人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线《51相交线》同步练习一课一练4课时含答案Word文件下载.docx
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图5-1-6
A.90°
B.150°
C.180°
D.210°
解题突破
⑦本题利用“对顶角相等”把三个角的和转化成一个平角.
9.⑧如图5-1-7,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=3x°
,∠BOC=2x°
+40°
,则∠BOC=________°
图5-1-7
⑧解出x后,还需求2x+40.
10.图5-1-8是一个对顶角量角器,用它测量角的原理是______________.
图5-1-8
命题点3 邻补角与对顶角的综合 [热度:
90%]
11.⑨如图5-1-9,直线AB,CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,∠BOC=130°
,
∠BOF=140°
,则∠EOF的度数为( )
图5-1-9
A.95°
B.65°
C.50°
D.40°
⑨求∠EOF的度数可以转化成求两个角的和或差,再利用对顶角相等或邻补角互补进行求解.
12.如图5-1-10,∠AOC和∠BOC互为邻补角,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线,则∠DOE=________°
图5-1-10
13.⑩如图5-1-11,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.若∠AOC=28°
,则∠EOF=__________°
图5-1-11
模型建立
⑩互为邻补角的两个角的平分线的夹角是直角.
14.如图5-1-12,直线AB,CD相交于点O,∠EOB=90°
,OC平分∠AOF,∠AOF=40°
,求∠EOD的度数.
图5-1-12
15.⑪已知:
如图5-1-13,直线AB,CD相交于点O,∠1=40°
,∠BOE与∠BOC互补,OM平分∠BOE,且∠CON∶∠NOM=2∶3.求∠COM和∠NOE的度数.
图5-1-13
⑪求角时,常用到:
1.将未知角转化成两个已知角的和或差;
2.对顶角相等或邻补角互补;
3.等角(或同角)的余角(或补角)相等;
4.角平分线的性质;
5.有关比例问题常用方程解决.
16.图5-1-14是某墙角的示意图,为了测量底面内角∠ABC的大小,采用了在院外画线,测量后得到其大小的方法.请你设计两种测量方案.
图5-1-14
17.⑫观察图5-1-15中的图形,寻找对顶角(不含平角):
(1)两条直线相交(如图①),图中共有________对对顶角;
(2)三条直线相交于一点(如图②),图中共有________对对顶角;
(3)四条直线相交于一点(如图③),图中共有________对对顶角;
(4)研究
(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________对对顶角;
(5)若有2019条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.
图5-1-15
⑫本题可通过平移的方法,把n条直线相交于一点构成的对顶角问题转化为n条直线相交最多有多少个交点的问题(即n条直线两两相交).因为每个交点处有两对对顶角,所以对顶角的对数是交点个数的2倍.
18.⑬两条直线相交,四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”(如图5-1-16).现在平面上有若干条直线,它们两两相交并且“夹角”只能是30°
,60°
或90°
,问:
平面上最多有多少条直线?
当直线条数最多时,所有的“夹角”的和是多少?
图5-1-16
⑬将若干条直线两两相交的图形先转化成若干条直线交于一点的图形,按“夹角”定义看能画出多少条直线.
典题讲评与答案详析
1.D 2.C
3.解:
由邻补角的性质,得∠AOC+∠AOD=180°
由∠AOC∶∠AOD=1∶2,得∠AOD=2∠AOC,∠AOC+2∠AOC=180°
,解得∠AOC=60°
.由对顶角相等,得∠BOD=∠AOC=60°
4.B [解析]∠1是直线AB,EF相交于点O形成的角,所以它的邻补角与直线CD无关,即它的邻补角是∠BOE或∠AOF.
5.D [解析]把直角的一边反向延长,可得这个直角的邻补角.互补的两个角不一定是邻补角,但邻补角一定互补.若一个角是锐角,则它的邻补角是钝角且大于这个锐角;
若一个角是直角,则它的邻补角等于它本身;
若一个角是钝角,则它的邻补角是锐角且小于这个钝角.
6.C [解析]设∠AOB=x°
,则∠BOC=180°
-x°
.又因为∠AOB比∠BOC大18°
,所以∠AOB-∠BOC=18°
,即x°
-(180°
)=18°
,解得x=99.
7.140 [解析]由题意,得∠2+
∠2=180°
,解得∠2=140°
8.C [解析]由对顶角相等,可知∠1+∠2+∠3正好是一个平角的度数.
9.120 [解析]由对顶角相等,可得2x+40=3x,解得x=40,所以∠BOC=120°
10.对顶角相等
11.B [解析]因为∠BOF=140°
,所以∠AOF=180°
-140°
=40°
因为∠BOC=130°
,所以∠AOC=50°
因为OE是∠AOC的平分线,
所以∠AOE=∠EOC=25°
所以∠EOF=∠AOE+∠AOF=65°
12.90 [解析]因为OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线,所以∠COD=
∠AOC,∠COE=
∠BOC.因为∠BOC+∠AOC=180°
,所以∠COE+∠COD=
(∠BOC+∠AOC)=90°
13.62 [解析]由∠AOE+∠BOE=180°
,OF平分∠AOE,∠DOE=∠BOD,可得∠DOF=∠COF=90°
.又因为∠AOC=28°
,所以∠BOD=∠DOE=∠AOC=28°
,所以∠EOF=∠AOF=62°
14.解:
因为OC平分∠AOF,∠AOF=40°
所以∠AOC=
∠AOF=20°
,所以∠BOD=90°
因为∠EOB=90°
,所以∠EOD=∠EOB-∠BOD=70°
15.解:
如图,
因为∠1=40°
,所以∠6=40°
因为∠6+∠BOC=180°
,∠BOE与∠BOC互补,
所以∠6=∠BOE=40°
所以∠BOC=140°
所以∠COE=100°
因为OM平分∠BOE,所以∠2=∠3=20°
所以∠COM=120°
因为∠CON∶∠NOM=2∶3,
所以∠NOM=120°
×
=72°
所以∠NOE=72°
-20°
=52°
16.解:
方案一:
如图①所示,延长AB,量出∠CBD的度数.由邻补角的定义,可得∠ABC=180°
-∠CBD(也可延长CB).
方案二:
如图②所示,分别延长AB,CB,量出∠DBE的度数,由对顶角相等,可得∠ABC=∠DBE.
17.
(1)2
(2)6 (3)12 (4)n(n-1) (5)4074342
[解析]图①中有两条直线,共有2对对顶角;
图②中有三条直线,我们可以把直线通过平移,得到右图,三条直线相交最多有3个交点,故共有6对对顶角;
以此类推,图③中有四条直线相交,最多有
=6(个)交点,故共有12对对顶角……n条直线相交,最多有
个交点,故共有n(n-1)对对顶角.故若有2019条直线相交于一点,则可构成2019×
2018=4074342(对)对顶角.
18.解:
因为“夹角”只能是30°
,其均为30°
的倍数,所以每画一条直线后,逆时针旋转30°
画下一条直线,这样就能够保证每两条直线的“夹角”为30°
的倍数,即为30°
因为该平面上的直线两两相交,也就是说不会出现两条直线平行的情况,在画出6条直线时,直线旋转了5次,5×
30°
=150°
,若再画出第7条直线,则旋转6次,6×
=180°
,这样第7条直线就与第1条直线平行或重合.如图:
所以平面上最多有六条直线.
第2条至第6条直线与第1条直线的“夹角”的和是30°
+60°
+90°
+30°
=270°
第3条至第6条直线与第2条直线的“夹角”的和是270°
-30°
=240°
;
第4条至第6条直线与第3条直线的“夹角”的和是270°
-60°
第5条和第6条直线与第4条直线的“夹角”的和是60°
=90°
第6条直线与第5条直线的“夹角”的和是30°
,则270°
+240°
+180°
=810°
即当直线条数最多时,所有的“夹角”的和是810°
【关键问答】
①
(1)有公共顶点;
(2)其中一边为公共边,另一边互为反向延长线;
(3)两个邻补角的和为180°
②
(1)有公共顶点;
(2)角的两边分别互为反向延长线;
(3)对顶角相等.
③
(1)互为邻补角的两个角的和为180°
(2)对顶角相等.
5.1.2 垂线
第1课时 垂线
①垂直的定义的作用是什么?
②一条直线有多少条垂线?
同一平面内,经过一点画已知直线的垂线,可以画几条?
③利用三角板画已知直线的垂线的步骤是什么?
1.①如图5-1-17,直线AB,CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是( )
图5-1-17
A.∠AOD=90°
B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC+∠BOD=180°
D.∠AOC+∠BOD=180°
2.②如图5-1-18,OM⊥NP,ON⊥NP,所以ON与OM重合,理由是( )
图5-1-18
A.两点确定一条直线
B.经过一点有一条直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条直线
D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.③已知直线l1和l2,点P在直线l2上,过点P画l1的垂线CD,用三角板画图,下列操作正确的是( )
图5-1-19
命题点1垂直的定义[热度:
4.④下列语句正确的是( )
A.两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直
B.两条直线相交成四个角,如果有两对角相等,那么这两条直线垂直
C.两条直线相交成四个角,如果有三个角相等,那么这两条直线垂直
D.两条直线相交成四个角,如果有四对角互补,那么这两条直线垂直
④判定两直线垂直的方法是说明两直线相交所成的四个角中,有一个角是直角,若未直接给出直角,则需把已知条件进行转化.
5.⑤如图5-1-20所示,直线AB⊥CD于点O,下列说法正确的有( )
图5-1-20
①∠AOD+∠BOC=180°
②∠AOC=∠BOD;
③∠AOC=90°
④∠AOD=∠AOC.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
⑤两直线垂直,所得的四个角相等,都等于90°
命题点2 与垂直相关的角的计算 [热度:
94%]
6.⑥如图5-1-21,直线a与b相交于点O,MO⊥a,垂足为O,若∠2=35°
,则∠1的度数为( )
图5-1-21
A.75°
C.60°
D.55°
⑥对于求有公共顶点的角的问题,常利用垂直得90°
这一条件,通过角平分线的性质、对顶角相等、邻补角的和为180°
等,结合已知条件,由已知角来求未知角.
7.如图5-1-22,直线AB,CD,EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°
,则∠AOG的度数为( )
图5-1-22
A.56°
B.59°
D.62°
8.⑦2018·
武昌区期末如图5-1-23,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,∠AOC∶∠COE=3∶2,则∠AOD=________°
图5-1-23
⑦有关比例问题,往往设每份为x,然后建立方程求解.
9.如图5-1-24,直线AB,CD相交于点O,OE⊥OF,OC平分∠AOE,且∠BOF=2∠BOE,则∠BOD=__________°
图5-1-24
10.如图5-1-25,已知直线AB和CD相交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线OF⊥CD于点O,且∠AOF=25°
.求∠BOC与∠EOF的度数.
图5-1-25
命题点3 画垂线 [热度:
11.⑧过线段外一点画这条线段的垂线,垂足在( )
A.这条线段上 B.这条线段的端点上
C.这条线段的延长线上 D.以上都有可能
⑧过一点画线段或射线的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足不一定在线段或射线上,可能在线段的延长线或射线的反向延长线上.
12.⑨已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是( )
图5-1-26
⑨同一题目中,同一字母只能表示同一个点.
13.⑩点P与∠A的位置关系如图5-1-27所示.
图5-1-27
(1)在图①、图②、图③中,以P为顶点作出∠P(0°
<∠P<180°
),使∠P的两边所在的直线分别和∠A的两边垂直.
(2)量一量∠P和∠A的度数,分别写出∠P与∠A的数量关系:
在图①中,∠P=__________;
在图②中,∠P=__________;
在图③中,∠P=__________.
⑩一个角的两边分别与另一个角的两边垂直,则这两个角的数量关系是相等或互补.
14.⑪如图5-1-28,已知O为直线AB上的一点,CD⊥AB于点O,PO⊥OE于点O,OM平分∠COE,点F在OE的反向延长线上.
(1)当OP在∠BOC内,OE在∠BOD内时,如图①所示,直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系;
(2)当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时,如图②所示,试问
(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化?
并说明理由.
图5-1-28
⑪当OP和OE的位置发生改变后,∠COF和∠BOP的相等关系保持不变,OM平分∠BOP保持不变,所以∠POM和∠COF之间的数量关系也保持不变.
1.C 2.D 3.D
4.C [解析]A项,两条直线相交成四个角,相等的两个角可能是对顶角,这两条直线不一定垂直,故A项错误;
B项,两条直线相交成四个角,相等的两对角可能是对顶角,这两条直线不一定垂直,故B项错误;
C项,两条直线相交成四个角,如果有三个角相等,可得一对邻补角相等,则必有一角等于90°
,所以这两条直线垂直,故C项正确;
D项,两条直线相交成四个角,形成四对邻补角,这两条直线不一定垂直,故D项
错误.
5.D
6.D [解析]由垂直的定义和平角的定义,可得∠1与∠2互余.
7.B [解析]由对顶角相等及∠FOD=28°
,可求得∠COE=28°
.由垂直可得∠AOC=90°
,所以∠AOE=118°
.由OG平分∠AOE,可得∠AOG=59°
8.126 [解析]因为EO⊥AB,所以∠AOE=90°
.因为∠AOC∶∠COE=3∶2,所以设∠AOC=3x,∠COE=2x,则3x+2x=90°
,解得x=18°
,故∠AOC=54°
,则∠AOD=180°
-54°
=126°
9.75 [解析]由垂直的定义,可得∠EOF=90°
.由∠BOF=2∠BOE,可得∠BOE=30°
.又由∠AOE与∠BOE互为邻补角,可得∠AOE=150°
.由OC平分∠AOE可得∠AOC=75°
又由对顶角相等,可得∠BOD=∠AOC=75°
10.解:
因为OF⊥CD,所以∠DOF=90°
因为∠AOC+∠AOF+∠DOF=180°
∠AOF=25°
,所以∠AOC=65°
因为∠AOC+∠BOC=180°
所以∠BOC=115°
因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°
所以∠AOF+∠EOF=90°
因为∠AOF=25°
,所以∠EOF=65°
11.D 12.C
13.解:
(1)如图.
(2)∠A或180°
-∠A ∠A或180°
-∠A
∠A或180°
(1)∠POM=
∠COF.
(2)不发生变化.理由:
因为CD⊥AB于点O,
所以∠AOP+∠COP=90°
因为PO⊥OE于点O,
所以∠AOP+∠AOF=90°
所以∠COP=∠AOF.
又因为∠AOC=∠COB=90°
所以∠COP+∠COB=∠AOF+∠AOC,
即∠BOP=∠COF.
因为∠AOF=∠BOE,所以∠COP=∠BOE.
因为OM平分∠COE,所以∠COM=∠MOE,
所以∠COP+∠COM=∠BOE+∠MOE,
所以∠POM=
∠BOP,
①既可以判定两直线垂直,又可以得到两直线的夹角是直角.
②一条直线有无数条垂线;
同一平面内,经过一点可以画一条已知直线的垂线.
③首先把三角板的一条直角边与已知直线重合,其次沿着已知直线推动三角板,使其另一条直角边经过已知点,最后过这条直角边画直线.
第2课时垂线段最短
①将直线外一点与直线上各点连接,所得线段中最短的线段一定是什么线段?
②点到直线的距离是一个几何图形,还是一个正数?
它与垂线段有什么区别?
1.①如图5-1-29,P是直线a外一点,PB⊥a,点A,B,C,D都在直线a上,下列线段中最短的是( )
图5-1-29
A.PAB.PB
C.PCD.PD
2.②如图5-1-30,OA⊥AB于点A,点O到直线AB的距离是( )
图5-1-30
A.线段OAB.线段OA的长度
C.线段OB的长度D.线段AB的长度
命题点1 垂线段最短 [热度:
92%]
3.如图5-1-31,要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做的依据是( )
图5-1-31
A.两点之间线段最短B.点到直线的距离
C.两点确定一条直线D.垂线段最短
4.③如图5-1-32,在铁路旁有一村庄,现要建一火车站,为了使村庄里的人乘车最方便,请你在铁路线上选一点来建火车站,应建在( )
图5-1-32
A.A点B.B点
C.C点D.D点
③选一点建火车站可以转化为确定垂线段的垂足.
5.2018·
秦皇岛月考如图5-1-33,已知A,B,C,D是某公园内的四个凉亭,图中的连线是甬道,且∠D=90°
,∠BAC=90°
,若AC=100米,则下列判断中不正确的是( )
图5-1-33
A.甬道AD可能为100米B.甬道CD可能为60米
C.甬道AD可能为80米D.甬道BC可能为140米
6.④如图5-1-34,BD⊥AC于点D,DE⊥BC于点E.若DE=9,AB=12,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的长度的取值范围是____________.
图5-1-34
④BD的长既是点B到AC的距离,又是点D到直线BC上一点B的距离.
7.⑤如图5-1-35,码头、火车站分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.
图5-1-35
(1)从火车站到码头怎样走最近?
画图并说明理由;
(2)从码头到铁路怎样走最近?
(3)从火车站到河流怎样走最近?
画图并说明理由.
⑤最短路线问题往往转化为点与点的距离或点到直线的距离问题.
命题点2 点到直线的距离 [热度:
8.⑥如图5-1-36,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
图5-1-36
A.2条 B.3条
C.4条 D.5条
⑥直角三角形的直角边长能表示点到直线的距离.
9.⑦P为直线l外一点,A,B,C为直线l上三点,PA=5cm,PB=3cm,PC=4cm,则点P到直线l的距离( )
A.等于4cm B.等于3cm
C.小于3cm D.不大于3cm
⑦点到直线的距离小于或等于点与直线上各点所连线段的长.
10.到直线l的距离等于2cm的点有( )
A.0个B.1个C.无数个D.无法确定
11.下列说法正确的是( )
A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
B.连接直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线
C.作出点P到直线的距离
D.连接直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离
12.⑧如图5-1-37是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳,M,P为双脚留下的痕迹,甲、乙、丙三名同学分别测得PA=5.52米,PB=5.37米,MA=5.60米,那么他的跳远成绩应该为________米.
图5-1-37
⑧跳远成绩指的是两个脚印中,离踏板较近的脚的后脚跟到踏板所在直线的距离记录.
13.⑨如图5-1-38,关于如何量出点C到线段AB所在直线的距离,三名同学有不同的做法.
图5-1-38
甲同学:
只要量出线段BC的长度即可;
乙同学:
过点C无法向直线AB作垂线,所以无法量出点C到直线AB的距离;
丙同学:
过点C作直线AB的垂线,垂线和直线AB不相交,所以不能量出点C到直线AB的距离.
你同意以上三名同学的做法吗?
若不同意,请你写出正确的做法.
⑨过点C作AB的垂线,垂足落在线段AB的延长线上.
14.⑩如图5-1-39,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
图5-1-39
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池点H的位置,使它到四个村庄的距离之和最小;
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短?
⑩到四个点A,B,C,D的距离之和最小的点,是分别连接AD和BC所得的交点,可以用两点之间线段最短
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- 51相交线 人教版 七年 级数 下册 第五 相交 平行线 51 同步 练习 一课一练 课时 答案
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