(已知)
所以DC=2EC=12cm.
46.如图,△ABC为等边三角形,∠1=∠2=∠3.
(1)求∠BEC的度数;
(2)△DEF是等边三角形吗?
为什么?
47.已知:
如图,在等边三角形ABC中,点D是AC边上的一个动点(D与A,C不重合),延长AB到E,使BE=CD,连接DE交BC于点F.
(1)求证:
DF=EF;
(2)若△ABC的边长为10,设CD=x,BF=y,求y与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围.
48.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°
,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°
得△ADC,则△ADC≌△BOC,连接OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当α=120°
时,试判断AD与OC的位置关系,并说明理由;
(3)探究:
当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
49.如图,已知等边△ABC和等边△CDE,P、Q分别为AD、BE的中点.
(1)试判断△CPQ的形状并说明理由.
(2)如果将等边△CDE绕点C旋转,在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗?
请你将图2中的图形补画完整并说明理由.
50.已知:
点D是等边△ABC边上任意一点,∠ABD=∠ACE,BD=CE.
(1)说明△ABD≌△ACE的理由;
51.在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,CE为△ACD的角平分线,EF⊥BC于点F,EF交CD于点G
(1)如图1,求证:
BE=CG;
(2)如图2,点M在AC上,AM=AD,连接BM交CE于点N,过点G做GH⊥CE于点H,若△EGH的面积为l8,AD=3ED,求EN的长.
52.如图,已知D为等边△ABC内一点,将△DBC绕点C旋转成△EAC.试判断△CDE的形状,并证明你的结论.
53.如图,已知△ABC是等边三角形,OE∥AB,OF∥AC,你认为△OEF是什么三角形?
请说明理由.
54.如图,某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析.在讨论中得到了∠B=∠C=60°
,B、F、H、C都在线段BC上,EF∥GH∥AC,PH∥GF∥AB的正确结论.接着又有两位同学各自提出了如下一个结论:
甲:
△ABC、△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形.乙:
线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长.
(1)请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确?
(2)将
(1)中你认为正确的结论给予证明?
55.如图所示,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t
s,解答下列问题:
(1)当点Q到达点C时,PQ与AB的位置关系如何?
请说明理由.
(2)在点P与点Q的运动过程中,△BPQ是否能成为等边三角形?
若能,请求出t,若不能,请说明理由.
56.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠A=60°
,BC=2,CD=4.
(1)求∠ADC的度数.
(2)求四边形ABCD的面积.
57.如图,A是线段CB上的一点,△ABD,△ACE都是等边三角形,AD与BE相交于点G,AE与CD相交于点F.
(1)求证:
△BAE≌△DAC;
△AGF是等边三角形.
58.在△ABC中,∠A=60°
,∠ABC、∠ACB所对的b、c满足:
b2+c2-2(b+c)+2=0.
(1)试证:
△ABC是边长为1的等边三角形;
(2)若b、c两边上的中线BD、CE交于点O,求OD:
OB的值.
59.如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,P是△ABC内的任意一点,过点P作EF∥AB分别交AC、BC于点E、F,作GH∥BC分别交AB、AC于点G、H,作MN∥AC分别交AB、BC于点M、N.试求EF+GH+MN的值.
60.如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连PQ交AC边于D.
(1)求证:
PD=DQ;
(2)若△ABC的边长为1,求DE的长.
61.如图,P为等边△ABC内的一点,PA=2,PB=2,PC=4,将△BAP绕B点逆时针旋转60°
得到△BCM,连结MP,判断下列结论是否正确,并说明理由.
(1)△BPM是等边三角形;
(2)△CPM是直角三角形.
62.如图,在△OBC中,点O为坐标原点,点C坐标为(4,0),点B坐标为(2,2),AB⊥y轴,点A为垂足,OH⊥BC,点H为垂足.动点P、Q分别从点O、A同时出发,点P沿线段OH向点H运动,点Q沿线段AO向点O运动,速度都是每秒1个单位长度.设点P的运动时间为t秒.
(1)求证:
OB=CB;
(2)若△OPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式及定义域;
(3)当PQ⊥OB(垂足为点M)时,求五边形ABHPQ的面积的值.
63.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD.求证:
DB=DE.
64.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE,连接BE.
(1)填空:
当点D运动到点M时,∠ACE=120度;
(2)当点D在线段AM上(点D不运动到点A)时,求证:
△ADC≌△BEC;
(3)若AB=8,以点C为圆心,以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点,在点D运动的过程中(点D与点A重合除外),试求PQ的长.
65.如图
(1),△ABC是等边三角形,DE是中位线,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE,EF.
(1)求证:
BE=EF;
(2)若将DE从中位线的位置向上平移,使点D,E分别在线段AB,AC上(点E与点A不重合),其他条件不变,如图
(2),则
(1)题中的结论是否成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
66.如图,P是等边△ABC内部一点,PC=3,PA=4,PB=5.求AC2.
67.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H.
(1)求证:
△BCE≌△ACD;
FH∥BD.
68.已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:
△MNC是等边三角形.
69.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ.求证:
△PCQ为等边三角形.
70.为了使同学们更好地解答本题,我们提供了思路点拨,你可以依照这个思路填空,并完成本题解答的全过程,当然你也可以不填空,只需按照解答的一般要求,进行解答即可.
如图,已知AB=AD,∠BAD=60°
,延长BC,使CE=CD,连接DE,求证:
BC+DC=AC.思路点拨:
(1)由已知条件AB=AD,∠BAD=60°
,可知:
△ABD是等边三角形;
(2)同理由已知条件∠BCD=120°
得到∠DCE=60°
,且CE=CD,可知△DCE是等边三角形;
(3)要证BC+DC=AC,可将问题转化为两条线段相等,即AC=BE;
(4)要证(3)中所填写的两条线段相等,可以先证明….请你完成证明过程:
71.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连接CM.
(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系,并说明你的结论;
(2)若PA=PB=PC,则△PMC是等边三角形;
(3)若PA:
PB:
PC=1:
2:
3,试判断△PMC的形状,并说明理由.
72.如图,△ABC是等边三角形,P为△ABC内部一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
73.如图,△ABC是等边三角形,D是AC上一点,BD=CE,∠1=∠2,试判断△ADE形状,并证明你的结论.
74.如图,点O是等边△ABC内一点,D是
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